Nei corsi di algebra dei primi anni si incontrano vari tipi di strutture: gruppi, anelli, campi, spazi vettoriali, etc. Molte tecniche utilizzate per il loto studio si rassomiglano e ci sono teoremi che si ripetono<\/strong> (es. teoremi di isomorfismo) cambiando di poco il linguaggio. <\/p>\n\n\n\n Gruppi, anelli, etc. vengono studiati approfonditamente per la loro importanza storica e perch\u00e9 sono onnipresenti in matematica. Ma ci sono molte altre strutture che sono interessanti per via delle loro applicazioni: reticoli, monoidi, semianelli, etc. A dire il vero ci sono centinaia di strutture algebriche<\/strong> attualmente studiate per via delle loro applicazioni in informatica, fisica, economia, etc.<\/p>\n\n\n\n Ci si pu\u00f2 ragionevolmente domandare se ogni volta che si scopre qualche struttura di interesse bisogna ricominciare tutto da capo o se \u00e8 possibile esportare tecniche e costruzioni da altre strutture simili. O, in maniera molto pi\u00f9 ambiziosa, ci si pu\u00f2 chiedere se esistano teoremi che riguardino TUTTE le strutture<\/strong>, che in qualche modo ne permettano la classificazione<\/strong>, suggeriscano le propriet\u00e0 essenziali<\/strong> da studiare o possano dare immediatamente informazioni cruciali su strutture algebriche che mai incontrate prima. <\/p>\n\n\n\n La risposta a questa domanda \u00e8 estremamente positiva<\/strong>. Da questa domanda si \u00e8 sviluppata la branca della matematica che va sotto il nome di algebra universale. \u00c8 una branca relativamente nuova, con un numero sorprendente di risultati. Il suo studio porta a una visione ampia, matura e profonda dell\u2019algebra. Si riescono a mettere a fuoco chiaramente quali sono gli aspetti che le strutture hanno in comune, quali sono i punti chiave che fanno funzionare le teorie, quali sono le direzioni in cui cercare per ottenere nuovi teoremi.<\/p>\n\n\n\n Per dare un esempio dei risultati potenti e inaspettati che \u00e8 possibile incontrare, si pensi che esistono classificazioni che permettono di stabilire se una data classe di strutture \u00e8 chiusa rispetto a operazioni standard come immagini omomorfe, sottoalgebre o prodotti esclusivamente in base alla forma sintattica degli assiomi che la definiscono. Ad esempio il teorema di Birkhoff<\/strong> afferma che una classe di strutture \u00e8 chiusa rispetto a immagini omomorfe, sottoalgebre o prodotti se e soltanto se essa pu\u00f2 essere definita tramite equazioni.<\/p>\n\n\n\n \u00c8 richiesta familiarit\u00e0 con gli argomenti di base di algebra e di logica.<\/p>\n\n\n\n La frequenza non \u00e8 obbligatoria ma \u00e8 fortemente consigliata<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n Il corso coprir\u00e0 i seguenti argomenti:<\/p>\n\n\n\n Pi\u00f9 dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:<\/p>\n\n\n\n L\u2019esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso. Lo studente deve dimostrare in primis <\/em>di conoscere<\/strong> i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi<\/strong> in maniera indipendente. In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare<\/strong> quei concetti e definizioni e ne conosce le propriet\u00e0 fondamentali<\/strong> viste durante il corso (teoremi). Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuter\u00e0 del perch\u00e9<\/strong> valgano tali propriet\u00e0 (dimostrazioni).<\/p>\n\n\n\nPrerequisiti<\/h3>\n\n\n\n
Frequenza<\/h3>\n\n\n\n
Contenuti<\/h3>\n\n\n\n
14\/05\/2021<\/strong> – <\/s><\/li>Materiale del corso<\/h2>\n\n\n\n
Aspetti pratici<\/h2>\n\n\n\n
Date\/aule:<\/h3>\n\n\n\n
Esercizi\/Esami<\/h2>\n\n\n\n
Esame:<\/h3>\n\n\n\n
Appelli d\u2019esame:<\/h3>\n\n\n\n