Corso di Fondamenti della Matematica (2024/25)
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Descrizione del corso
La matematica vista nei primi anni di studi universitari include la geometria, l’algebra, l’analisi, la combinatoria, la probabilità. Nello studiare queste branche della matematica alcune domande sorgono quasi spontanee: cos’è in generale la matematica? Cosa è un sistema formale? È possibile costruire una teoria matematica che contenga tutte le altre? E se sì, quali sono i suoi assiomi? Quali sono le uniche cose che dobbiamo assumere vere affinché tutto il resto della matematica ne sia una conseguenza?
Queste domande ne fanno scaturire immediatamente altre. Se tutta la matematica può essere vista come un’unica grandissima teoria. Fin dove arriva questa? Quali sono i suoi limiti? È possibile dimostrare tutto ciò che è vero?
Nel corso degli anni in matematica sono state sviluppare tecniche sempre più sofisticate, ragionamenti sempre più complessi e costruzioni sempre più ardite. Da ciò sono nati risultati inaspettati, a volte così tanto da sembrare falsi. Come si può essere sicuri che alla fine i teoremi dimostrati finora non portino a contraddizione? Esistono delle fondamenta sicure per la matematica? Su cosa fonda la matematica?
Ad esempio, tutti gli studenti di matematica sanno che esistono vari livelli di infinito e che a volte le proprietà di questi infiniti sono contro intuitive. Come si può fare a sapere che questa idea di infinito è quella corretta? Come si può essere sicuri che i ragionamenti portati avanti in teorie matematiche che coinvolgono infinità di numeri, infinità di funzioni, infinità di spazi, alla fine siano corretti?
Molte di queste domande sono state oggetto di approfondita ricerca da parte di un grande matematico del 900: David Hilbert. Egli si chiese se tutto il processo della scoperta di nuove teorie e nuovi teoremi potesse in qualche modo essere meccanizzato. Queste domande portarono Hilbert a cambiare l’idea stessa della matematica per trasformarla in quello che studiamo oggi. Ma, mentre il più grande matematico del 900 mette in piedi questo enorme programma di ricerca, un giovane viennese di 24 anni distrugge completamente il programma dando risposta a molte delle domande viste prima. È sorprendente pensare che le risposte a queste domande possano essere teoremi matematici, piuttosto che speculazioni filosofiche.
In questo corso analizzeremo queste domande, le formalizzeremo e vedremo quali risposte sono state proposte.
Frequenza
La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.
Contenuti
Il corso coprirà i seguenti argomenti:
- Il metodo assiomatico e alcuni esempi.
- Coerenza, Completezza, Categoricità e Indipendenza.
- Modelli per una nozione formale di calcolabilità.
- Il Programma di Hilbert.
- Cenni sui teoremi di Gödel.
- La Teoria di Zermelo-Fraenkel.
- Assioma della scelta e alcune sue conseguenze importanti.
- Ordinali e Cardinali.
Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni.
- 23 settembre 2024 Introduzione al corso. Le flogghe che scorpano.
- 24 settembre 2024 Un mini-sistema assiomatico per la geometria.
- 30 settembre 2024 Coerenza, completezza e indipendenza di un sistema assiomatico.
- 1 ottobre 2024 Macchine di Turing: definizione.
- 7 ottobre 2024 Macchine di Turing: esempi ed esercizi
- 8 ottobre 2024 Codifiche computabili di stringhe e sottoinsiemi dei naturali.
- 14 ottobre 2024 Funzioni primitive ricorsive. La funzione di Ackermann.
- 15 ottobre 2024 Funzioni parziali ricorsive
- 21 ottobre 2024 Funzioni universali
- 22 ottobre 2024 L’insieme dell’arresto e altri problemi indecidibili.
- 28 ottobre 2024 La crisi del 1900 e il programma di Hilbert. I teoremi di Gödel.
- 29 ottobre 2024 I primi assiomi di ZF.
- 4 novembre 2024 Gli altri assiomi di ZF.
- 5 novembre 2024 Gli insiemi ben ordinati.
- 11 novembre 2024 Il teorema di tricotomia.
- 12 novembre 2024 Gli ordinali.
- 18 novembre 2024 L’ordinale \omega. Induzione e ricorsione transfinita.
- 19 novembre 2024 Come uccidere un’idra.
- 25 novembre 2024 Il teorema di Goodstein.
- 26 novembre 2024 L’assioma della scelta.
- 2 dicembre 2024 Il teorema di Cantor-Schröder-Bernstein.
- 3 dicembre 2024 La cardinalità di un insieme e i cardinali.
- 9 dicembre 2024 Operazioni sui cardinali. La biezione canonica tra On^2 e On.
- 10 dicembre 2024 Cenni sul sistema NBG.
Materiale del corso
- Testi consigliati:
- M. Borga, D. Palladino, Oltre il mito della crisi: fondamenti e filosofia della matematica del XX secolo. Editrice La Scuola.
- G. Lolli, Tavoli, sedie e boccali di birra: David Hilbert e la matematica del Novecento. Raffaello Cortina Editore.
- S. Leonesi, C. Toffalori. Matematica, Miracoli e Paradossi. Storie di Cardinali da Cantor a Gödel (2007) Mondadori.
- G. Gerla, Dagli Insiemi alla Logica Matematica. Tentativi di Fondare la Matematica, Volume I e II. Ilmiolibro.it.
- Le dispense e altro materiale riguardante il corso sarà messo a disposizione tramite Teams. Seguire questo link per iscriversi.
Aspetti pratici
- Docenti: Luca Spada
Crediti/ore:
- Durata: 48 ore (12 settimane).
- CFU: 6
Date/aule:
- Le lezioni cominceranno lunedì 25 settembre.
- Ci sono due lezioni a settimana:
- Lunedì dalle 15:00 alle 17:00, Aula SAC18 (Ex P18).
- Martedì dalle 09:00 alle 11:00, Aula F6.
Esercizi/Esami
Esame:
L’esame per questo corso è solo orale. È possibile sostenere l’esame in qualunque momento prendendo preventivamente appuntamento con il docente (circa una settimana prima)
