Corso di Logica Matematica (2021/22)

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Descrizione del corso

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e teoria degli insiemi.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

  • Sintassi della logica proposizionale.
  • Deduzione naturale per la logica proposizionale.
  • Semantica della logica proposizionale.
  • Algebre di Boole.
  • Teorema di completezza della logica proposizionale.
  • Sintassi della logica del prim’ordine.
  • Semantica della logica del prim’ordine.
  • Teoremi di completezza e compattezza per la logica del prim’ordine.
  • Limiti dei linguaggi del prim’ordine.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:

  1. 22/09/2021
  2. 24/09/2021

Materiale del corso

  • Testi consigliati:
    • Dirk van Dalen. Logic and Structure. Springer 1994.
    • Elliott Mendelson. Introduzione alla logica matematica. Bollati Boringhieri 1977.
    • J. L. Bell, A. B. Slomson. Models and Ultraproducts: An Introduction. Dover 2006.
  • Dispense: Ultima versione.
    • Attenzione: le dispense potrebbero subire degli aggiornamenti minori.  Tutte le versioni saranno disponibili su questo sito per fare confronti.  Una lista dei cambiamenti principali sarà inclusa nel testo.
    • Per segnalare errori per piacere inviare un’email a Luca Spada.

Aspetti pratici

Crediti/ore:

  • Durata: 56 ore (11 settimane).
  • CFU: 7

Date/aule:

  • Le lezioni cominceranno mercoledì 22 settembre in modalità mista.
  • Ci sono due lezioni a settimana:
    • mercoledì dalle 11:00 alle 14:00, aula F6+Teams.
    • venerdì dalle 11:00 alle 13:00, aula F6+Teams.

Esercizi/Esami

Tutorato:

Esame:

  • L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.

L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso.  Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente.  In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi).  Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).

Appelli d’esame:

  • (verranno inseriti appena le date saranno disponibili)

Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada

Corso di Fondamenti della Matematica (2021/22)

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Descrizione del corso

La matematica vista nei primi anni di studi universitari include la geometria, l’algebra, l’analisi, la combinatoria, la probabilità. Nello studiare queste branche della matematica alcune domande sorgono quasi spontanee: cos’è in generale la matematica? Cosa è un sistema formale? È possibile costruire una teoria matematica che contenga tutte le altre? E se sì, quali sono i suoi assiomi? Quali sono le uniche cose che dobbiamo assumere vere affinché tutto il resto della matematica ne sia una conseguenza?

Queste domande ne fanno scaturire immediatamente altre. Se tutta la matematica può essere vista come un’unica grandissima teoria. Fin dove arriva questa? Quali sono i suoi limiti? È possibile dimostrare tutto ciò che è vero?

Nel corso degli anni in matematica sono state sviluppare tecniche sempre più sofisticate, ragionamenti sempre più complessi e costruzioni sempre più ardite. Da ciò sono nati risultati inaspettati, a volte così tanto da sembrare falsi. Come si può essere sicuri che alla fine i teoremi dimostrati finora non portino a contraddizione? Esistono delle fondamenta sicure per la matematica? Su cosa fonda la matematica?

Ad esempio, tutti gli studenti di matematica sanno che esistono vari livelli di infinito e che a volte le proprietà di questi infiniti sono contro intuitive. Come si può fare a sapere che questa idea di infinito è quella corretta? Come si può essere sicuri che i ragionamenti portati avanti in teorie matematiche che coinvolgono infinità di numeri, infinità di funzioni, infinità di spazi, alla fine siano corretti?

Molte di queste domande sono state oggetto di approfondita ricerca da parte di un grande matematico del 900: David Hilbert. Egli si chiese se tutto il processo della scoperta di nuove teorie e nuovi teoremi potesse in qualche modo essere meccanizzato. Queste domande portarono Hilbert a cambiare l’idea stessa della matematica per trasformarla in quello che studiamo oggi. Ma, mentre il più grande matematico del 900 mette in piedi questo enorme programma di ricerca, un giovane viennese di 24 anni, con la sua tesi di dottorato, distrugge completamente il programma dando risposta a molte delle domande viste prima. È sorprendente pensare che le risposte a queste domande possano essere teoremi matematici, piuttosto che speculazioni filosofiche.

In questo corso analizzeremo queste domande, le formalizzeremo e vedremo quali risposte sono state proposte.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

  • Il metodo assiomatico.
  • Esempi di metodi assiomatici.
  • Coerenza, Completezza, Categoricità e Indipendenza.
  • La Teoria di Zermelo-Fraenkel.
  • Ordinali e Cardinali.
  • Assioma della scelta e alcune sue conseguenze importanti.
  • Il Programma di Hilbert.
  • Cenni sui teoremi di Gödel.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni.

  1. 23/09/2021 –
  2. 24/09/2021 –

Materiale del corso

  • Testi consigliati:
    • M. Borga, D. Palladino, Oltre il mito della crisi: fondamenti e filosofia della matematica del XX secolo. Editrice La Scuola.
    • G. Lolli, Tavoli, sedie e boccali di birra: David Hilbert e la matematica del Novecento. Raffaello Cortina Editore.
    • S. Leonesi, C. Toffalori. Matematica, Miracoli e Paradossi. Storie di Cardinali da Cantor a Gödel (2007) Mondadori.
    • G. Gerla, Dagli Insiemi alla Logica Matematica. Tentativi di Fondare la Matematica, Volume I e II. Ilmiolibro.it.

Aspetti pratici

Crediti/ore:

  • Durata: 48 ore (12 settimane).
  • CFU: 6

Date/aule:

  • Le lezioni cominceranno giovedì 23 marzo su Microsoft Teams.
  • Ci sono due lezioni a settimana:
    • giovedì dalle 16:00 alle 18:00, online su Teams.
    • venerdì dalle 14:00 alle 16:00, online su Teams.

Esercizi/Esami

Esame:

  • L’esame per questo corso è solo orale. 

Appelli d’esame:

  • Saranno inseriti appena la date saranno disponibili.

Teoria delle categorie (Corso di dottorato 2020/21)

Introduzione

La teoria delle categorie è un linguaggio moderno, molto diverso da quello della teoria degli insiemi, in cui può essere formalizzata la matematica.  Mentre il linguaggio degli insiemi ha come concetto fondamentale quello di appartenenza, il linguaggio della teoria delle categorie è incentrato sul concetto di trasformazione. Questo piccolo cambiamento iniziale ha ripercussioni enormi sulle intuizioni che guidano i ragionamenti matematici.  Spesso, riformulare un problema in termini categoriali offre una prospettiva completamente diversa su di esso e aiuta a distinguere la parte “generale” di un problema dal quella più specifica.
Una buona parte della matematica contemporanea è espressa esclusivamente nel linguaggio della teoria delle categorie. Inoltre la teoria delle categorie si presta anche allo studio della fisica dove, ad esempio, le fusion categories e le categorie di moduli emergono nello studio degli stati topologici della materia nella fisica dello stato solido (si veda ad esempio qui o questo articolo)

Argomenti del corso

  • Categorie, proprietà universali, funtori.
  • Trasformazioni naturali, funtori aggiunti ed equivalenze categoriali.
  • Dualità concrete.
  • Lemma di Yoneda.
  • Sheaf e topos. Monadi.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni 

  • 26/04 – Introduzione, definizione di Categoria ed esempi.
  • 30/04 – Frecce moniche e epiche, oggetti iniziali e finali, prodotti e coprodotti.
  • 03/05 – Esempi di prodotti e co-prodotti. Equalizzatori e co-equalizzatori.
  • 07/05 – Pullback e Pushout. Categorie opposte. Funtori.
  • 10/05 – Trasformazioni naturali e lemma di Yoneda.
  • 14/05 –
  • 17/05 – Immersione di Yoneda. Funtori aggiunti.
  • 21/05 – Definizioni equivalenti di funtori aggiunti.
  • 24/05 – Ancora sui funtori aggiunti.
  • 28/05 – Monadi. La categoria di Kleisli di una monade.
  • 31/05 – La categoria di Eilenberg-Moore di una monade. Relazioni tra monadi e aggiunzioni.

Materiale del corso

  • Harold Simmons. An introduction to category theory. Cambridge University Press, 2011. (Disponibile gratuitamente qui)
  • Robert Goldblatt Topoi: The Categorial Analysis of Logic, Dover Publications 2006. (Disponibile gratuitamente qui)
  • Saunders Mac Lane. Categories for the Working Mathematician (Seconda edizione). Springer. 1988. (Disponibile gratuitamente qui)

Aspetti pratici

Docente: Luca Spada
Durata del corso: 20 ore.

Esame

È possibile scegliere di sostenere l’esame finale in uno dei seguenti modi:

  • Un breve colloquio orale (circa 30 minuti) in cui saranno valutate le conoscenze acquisite in merito ai concetti di base e a quelli più avanzati della teoria delle categorie.
  • L’esposizione di un argomento concordato con il docente e non trattato nel corso, nella forma di un breve seminario aperto anche agli altri dottorandi della durata di circa 45 minuti.
  • La risoluzione a casa di alcuni esercizi.

Orario

Lunedì 9:30 – 11:30
Venerdì 11:00 – 13:00

Corso di Matematiche Complementari II (2020/21)

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Descrizione del corso

Il corso sarà tenuto dai prof. G. Vincenzi e L. Spada. L’obiettivo è fornire conoscenza degli aspetti fondazionali della matematica nel loro sviluppo storico.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

La parte del corso riguardante i fondamenti coprirà i seguenti argomenti:

  • Il metodo assiomatico.
  • Esempi di metodi assiomatici.
  • Coerenza, Completezza, Categoricità e Indipendenza.
  • La Teoria di Zermelo-Fraenkel.
  • Ordinali e Cardinali.
  • Assioma della scelta e alcune sue conseguenze importanti.
  • Il Programma di Hilbert.
  • Cenni sui teoremi di Gödel.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni tenute da Luca Spada.

  1. 03/03/2021 – Introduzione al corso. Il sistema assiomatico.
  2. 10/03/2021 – Esempi di sistemi assiomatici e loro interpretazioni.
  3. 17/03/2021 – Un altro esempio: le flogghe che scorpano. Proprietà dei sistemi formali: coerenza e soddisfacibilità.
  4. 24/03/2021 – Indipendenza e completezza dei sistemi formali.
  5. 31/03/2021 – Lo sviluppo dei fondamenti tra il XVIII e XX secolo.
  6. 07/04/2021 – I primi assiomi di ZF.
  7. 14/04/2021 – Gli altri assiomi di ZF e loro prime conseguenze.
  8. 21/04/2021 – La costruzione di N, Z, Q e R all’interno di ZF. L’assioma di regolarità e l’assioma della scelta.
  9. 28/04/2021 – Insiemi transitivi, buoni ordini e Ordinali.
  10. 05/05/2021 – Proprietà degli insiemi ben ordinati e degli ordinali.
  11. 12/05/2021 – Il teorema di tricotomia. Operazioni sugli ordinali.
  12. 19/05/2021 – I cardinali. Conclusioni.

Materiale del corso

  • Testi consigliati:
    • M. Borga, D. Palladino, Oltre il mito della crisi: fondamenti e filosofia della matematica del XX secolo. Editrice La Scuola.
    • G. Lolli, Tavoli, sedie e boccali di birra: David Hilbert e la matematica del Novecento. Raffaello Cortina Editore.
    • S. Leonesi, C. Toffalori. Matematica, Miracoli e Paradossi. Storie di Cardinali da Cantor a Gödel (2007) Mondadori.
    • G. Gerla, Dagli Insiemi alla Logica Matematica. Tentativi di Fondare la Matematica, Volume I e II. Ilmiolibro.it.

Aspetti pratici

Crediti/ore:

  • Durata: 48 ore (12 settimane).
  • CFU: 6

Date/aule:

  • Le lezioni cominceranno lunedì 1 marzo su Microsoft Teams.
  • Ci sono due lezioni a settimana:
    • lunedì dalle 16:00 alle 18:00 (Vincenzi), online su Teams.
    • mercoledì dalle 15:00 alle 17:00 (Spada), online su Teams.

Esercizi/Esami

Esame:

  • L’esame per questo corso è solo orale. 

Appelli d’esame:

  • Appelli estivi: 10 giugno 2021 e 13 luglio 2021 (Il primo a distanza il secondo sia in presenza che a distanza).
  • Appello autunnale: 6 settembre 2021 (sia in presenza che a distanza).
  • Un ulteriore appello nel periodo tra l’8 novembre e il 10 dicembre 2021.

Corso di Algebra Universale (2020/21)

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Descrizione del corso

Nei corsi di algebra dei primi anni si incontrano vari tipi di strutture: gruppi, anelli, campi, spazi vettoriali, etc.  Molte tecniche utilizzate per il loto studio si rassomiglano e ci sono teoremi che si ripetono (es. teoremi di isomorfismo) cambiando di poco il linguaggio. 

Gruppi, anelli, etc. vengono studiati approfonditamente per la loro importanza storica e perché sono onnipresenti in matematica. Ma ci sono molte altre strutture che sono interessanti per via delle loro applicazioni: reticoli, monoidi, semianelli, etc. A dire il vero ci sono centinaia di strutture algebriche attualmente studiate per via delle loro applicazioni in informatica, fisica, economia, etc.

Ci si può ragionevolmente domandare se ogni volta che si scopre qualche struttura di interesse bisogna ricominciare tutto da capo o se è possibile esportare tecniche e costruzioni da altre strutture simili. O, in maniera molto più ambiziosa, ci si può chiedere se esistano teoremi che riguardino TUTTE le strutture, che in qualche modo ne permettano la classificazione, suggeriscano le proprietà essenziali da studiare o possano dare immediatamente  informazioni cruciali su strutture algebriche che mai incontrate prima. 

La risposta a questa domanda è estremamente positiva. Da questa domanda si è sviluppata la branca della matematica che va sotto il nome di algebra universale. È una branca relativamente nuova, con un numero sorprendente di risultati. Il suo studio porta a una visione ampia,  matura e profonda dell’algebra. Si riescono a mettere a fuoco chiaramente quali sono gli aspetti che le strutture hanno in comune, quali sono i punti chiave che fanno funzionare le teorie, quali sono le direzioni in cui cercare per ottenere nuovi teoremi.

Per dare un esempio dei risultati potenti e inaspettati che è possibile incontrare, si pensi che esistono classificazioni che permettono di stabilire se una data classe di strutture è chiusa rispetto a operazioni standard come immagini omomorfe, sottoalgebre o prodotti esclusivamente in base alla forma sintattica degli assiomi che la definiscono.  Ad esempio il teorema di Birkhoff afferma che una classe di strutture è chiusa rispetto a immagini omomorfe, sottoalgebre o prodotti se e soltanto se essa può essere definita tramite equazioni.

Prerequisiti

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e di logica.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

  • Sottoalgebre, Omomorfismi e Congruenze.
  • Richiami di Teoria dei Reticoli
  • Prodotti Diretti e Prodotti Sottodiretti.
  • Limiti Diretti e Limiti Inversi di Sistemi di Algebre.
  • Classi Equazionali
  • Polinomi e Algebre Polinomiali.
  • Algebre Libere.
  • Teorema HSP
  • Mal’cev Type Theorems
  • (Problema della Parola)

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:

  1. 03/03/2021 – Introduzione al corso. Definizione ed esempi di algebre.
  2. 05/03/2021 – Omomorfismi, sottalgebre e prodotti diretti. Gli operatori H, S e P.
  3. 10/03/2021 – Relazioni, congruenze e kernel. Il primo teorema di isomorfismo.
  4. 12/03/2021 – Congruenze generate da una relazione.
  5. 17/03/2021 – Immagini dirette e inverse di omomorfismi e loro proprietà reticolari. Secondo teorema di isomorfismo.
  6. 19/03/2021 – Teorema di corrispondenza e terzo teorema di isomorfismo. Prodotti diretti.
  7. 24/03/2021 – Prodotti sottodiretti e algebre sottodirettamente irriducibili.
  8. 26/03/2021 – Reticolo delle congruenze delle algebre sottodirettamente irriducibili e Teorema di Birkhoff di rappresentazione sottodiretta.
  9. 31/03/2021 – “V = HSP” e sue conseguenze.
  10. 07/04/2021 – Reticoli completi e operatori di chiusura.
  11. 09/04/2021 – Cloni.
  12. 14/04/2021 – Il clone delle operazioni definibili di un’algebra.
  13. 16/04/2021 – Connessioni di Galois e relazione di invarianza rispetto alle operazioni.
  14. 21/04/2021 – Cloni come insiemi di operazioni invariati rispetto a delle relazioni.
  15. 23/04/2021 – Algebre assolutamente libere.
  16. 28/04/2021 – La congruenza di un’algebra associata a una classe di strutture
  17. 30/04/2021 – Algebre libere in una varietà.
  18. 05/05/2021 – Validità di un equazione in una classe di algebre.
  19. 07/05/2021 – Teorema di Birkhoff sulle varietà.
  20. 12/05/2021 – Condizioni alla Malcev.
  21. 14/05/2021
  22. 19/05/2021 – Algebre finitamente presentabili e algebre parziali, proprietà dell’immersione finita e proprietà del modello finito.
  23. 21/05/2021 – Collegamenti tra FEP, FMP e SFMP.
  24. 26/05/2021 – Algebre residualmente finite.
  25. 28/05/2021 – Seminario Constraint Satisfaction Problems (CSP).

Materiale del corso

  • Testi consigliati:
    • Clifford Bergman. Universal Algebra: fundamental and selected topics. CRC press. 2011
    • S. Burris, H. P. Sankappanavar. A course on universal algebra. Disponibile gratuitamente online.

Aspetti pratici

Date/aule:

  • Le lezioni cominceranno mercoledì 3 marzo su Microsoft Teams.
  • Ci sono due lezioni a settimana:
    • lunedì dalle 9:00 alle 11:00, online su Teams.
    • venerdì dalle 9:00 alle 11:00, online su Teams.

Esercizi/Esami

Esame:

  • L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.

L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso.  Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente.  In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi).  Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).

Appelli d’esame:

  • Appelli estivi: 9 giugno 2021 e 12 luglio 2021 (Il primo a distanza il secondo sia in presenza che a distanza).
  • Appello autunnale: 3 settembre 2021 (sia in presenza che a distanza).
  • Un ulteriore appello nel periodo tra l’8 novembre e il 10 dicembre 2021.

Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada

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