Corso di Algebra Universale (2021/22)

News

(9/5/22) Pubblicate le date degli appelli estivi e invernale.

Descrizione del corso

Nei corsi di algebra dei primi anni si incontrano vari tipi di strutture: gruppi, anelli, campi, spazi vettoriali, etc.  Molte tecniche utilizzate per il loto studio si rassomiglano e ci sono teoremi che si ripetono (es. teoremi di isomorfismo) cambiando di poco il linguaggio. 

Gruppi, anelli, etc. vengono studiati approfonditamente per la loro importanza storica e perché sono onnipresenti in matematica. Ma ci sono molte altre strutture che sono interessanti per via delle loro applicazioni: reticoli, monoidi, semianelli, etc. A dire il vero ci sono centinaia di strutture algebriche attualmente studiate per via delle loro applicazioni in informatica, fisica, economia, etc.

Ci si può ragionevolmente domandare se ogni volta che si scopre qualche struttura di interesse bisogna ricominciare tutto da capo o se è possibile esportare tecniche e costruzioni da altre strutture simili. O, in maniera molto più ambiziosa, ci si può chiedere se esistano teoremi che riguardino TUTTE le strutture, che in qualche modo ne permettano la classificazione, suggeriscano le proprietà essenziali da studiare o possano dare immediatamente  informazioni cruciali su strutture algebriche che mai incontrate prima. 

La risposta a questa domanda è estremamente positiva. Da questa domanda si è sviluppata la branca della matematica che va sotto il nome di algebra universale. È una branca relativamente nuova, con un numero sorprendente di risultati. Il suo studio porta a una visione ampia,  matura e profonda dell’algebra. Si riescono a mettere a fuoco chiaramente quali sono gli aspetti che le strutture hanno in comune, quali sono i punti chiave che fanno funzionare le teorie, quali sono le direzioni in cui cercare per ottenere nuovi teoremi.

Per dare un esempio dei risultati potenti e inaspettati che è possibile incontrare, si pensi che esistono classificazioni che permettono di stabilire se una data classe di strutture è chiusa rispetto a operazioni standard come immagini omomorfe, sottoalgebre o prodotti esclusivamente in base alla forma sintattica degli assiomi che la definiscono.  Ad esempio il teorema di Birkhoff afferma che una classe di strutture è chiusa rispetto a immagini omomorfe, sottoalgebre o prodotti se e soltanto se essa può essere definita tramite equazioni.

Prerequisiti

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e di logica.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

  • Sottoalgebre, Omomorfismi e Congruenze.
  • Richiami di Teoria dei Reticoli
  • Prodotti Diretti e Prodotti Sottodiretti.
  • Limiti Diretti e Limiti Inversi di Sistemi di Algebre.
  • Classi Equazionali
  • Polinomi e Algebre Polinomiali.
  • Algebre Libere.
  • Teorema HSP
  • Mal’cev Type Theorems
  • Problema della parola

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:

  1. 02/03/2022 – Introduzione al corso. Definizione ed esempi di algebre.
  2. 04/03/2022 – Omomorfismi, sottalgebre e prodotti diretti. Gli operatori H, S e P.
  3. 09/03/2022 – Sottalgebre generate, operatori di chiusura, congruenze.
  4. 11/03/2022 – Il teorema fondamentale degli omomorfismi.
  5. 16/03/2022 – Reticoli, prime definizioni ed esempi. Immagini dirette e immagini inverse.
  6. 18/03/2022 – Il secondo teorema di isomorfismo.
  7. 23/03/2022 – Il terzo teorema di isomorfismo.
  8. 25/03/2022 – Prodotti diretti e sottodiretti.
  9. 30/03/2022Non ci sarà lezione.
  10. 1/04/2022Non ci sarà lezione.
  11. 6/04/2022 – Algebre sottodirettamente irriducibili. Teorema di rappresentazione sottodiretta. V=HSP.
  12. 8/04/2022 – Reticoli algebrici e operatori di chiusura algebrici.
  13. 13/04/2022 – Caratterizzazione di Sub(A) come reticolo algebrico. Connessioni di Galois.
  14. 15/04/2022 – Connessioni di Galois. Algebre di Boole sottodirettamente irriducibili.
  15. 20/04/2022 – Termini.
  16. 22/04/2022 – Algebre libere: costruzione e proprietà
  17. 27/04/2022 – Equazioni.
  18. 29/04/2022 – Teorema di Birkhoff.
  19. 04/05/2022 – Varietà a congruenze distributive e a congruenze permutabili. Condizioni di Malcev.
  20. 06/05/2022 – Algebre finitamente presentate e problema della parola.
  21. 11/05/2022 – Proprietà dell’immersione finita (FEP) e sue varianti.
  22. 13/05/2022 – Proprietà del modello finito, proprietà forte del modello finito e FEP.
  23. 18/05/2022 – Algebre liberamente generate da algebre parziali.
  24. 20/05/2022 – Finitezza residuale.
  25. 25/05/2022 – Il problema della parola e sue relazioni con SFMP, FEP e finitezza residuale.
  26. 27/05/2022 – Seminari.

Materiale del corso

  • Testi consigliati:
    • Clifford Bergman. Universal Algebra: fundamental and selected topics. CRC press. 2011
    • S. Burris, H. P. Sankappanavar. A course on universal algebra. Disponibile gratuitamente online.
    • Dispense del docente rese disponibili settimanalmente.

Aspetti pratici

Date/aule:

  • Le lezioni cominceranno mercoledì 3 marzo su Microsoft Teams.
  • Ci sono due lezioni a settimana:
    • mercoledì dalle 9:30 alle 11:00,in presenza, laboratorio 11, Dipartimento di Matematica.
    • venerdì dalle 14:00 alle 15:30, online su Teams.

Esercizi/Esami

Esame:

  • L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.

L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso.  Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente.  In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi).  Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).

Appelli d’esame:

  • Appelli estivi:
    1. 8 giugno ore 15:00 aula P11.
    2. 30 giugno ore 15:00 aula P11.
  • Appello autunnale:
    1. 1 settembre ore 15:00 aula P11.

Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada

Teoria delle categorie (Corso di dottorato 2021/22)

Introduzione

La teoria delle categorie è un linguaggio moderno, molto diverso da quello della teoria degli insiemi, in cui può essere formalizzata la matematica.  Mentre il linguaggio degli insiemi ha come concetto fondamentale quello di appartenenza, il linguaggio della teoria delle categorie è incentrato sul concetto di trasformazione. Questo piccolo cambiamento iniziale ha ripercussioni enormi sulle intuizioni che guidano i ragionamenti matematici.  Spesso, riformulare un problema in termini categoriali offre una prospettiva completamente diversa su di esso e aiuta a distinguere la parte “generale” di un problema dal quella più specifica.
Una buona parte della matematica contemporanea è espressa esclusivamente nel linguaggio della teoria delle categorie. Inoltre la teoria delle categorie si presta anche allo studio della fisica dove, ad esempio, le fusion categories e le categorie di moduli emergono nello studio degli stati topologici della materia nella fisica dello stato solido (si veda ad esempio qui o questo articolo).

Argomenti del corso

  • Categorie, proprietà universali, funtori.
  • Trasformazioni naturali, funtori aggiunti ed equivalenze categoriali.
  • Dualità concrete.
  • Lemma di Yoneda.
  • Sheaf e topos.
  • Monadi.

Argomenti delle lezioni

  • 24/02/2022 – Introduzione al corso, definizione di categoria, frecce mono, epi e iso
  • 25/02/2022 – Oggetti terminali e iniziali. Equalizzatori e co-equalizzatori. Prodotti e co-coprodotti. Esempi.
  • 03/03/2022 – Pullback e pushout. Categorie comma. Funtori.
  • 04/03/2022 – Trasformazioni naturali. Il lemma di Yoneda. L’immersione di Yoneda.
  • 10/03/2022 – Aggiunzioni.
  • 11/03/2022 – Ancora su aggiunzioni e loro esempi.
  • 17/03/2022 – Le dualità di Stone, Gel’fand e Pontryagin.
  • 18/03/2022 – Dualità concrete e aggiunzioni affini.

Materiale del corso

  • Harold Simmons. An introduction to category theory. Cambridge University Press, 2011. (Disponibile gratuitamente qui)
  • Robert Goldblatt Topoi: The Categorial Analysis of Logic, Dover Publications 2006. (Disponibile gratuitamente qui)
  • Saunders Mac Lane. Categories for the Working Mathematician (Seconda edizione). Springer. 1988. (Disponibile gratuitamente qui)

Aspetti pratici

Docente: Luca Spada
Durata del corso: 20 ore.

Esame

È possibile scegliere di sostenere l’esame finale in uno dei seguenti modi:

  • Un breve colloquio orale (circa 30 minuti) in cui saranno valutate le conoscenze acquisite in merito ai concetti di base e a quelli più avanzati della teoria delle categorie.
  • L’esposizione di un argomento concordato con il docente e non trattato nel corso, nella forma di un breve seminario aperto anche agli altri dottorandi della durata di circa 45 minuti.
  • La risoluzione a casa di alcuni esercizi.

Orario

  • Giovedì 9:30 – 12:30 – Sala riunioni DipMat
  • Venerdì 9:30 – 11:30 – Sala riunioni DipMat

Corso di Logica Matematica (2021/22)

News

(9/5/2022) Pubblicate le date degli appelli estivi e di quello autunnale.

(9/5/2022) All’inizio di giugno partirà un corso help teaching di supporto alla preparazione dell’esame. Maggiori notizie a breve.

Descrizione del corso

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e teoria degli insiemi.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

  • Sintassi della logica proposizionale.
  • Deduzione naturale per la logica proposizionale.
  • Semantica della logica proposizionale.
  • Algebre di Boole.
  • Teorema di completezza della logica proposizionale.
  • Sintassi della logica del prim’ordine.
  • Semantica della logica del prim’ordine.
  • Teorema di completezza per la logica del prim’ordine.
  • Ultraprodotti.
  • Limiti dei linguaggi del prim’ordine.
  • Teorema di compattezza per la logica del prim’ordine.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:

  1. 22/09/2021 – Introduzione al corso. Formule ben formate.
  2. 24/09/2021 – Valutazioni, tautologie, conseguenza logica.
  3. 29/09/2021 – Completezza funzionale, forme normali congiuntive e disgiuntive, insiemi massimalmente finitamente soddisfacibili.
  4. 01/10/2021 – Il teorema di compattezza.
  5. 06/10/2021 – La deduzione naturale. Adeguatezza del sistema.
  6. 08/10/2021 – Coerenza e soddisfacibilità. La completezza della logica proposizionale.
  7. 13/10/2021 – Introduzione ai reticoli e le algebre di Boole.
  8. 15/10/2021 – Prime proprietà delle algebre di Boole e primo teorema di isomorfismo.
  9. 20/10/2021 – Relazioni tra epimorfismi, congruenze e filtri.
  10. 22/10/2021 – Ideali, filtri principali e ultrafiltri.
  11. 27/10/2021 – Teorema di rappresentazione di Stone
  12. 29/10/2021 – Algebre di Boole liberamente generate e algebre di Lindenbaum-Tarski
  13. 03/11/2021 – Verso il teorema di completezza algebrica.
  14. 05/11/2021 – Il teorema di completezza algebrica.
  15. 10/11/2021 – La logica del prim’ordine: sintassi.
  16. 12/11/2021 – La logica del prim’ordine: semantica.
  17. 17/11/2021 – Formule del prim’ordine logicamente valide. Forma normale premessa. La deduzione naturale per la logica del prim’ordine.
  18. 19/11/2021 – Teorema di adeguatezza.
  19. 24/11/2021 – Teorie Henkin, estensioni conservative, il teorema di esistenza del modello.
  20. 26/11/2021 – Il teorema di completezza della logica del prim’ordine e la compattezza come suo corollario.
  21. 01/12/2021 – Ultraprodotti, teorema di Los.
  22. 03/12/2021 – Teorema di Compattezza con l’uso degli ultraprodotti. I teoremi di Lowenheim-Skolem.
  23. 10/12/2021 – Applicazioni.

Materiale del corso

  • Testi consigliati:
    • Dirk van Dalen. Logic and Structure. Springer 1994.
    • Elliott Mendelson. Introduzione alla logica matematica. Bollati Boringhieri 1977.
    • J. L. Bell, A. B. Slomson. Models and Ultraproducts: An Introduction. Dover 2006.
  • Dispense: Ultima versione.
    • Attenzione: le dispense potrebbero subire degli aggiornamenti minori.  Tutte le versioni saranno disponibili su questo sito per fare confronti.  Una lista dei cambiamenti principali sarà inclusa nel testo.
    • Per segnalare errori per piacere inviare un’email a Luca Spada.

Aspetti pratici

  • Docente: Luca Spada
  • Tutor: il tutorato incomincerà presumibilmente a fine ottobre.
  • Link Team
  • Link Moodle (verrà inserito appena disponibile)

Crediti/ore:

  • Durata: 56 ore (11 settimane).
  • CFU: 7

Date/aule:

  • Le lezioni cominceranno mercoledì 22 settembre in modalità mista.
  • Ci sono due lezioni a settimana:
    • mercoledì dalle 11:15 alle 13:45, aula F6+Teams.
    • venerdì dalle 11:15 alle 13:00, aula F6+Teams.

Esercizi/Esami

Tutorato:

Esame:

  • L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.

L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso.  Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente.  In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi).  Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).

Appelli d’esame:

  • Appelli invernali:
    1. 10 gennaio 2022 ore 9:00 aula P5 (in presenza)
    2. 31 gennaio 2022 ore 9:00 aula P5 (in presenza)
  • Appelli estivi:
    1. 8 giugno 2022 ore 9:00 aula P11.
    2. 30 giugno 2022 ore 9:00 aula P11.
  • Appello autunnale:
    1. 1 settembre 2022 ore 9:00 aula P11.

Per gli esami a distanza prendere un appuntamento via email con il docente con circa una settimana di anticipo.

Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada

Corso di Fondamenti della Matematica (2021/22)

News

(9/5/22) Pubblicate le date d’appello per la sessione estiva e quella autunnale (alla fine di questa pagina).

Descrizione del corso

La matematica vista nei primi anni di studi universitari include la geometria, l’algebra, l’analisi, la combinatoria, la probabilità. Nello studiare queste branche della matematica alcune domande sorgono quasi spontanee: cos’è in generale la matematica? Cosa è un sistema formale? È possibile costruire una teoria matematica che contenga tutte le altre? E se sì, quali sono i suoi assiomi? Quali sono le uniche cose che dobbiamo assumere vere affinché tutto il resto della matematica ne sia una conseguenza?

Queste domande ne fanno scaturire immediatamente altre. Se tutta la matematica può essere vista come un’unica grandissima teoria. Fin dove arriva questa? Quali sono i suoi limiti? È possibile dimostrare tutto ciò che è vero?

Nel corso degli anni in matematica sono state sviluppare tecniche sempre più sofisticate, ragionamenti sempre più complessi e costruzioni sempre più ardite. Da ciò sono nati risultati inaspettati, a volte così tanto da sembrare falsi. Come si può essere sicuri che alla fine i teoremi dimostrati finora non portino a contraddizione? Esistono delle fondamenta sicure per la matematica? Su cosa fonda la matematica?

Ad esempio, tutti gli studenti di matematica sanno che esistono vari livelli di infinito e che a volte le proprietà di questi infiniti sono contro intuitive. Come si può fare a sapere che questa idea di infinito è quella corretta? Come si può essere sicuri che i ragionamenti portati avanti in teorie matematiche che coinvolgono infinità di numeri, infinità di funzioni, infinità di spazi, alla fine siano corretti?

Molte di queste domande sono state oggetto di approfondita ricerca da parte di un grande matematico del 900: David Hilbert. Egli si chiese se tutto il processo della scoperta di nuove teorie e nuovi teoremi potesse in qualche modo essere meccanizzato. Queste domande portarono Hilbert a cambiare l’idea stessa della matematica per trasformarla in quello che studiamo oggi. Ma, mentre il più grande matematico del 900 mette in piedi questo enorme programma di ricerca, un giovane viennese di 24 anni, con la sua tesi di dottorato, distrugge completamente il programma dando risposta a molte delle domande viste prima. È sorprendente pensare che le risposte a queste domande possano essere teoremi matematici, piuttosto che speculazioni filosofiche.

In questo corso analizzeremo queste domande, le formalizzeremo e vedremo quali risposte sono state proposte.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

  • Il metodo assiomatico.
  • Esempi di metodi assiomatici.
  • Coerenza, Completezza, Categoricità e Indipendenza.
  • Il Programma di Hilbert.
  • Cenni sui teoremi di Gödel.
  • La Teoria di Zermelo-Fraenkel.
  • Assioma della scelta e alcune sue conseguenze importanti.
  • Ordinali e Cardinali.
  • Indipendenza di alcuni assiomi da ZF.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni.

  1. 23/09/2021 – Introduzione al corso. Un mini esempio di sistema assiomatico: le flog che scoprono.
  2. 24/09/2021 – Geometria in miniatura, un secondo esempio di sistema assiomatico e sue possibili interpretazioni.
  3. 29/09/2021 – Alcuni teoremi nel sistema “geometria in miniatura”. Indipendenza degli assiomi.
  4. 30/09/2021 – Modelli, interpretazioni, soddisfacibilità e coerenza.
  5. 06/10/2021 – Completezza e categoricità.
  6. 07/10/2021 – La crisi delle matematica del 900.
  7. 13/10/2021 – Il V postulato di Euclide e le geometrie non euclidee.
  8. 14/10/2021 – Il programma di Hilbert: decidibilità
  9. 20/10/2021 – Il programma di Hilbert: completezza
  10. 21/10/2021 – I primi assiomi della teoria ZFC.
  11. 27/10/2021 – Funzioni. Assioma dell’infinito e assiomi di rimpiazzamento.
  12. 28/10/2021 – Assioma di regolarità e assioma della scelta. Insiemi ben ordinati.
  13. 03/11/2021 – Il teorema di tricotomia
  14. 04/11/2021 – Non ci sarà lezione.
  15. 10/11/2021 – Gli ordinali.
  16. 11/11/2021 – Induzione e ricorsione transfinita.
  17. 17/11/2021 – Operazioni sugli ordinali.
  18. 18/11/2021 – Formulazioni equivalenti dell’assioma della scelta.
  19. 24/11/2021 – Cardinali.
  20. 25/11/2021 – La biezione canonica tra On x On e On.
  21. 01/12/2021 – Somma e prodotto di cardinali. L’ipotesi del continuo. L’universo dei costruibili.
  22. 02/12/2021 – Introduzione al linguaggio della teoria delle categorie.
  23. 09/12/2021 – Mono, epi, iso, coni e co-coni.
  24. 15/12/2021 – Funtori e trasformazioni naturali
  25. 16/12/2021 – Categorie per i fondamenti della matematica.

Materiale del corso

  • Testi consigliati:
    • M. Borga, D. Palladino, Oltre il mito della crisi: fondamenti e filosofia della matematica del XX secolo. Editrice La Scuola.
    • G. Lolli, Tavoli, sedie e boccali di birra: David Hilbert e la matematica del Novecento. Raffaello Cortina Editore.
    • S. Leonesi, C. Toffalori. Matematica, Miracoli e Paradossi. Storie di Cardinali da Cantor a Gödel (2007) Mondadori.
    • G. Gerla, Dagli Insiemi alla Logica Matematica. Tentativi di Fondare la Matematica, Volume I e II. Ilmiolibro.it.

Aspetti pratici

Crediti/ore:

  • Durata: 48 ore (12 settimane).
  • CFU: 6

Date/aule:

  • Le lezioni cominceranno giovedì 23 marzo su Microsoft Teams.
  • Ci sono due lezioni a settimana:
    • mercoledì dalle 16:15 alle 17:45, online su Teams.
    • giovedì dalle 14:15 alle 15:45, online su Teams.

Esercizi/Esami

Esame:

  • L’esame per questo corso è solo orale. 

Appelli d’esame:

  • Appelli invernali:
    1. 14 gennaio 2022 ore 9:00 aula F3 (in presenza)
    2. 11 febbraio 2022 ore 9:00 aula F3 (in presenza)
  • Appelli estivi:
    1. 8 giugno 2022 ore 15:00 aula P11.
    2. 30 giugno 2022 ore 15:00 aula P11.
  • Appello autunnale:
    1. 1 settembre 2022 ore 15:00 aula P11.

Per gli esami a distanza prendere un appuntamento via email con il docente circa una settimana prima.

Teoria delle categorie (Corso di dottorato 2020/21)

Introduzione

La teoria delle categorie è un linguaggio moderno, molto diverso da quello della teoria degli insiemi, in cui può essere formalizzata la matematica.  Mentre il linguaggio degli insiemi ha come concetto fondamentale quello di appartenenza, il linguaggio della teoria delle categorie è incentrato sul concetto di trasformazione. Questo piccolo cambiamento iniziale ha ripercussioni enormi sulle intuizioni che guidano i ragionamenti matematici.  Spesso, riformulare un problema in termini categoriali offre una prospettiva completamente diversa su di esso e aiuta a distinguere la parte “generale” di un problema dal quella più specifica.
Una buona parte della matematica contemporanea è espressa esclusivamente nel linguaggio della teoria delle categorie. Inoltre la teoria delle categorie si presta anche allo studio della fisica dove, ad esempio, le fusion categories e le categorie di moduli emergono nello studio degli stati topologici della materia nella fisica dello stato solido (si veda ad esempio qui o questo articolo)

Argomenti del corso

  • Categorie, proprietà universali, funtori.
  • Trasformazioni naturali, funtori aggiunti ed equivalenze categoriali.
  • Dualità concrete.
  • Lemma di Yoneda.
  • Sheaf e topos. Monadi.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni 

  • 26/04 – Introduzione, definizione di Categoria ed esempi.
  • 30/04 – Frecce moniche e epiche, oggetti iniziali e finali, prodotti e coprodotti.
  • 03/05 – Esempi di prodotti e co-prodotti. Equalizzatori e co-equalizzatori.
  • 07/05 – Pullback e Pushout. Categorie opposte. Funtori.
  • 10/05 – Trasformazioni naturali e lemma di Yoneda.
  • 14/05 –
  • 17/05 – Immersione di Yoneda. Funtori aggiunti.
  • 21/05 – Definizioni equivalenti di funtori aggiunti.
  • 24/05 – Ancora sui funtori aggiunti.
  • 28/05 – Monadi. La categoria di Kleisli di una monade.
  • 31/05 – La categoria di Eilenberg-Moore di una monade. Relazioni tra monadi e aggiunzioni.

Materiale del corso

  • Harold Simmons. An introduction to category theory. Cambridge University Press, 2011. (Disponibile gratuitamente qui)
  • Robert Goldblatt Topoi: The Categorial Analysis of Logic, Dover Publications 2006. (Disponibile gratuitamente qui)
  • Saunders Mac Lane. Categories for the Working Mathematician (Seconda edizione). Springer. 1988. (Disponibile gratuitamente qui)

Aspetti pratici

Docente: Luca Spada
Durata del corso: 20 ore.

Esame

È possibile scegliere di sostenere l’esame finale in uno dei seguenti modi:

  • Un breve colloquio orale (circa 30 minuti) in cui saranno valutate le conoscenze acquisite in merito ai concetti di base e a quelli più avanzati della teoria delle categorie.
  • L’esposizione di un argomento concordato con il docente e non trattato nel corso, nella forma di un breve seminario aperto anche agli altri dottorandi della durata di circa 45 minuti.
  • La risoluzione a casa di alcuni esercizi.

Orario

Lunedì 9:30 – 11:30
Venerdì 11:00 – 13:00

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