An introduction to Topos Theory (Phd course 2018/19)

This year I will teach an introduttive course on Topos Theory.

Topos theory has many different aspects. On the one hand, a topos is a generalisation of a topological space. On the other hand, every topos can be thought of as a mathematical universe in which one can do mathematics. In fact, there is a duality between Grothendieck topoi and certain first-order theories of logic, called geometric theories. Topos theory grew out of the observation that the category of sheaves over a fixed topological space forms a universe of “continuously variable sets” which obeys the laws of intuitionistic logic. After recalling some basic notions in Category Theory such as functors, natural transformations, limits and adjunctions, we will examine categories of presheaves and their fundamental properties, Grothendieck sites and sheaves and the notion of elementary topos. Applications to logic will be treated.

The (tentative) course calendar is as follows:

  • Tuesday, 7 May 2019, 10:00
  • Wednesday, 8 May 2019, 16:00
  • Tuesday, 14 May 2019, 10:00
  • Wednesday, 15 May 2019, 16:00
  • Tuesday, 21 May 2019, 10:00
  • Wednesday, 22 May 2019, 16:00
  • Tuesday, 28 May 2019, 10:00
  • Wednesday, 29 May 2019, 16:00
  • Tuesday, 4 June 2019, 10:00
  • Wednesday, 5 June 2019, 16:00

The references for the course are:

  • F. William Lawvere and Steve Schanuel, Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories, Cambridge U. Press, Cambridge, 1997.
  • Reyes, Reyes, Zolfaghari – Generic figures and their glueings. Polimetrica, 2008.
  • MacLane, Saunders, Moerdijk, Ieke. Sheaves in Geometry and Logic. A First Introduction to Topos Theory. Springer Universitext, 1994.
  • Robert Goldblatt, Topoi, the Categorial Analysis of Logic. Dover Revised edition, 2006.
  • Peter Johnstone, Sketches of an Elephant: a Topos Theory Compendium, Oxford U. Press, Oxford. Volume 1 (2002), Volume 2, (2002), Volume 3 (in preparation).

Corso di Logica Matematica 1 (2018/19)

Aggiornamenti

Pubblicato (più sotto) il calendario aggiornato del tutorato.

Visto l’alto numero di studenti frequentanti a partire da lunedì 8 ottobre le lezioni si terranno in aula P5.

Descrizione del corso

Prerequisiti

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e teoria degli insiemi.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

  • Sintassi della logica proposizionale.
  • Deduzione naturale per la logica proposizionale.
  • Semantica della logica proposizionale.
  • Algebre di Boole.
  • Teorema di completezza della logica proposizionale.
  • Sintassi della logica del prim’ordine.
  • Semantica della logica del prim’ordine.
  • Teoremi di completezza e compattezza per la logica del prim’ordine.
  • Limiti dei linguaggi del prim’ordine.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:

  1. 1/10/2018 – Introduzione al corso. Sintassi della logica proposizionale, tavole di verità.
  2. 3/10/2018 – Conseguenza logica, completezza funzionale, forma normale disgiuntiva e congiuntiva.
  3. 8/10/2018 – Tautologie fondamentali, teorema di compattezza per la logica proposizionale e una sua applicazione alla teoria dei grafi.
  4. 9/10/2018 – La deduzione naturale
  5. 15/10/2018 – Teorie massimamente coerenti e loro proprietà.
  6. 16/10/2018 – Teorema di completezza per la logica proposizionale.
  7. 22/10/2018 – Algebre di Boole, prime proprietà.
  8. 23/10/2018 – Termini e equazioni nel linguaggio delle algebre di Boole.
  9. 29/10/2018 – Omomorfismi, congruenze, kernel e filtri delle algebre di Boole.
  10. 30/10/2018 – Filtri e ultrafiltri.
  11. 5/11/2018 – Caratterizzazione degli ultrafiltri, teorema di Stone.
  12. 6/11/2018 – Algebre di Boole libere. Le algebre di Lindenbaum-Tarski.
  13. 12/11/2018 – Proprietà delle algebre di Boole.
  14. 13/11/2018 – Teorema di completezza algebrica.
  15. 19/11/2018 – Introduzione alla logica del primo ordine: linguaggi, strutture, interpretazioni, sostituzioni.
  16. 20/11/2018 – Validità di una formula in una struttura.  Teorema di forma normale premessa.
  17. 26/11/2018 – La deduzione naturale per la logica del prim’ordine: definizione e adeguatezza.
  18. 27/11/2018 –  Teorie Henkin. Estensioni conservative.
  19. 3/12/2018 – Il teorema di completezza della logica del prim’ordine.
  20. 4/12/2018 – Teorema di Löwenheim-Skolem all’ingiù. Teorema di compattezza. Teorema di Löwenheim-Skolem all’insù.
  21. 10/12/2018 – Ultraprodotti.  Il teorema di Łos.
  22. 11/12/2018 – Il teorema di compattezza come corollario del Teorema di Łos.

Materiale del corso

  • Testi consigliati:
    • Elliott Mendelson. Introduzione alla logica matematica. Bollati Boringhieri 1977.
    • Dirk van Dalen. Logic and Structure. Springer 1994.
    • J. L. Bell, A. B. Slomson. Models and Ultraproducts: An Introduction. Dover 2006.
  • Dispense (ultima versione). (Vecchie versioni: V. 3).
    • Attenzione: le dispense continueranno a essere aggiornate e migliorate.  Tutte le versioni saranno disponibili su questo sito per fare confronti.  Una lista dei cambiamenti principali sarà inclusa nel testo.
    • Per segnalare errori per piacere inviare un’email a Luca Spada.

Aspetti pratici

Crediti/ore:

  • Durata: 56 ore (11 settimane).
  • CFU: 7

Date/aule:

  • Le lezioni cominceranno il primo ottobre.
  • Ci sono due lezioni a settimana:
    • lunedì dalle 9:00 alle 12:00, aula P5
    • martedì dalle 9:00 alle 11:00, aula P5.

Esercizi/Esami

Tutorato:

Docente: Serafina Lapenta.

Orario:  martedì 14:15 – 16:15 Aula P5.

I prossimi incontri di tutorato si terranno nei seguenti giorni:

  • 6 novembre 2018,
  • 20 novembre 2018,
  • 4 dicembre 2018,
  • 18 dicembre 2018.

Esame:

  • L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.

Appelli d’esame:

  • Primo appello invernale
    •  23 gennaio 2019.
  • Secondo appello invernale
    •  20 febbraio 2019.
  • Appello straordinario.
    • 15 aprile 2019.
  •  Primo appello estivo.
    •  giugno 2019.
  •  Secondo appello estivo.
    • luglio 2019.
  •  Terzo appello estivo.
    • settembre 2018.
  •  Appello straordinario.
    • novembre 2018.

Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada

Corso di Matematica I per Ingegneria Meccanica e Gestionale (2018/19)

Descrizione del corso

News

  • Pubblicati gli esiti finale delle prove intermedie.
  • La lezione di mercoledì 31 ottobre si terrà in Aula M (Edificio E2).
  • Pubblicate le date delle prove intermedie, vedere qui sotto.
  • È stato aggiornato l’orario del tutorato.

Prerequisiti

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di matematica trattati nei corsi di scuola media superiore. In particolare, sono richieste competenze elementari di algebra (risoluzione di equazioni e disequazioni di primo e secondo grado), di geometria euclidea, di teoria degli insiemi, di logica e di trigonometria.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

  • Insiemi numerici: N, Z, Q, R, C
  • Funzioni elementari reali a una variabile: valore assoluto, potenza, radice, esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche.
  • Successioni in R, limiti.
  • Proprietà delle funzioni continue.
  • Derivate.
  • Integrali definiti e indefiniti.
  • Serie numeriche.

Più dettagliatamente, qui sotto sono elencati i contenuti delle singole lezioni:

  1. 11/09/2018 – Introduzione al corso. Connettivi logici, quantificatori.
  2. 12/09/2018 – Insiemi e operazioni tra di essi. Relazioni e funzioni.
  3. 18/09/2018 – Non ci sarà lezione.
  4. 19/09/2018 – Relazioni d’ordine, inf e sup. Insiemi numerici, assiomatizzazione dei numeri reali.
  5. 25/09/2018 – Prime conseguenze degli assiomi.
  6. 26/09/2018 – Funzioni elementari e loro prime proprietà: funzione lineare, valore assoluto, funzioni potenze e radici ennesime, funzione esponenziale e logaritmica.
  7. 2/10/2018 – Funzioni trigonometriche (sen, cos, tg, cotg, arcsen, arccos,..). Numeri complessi, formula di De Moivre per calcolare radici n-sime di numeri complessi.
  8. 3/10/2018 – Disequazioni polinomiali, razionali, irrazionali, logaritmiche e esponenziali.  Introduzione al concetto di successione.
  9. 9/10/2018 –  Limiti di successioni, prime proprietà.
  10. 10/10/2018 – Successioni limitate, operazioni con i limiti, teoremi di confronto, limiti notevoli.
  11. 16/10/2018 – Esercitazione.
  12. 17/10/2018 – Prima prova intermedia.
  13. 23/10/2018 – Il numero di Nepero, le successioni definite per ricorrenza, gli ordini di infinito e il criterio del rapporto.
  14. 24/10/2018 – Teorema di Bolzano Weierstrass, successioni di Cauchy.
  15. 30/10/2018 – Definizioni di limite di una funzione. Equivalenze tra di esse.
  16. 31/10/2018 – Prime proprietà dei limiti. Funzioni continue: definizione e teoremi della permanenza del segno, dell’esistenza degli zeri e dei valori intermedi.
  17. 6/11/2018 – Continuità di somma, prodotto, rapporto e composizione di funzioni continue.  Introduzione alle derivate, significato analitico e geometrico della derivata.  Prime proprietà delle derivate.
  18. 7/11/2018 – Derivate di somme, prodotti, rapporti, composizioni e inverse di funzioni reali.  Derivate delle funzioni elementari.
  19. 13/11/2018 – Applicazioni delle derivate per la ricerca dei massimi e minimi di una funzione e per lo studio della concavità.
  20. 14/11/2018 – Cenni sulla formula di Taylor.  Studio del grafico di funzione.
  21. 20/11/2018 – Esercitazione.
  22. 21/11/2018 – Seconda prova intermedia.
  23. 27/11/2018 – Definizione di integrale di Riemann.
  24. 28/11/2018 – Prime proprietà degli integrali definiti.
  25. 4/12/2018 – Teorema fondamentale del calcolo integrale.  Integrali indefiniti e loro proprietà. Formula di Taylor con resto integrale.
  26. 5/12/2018 – Integrali impropri.  Algebra degli o-piccoli.  Lo sviluppo di Taylor nel calcolo dei limiti.
  27. 11/12/2018 – Serie numeriche, definizioni e prime proprietà.
  28. 12/12/2018 – Criteri di convergenza per le serie.
  29. 18/11/2018 – Esercitazione
  30. 19/11/2018 – Prova finale.

Materiale del corso

  • Il testo di riferimento principale è: Paolo Marcellini, Carlo Sbordone.  Analisi Matematica Uno, Liguori Editore.
  • Un utile complemento è dato dal rispettivo libro di esercitazioni: Paolo Marcellini, Carlo Sbordone.  Esercitazioni di Matematica. Vol 1 parte prima e parte seconda, Liguori Editore.
  • Questo formulario sarà consultabile durante gli esami scritti.  Eventuali proposte di integrazione possono essere inviate via email al docente.

Aspetti pratici

Crediti/ore:

  • Durata: 90 ore (15 settimane).
  • CFU: 9

Date/aule:

  • Le lezioni cominceranno l’11 settembre.
  • Ci sono due lezioni a settimana:
    • martedì dalle 15:45 alle 18:15,
    • mercoledì dalle 12:30 alle 15:00.
  • Il tutorato si tiene tutti i giovedì a partire dal 17 settembre:
    • Gruppo 1: dalle 11:30 alle 14:30 in aula 126
    • Gruppo 2: dalle 14:30 alle 17:30 in aula N.

Esercizi/Esami

Esame:

  • Ci saranno tre prove di esonero durante il corso.  Chi conseguirà un voto medio pari o superiore a 18 potrà sostenere direttamente l’esame orale.  Sarà comunque possibile per tutti sostenere l’esame scritto a gennaio e ai seguenti appelli.
  • È necessario presentarsi all’esame con un documento di riconoscimento.
  • Per poter partecipare all’esame finale è assolutamente necessario registrarsi su esse3, in caso di difficoltà rivolgersi alle segreterie.
  • All’esame scritto e durante le prove intermedie è possibile usare il formulario a questo link.
  • Chi non passa l’esame orale (o rifiuta il voto) deve rifare lo scritto.
  • L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso.  Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso.  In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi).  Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).

Appelli d’esame:

  • Primo appello invernale:
    • esame scritto: 17 gennaio 2019, 9:30 aula C. Traccia con soluzioni. Esiti
    • esame orale (si procede in ordine alfabetico, cominciando da chi ha passato le prove intermedie):
      • 18 gennaio 2019 a partire dalle 9:30, aula 136
      • 21 gennaio 2019 a partire dalle 9:30, aula 136
      • 22 gennaio 2019 a partire dalle 9:30, aula 119
  • Secondo appello invernale:
    • esame scritto: 7 febbraio 2019, aula C. Traccia con soluzioni. Esiti.
    • esame orale:
      • 8 febbraio 2019, dalle 9:30 alle 14:00 aula 129.
      • 11 febbraio 2019, dalle 9:30 alle 14:00 aula A.
      • 12 febbraio 2019, dalle 9:30 alle 14:00 aula M.
  • Primo appello fuori corso:
    • esame scritto: aprile 2019, date da definire.
    • esame orale: a partire dal giorno dopo lo scritto.
  • Secondo appello fuori corso
    • esame scritto: maggio 2019, date da definire.
    • esame orale: a partire dal giorno dopo lo scritto.
  • Primo appello estivo
    • esame scritto: metà giugno 2019, date da definire.
    • esame orale: a partire dal giorno dopo lo scritto.
  • Secondo appello estivo
    • esame scritto: metà luglio 2019, date da definire.
    • esame orale: a partire dal giorno dopo lo scritto.
  • Terzo appello estivo
    • esame scritto: inizio settembre 2019, date da definire.
    • esame orale: date da definire.

Prove intermedie:

Le prove intermedie si terranno:

Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada

PhD Course, Category Theory (May-June 2018)

Contents of the page

Announcements

Topics of the course

  • Categories, universal properties, functors.
  • Natural transformations, adjoint functors and categorical equivalences.
  • Concrete dualities.
  • Yoneda Lemma.
  • Sheaves and topoi.

Course material

Practicalities

  • Lecturer: Luca Spada
  • Duration of the course: 20 hours.

Preliminary programme

  • Friday 18 May 2018, from 11:00 to 13:00;
  • Monday 21 May 2018, from 9:00 to 11:00;
  • Wednesday 23 May 2018, from 9:00 to 11:00;
  • Friday 25 May 2018, from 9:00 to 11:00;
  • Monday 4 June 2018, from 15:00 to 17:00;
  • Wednesday, June 6, 2018, from 9:00 to 11:00;
  • Friday 8 June 2018, from 9:00 to 11:00;
  • Thursday 21 June 2018, from 9:00 to 11:00;
  • Monday 9 July 2018, from 15:00 to 17:00;
  • Wednesday 11 July 2018, from 9:00 to 11:00;

Comments, complaints, questions: write to Luca Spada

Corso di Logica Matematica 1 (2017/18)

News

Attenzione: su richiesta degli studenti l’Help Teaching è stato spostato a settembre 2018.  Il calendario è disponibile più in basso.

Descrizione del corso

Prerequisiti

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e teoria degli insiemi.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

  • Sintassi della logica proposizionale.
  • Deduzione naturale per la logica proposizionale.
  • Semantica della logica proposizionale.
  • Algebre di Boole.
  • Teorema di completezza della logica proposizionale.
  • Sintassi della logica del prim’ordine.
  • Semantica della logica del prim’ordine.
  • Teoremi di completezza e compattezza per la logica del prim’ordine.
  • Limiti dei linguaggi del prim’ordine.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:

  1. 4/10/2017 – Introduzione al corso, tavole di verità.
  2. 5/10/2017 – Valutazioni, tautologie, conseguenza logica, equivalenza logica.
  3. 11/10/2017 – Completezza funzionale dei connettivi negazione e congiunzione.  Forme normali congiuntive e disgiuntive. Teorema di compattezza. Un’applicazione ai grafi del teorema di compattezza.
  4. 12/10/2017 – Deduzione naturale.
  5. 18/10/2017 – Teorema di completezza.
  6. 19/10/2017 – Algebre di Boole: definizione e prime proprietà.
  7. 25/10/2017 – Algebre di Boole: omomorfismi, kernel e sottoalgebre.
  8. 26/10/2017 – Algebre di Boole: teorema di omomorfismo, algebre libere.
  9. 1/11/2017 – Non ci sarà lezione.
  10. 2/11/2017 – Non ci sarà lezione.
  11. 8/11/2017 – Algebre di Boole: filtri e filtri massimali.
  12. 9/11/2017 – Teorema di rappresentazione di Stone.
  13. 15/11/2017 – Completezza algebrica della logica proposizionale.
  14. 16/11/2017 – Completezza algebrica della logica proposizionale.
  15. 22/11/2017 – Introduzione alla logica del primo ordine.
  16. 23/11/2017 – Sintassi e semantica della logica del prim’ordine.  Prime proprietà.
  17. 29/11/2017 – Deduzione naturale al prim’ordine.
  18. 30/11/2017 – Verso la completezza della logica del prim’ordine.
  19. 6/12/2017 Non ci sarà lezione.
  20. 7/12/2017 Non ci sarà lezione.
  21. 13/12/2017 – La completezza della logica del prim’ordine.  Teorema di compattezza e applicazioni.
  22. 14/12/2017 – Ultraprodotti e ultrapotenze.
  23. 20/12/2017 – Dimostrazione del teorema di compattezza tramite gli ultraprodotti.
  24. 21/12/2017 – Non ci sarà lezione.
  25. 22/01/2018 – Seminari (ore 10, aula da definire).

Materiale del corso

Aspetti pratici

Crediti/ore:

  • Durata: 56 ore (11 settimane).
  • CFU: 7

Date/aule:

  • Le lezioni cominceranno il 4 di ottobre.
  • Ci sono due lezioni a settimana:
    • mercoledì dalle 11:00 alle 14:00,
    • giovedì dalle 12:30 alle 14:00.

Esercizi/Esami

Help Teaching:

Docente: Gaetano Vitale.

L’Help Teaching comincerà a settembre 2018, il calendario è il seguente:

  1. 03 settembre ore 8:30-12:30, Aula P19.
  2. 04 settembre ore 9:00-12:00, Aula P19.
  3. 05 settembre ore 9:00-12:00, Aula P19.
  4. 06 settembre ore 9:00-12:00, Aula P19.
  5. 07 settembre ore 9:00-12:00, Aula P19.
  6. 10 settembre ore9:00-12:00, Aula P19.

Esame:

  • L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.

Appelli d’esame:

  • Primo appello invernale
    • 24 gennaio 2018.
  • Secondo appello invernale
    • 7 febbraio 2018.
  • Appello straordinario.
    • 11 aprile 2018.
  •  Primo appello estivo.
    • 20 giugno 2018.
  •  Secondo appello estivo.
    • 18 luglio 2018.
  •  Terzo appello estivo.
    • 19 settembre 2018.
  •  Appello straordinario.
    • 21 novembre 2018.

 

Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada
 

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