Corso di Fondamenti della Matematica (2024/25)
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Descrizione del corso
La matematica vista nei primi anni di studi universitari include la geometria, l’algebra, l’analisi, la combinatoria, la probabilità. Nello studiare queste branche della matematica alcune domande sorgono quasi spontanee: cos’è in generale la matematica? Cosa è un sistema formale? È possibile costruire una teoria matematica che contenga tutte le altre? E se sì, quali sono i suoi assiomi? Quali sono le uniche cose che dobbiamo assumere vere affinché tutto il resto della matematica ne sia una conseguenza?
Queste domande ne fanno scaturire immediatamente altre. Se tutta la matematica può essere vista come un’unica grandissima teoria. Fin dove arriva questa? Quali sono i suoi limiti? È possibile dimostrare tutto ciò che è vero?
Nel corso degli anni in matematica sono state sviluppare tecniche sempre più sofisticate, ragionamenti sempre più complessi e costruzioni sempre più ardite. Da ciò sono nati risultati inaspettati, a volte così tanto da sembrare falsi. Come si può essere sicuri che alla fine i teoremi dimostrati finora non portino a contraddizione? Esistono delle fondamenta sicure per la matematica? Su cosa fonda la matematica?
Ad esempio, tutti gli studenti di matematica sanno che esistono vari livelli di infinito e che a volte le proprietà di questi infiniti sono contro intuitive. Come si può fare a sapere che questa idea di infinito è quella corretta? Come si può essere sicuri che i ragionamenti portati avanti in teorie matematiche che coinvolgono infinità di numeri, infinità di funzioni, infinità di spazi, alla fine siano corretti?
Molte di queste domande sono state oggetto di approfondita ricerca da parte di un grande matematico del 900: David Hilbert. Egli si chiese se tutto il processo della scoperta di nuove teorie e nuovi teoremi potesse in qualche modo essere meccanizzato. Queste domande portarono Hilbert a cambiare l’idea stessa della matematica per trasformarla in quello che studiamo oggi. Ma, mentre il più grande matematico del 900 mette in piedi questo enorme programma di ricerca, un giovane viennese di 24 anni, con la sua tesi di dottorato, distrugge completamente il programma dando risposta a molte delle domande viste prima. È sorprendente pensare che le risposte a queste domande possano essere teoremi matematici, piuttosto che speculazioni filosofiche.
In questo corso analizzeremo queste domande, le formalizzeremo e vedremo quali risposte sono state proposte.
Frequenza
La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.
Contenuti
Il corso coprirà i seguenti argomenti:
- Il metodo assiomatico e alcuni esempi.
- Coerenza, Completezza, Categoricità e Indipendenza.
- Modelli per una nozione formale di calcolabilità.
- Il Programma di Hilbert.
- Cenni sui teoremi di Gödel.
- La Teoria di Zermelo-Fraenkel.
- Assioma della scelta e alcune sue conseguenze importanti.
- Ordinali e Cardinali.
Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni.
- 23 settembre 2024 Introduzione al corso. Le flogghe che scorpano.
- 24 settembre 2024 Un mini-sistema assiomatico per la geometria.
- 30 settembre 2024 Coerenza, completezza e indipendenza di un sistema assiomatico.
- 1 ottobre 2024 Macchine di Turing: definizione.
- 7 ottobre 2024 Macchine di Turing: esempi ed esercizi
- 8 ottobre 2024 Codifiche computabili di stringhe e sottoinsiemi dei naturali.
- 14 ottobre 2024 Funzioni primitive ricorsive. La funzione di Ackermann.
- 15 ottobre 2024 Funzioni parziali ricorsive
- 21 ottobre 2024 Funzioni universali
- 22 ottobre 2024 L’insieme dell’arresto e altri problemi indecidibili.
- 28 ottobre 2024 La crisi del 1900 e il programma di Hilbert. I teoremi di Gödel.
- 29 ottobre 2024 I primi assiomi di ZF.
- 4 novembre 2024 Gli altri assiomi di ZF.
- 5 novembre 2024 Gli insiemi ben ordinati.
- 11 novembre 2024 Il teorema di tricotomia.
- 12 novembre 2024 Gli ordinali.
- 18 novembre 2024 L’ordinale \omega. Induzione e ricorsione transfinita.
- 19 novembre 2024 Come uccidere un’idra.
- 25 novembre 2024 Il teorema di Goodstein.
- 26 novembre 2024 L’assioma della scelta.
- 2 dicembre 2024 Il teorema di Cantor-Schröder-Bernstein.
- 3 dicembre 2024 La cardinalità di un insieme e i cardinali.
- 9 dicembre 2024 Operazioni sui cardinali. La biezione canonica tra On^2 e On.
- 10 dicembre 2024
Materiale del corso
- Testi consigliati:
- M. Borga, D. Palladino, Oltre il mito della crisi: fondamenti e filosofia della matematica del XX secolo. Editrice La Scuola.
- G. Lolli, Tavoli, sedie e boccali di birra: David Hilbert e la matematica del Novecento. Raffaello Cortina Editore.
- S. Leonesi, C. Toffalori. Matematica, Miracoli e Paradossi. Storie di Cardinali da Cantor a Gödel (2007) Mondadori.
- G. Gerla, Dagli Insiemi alla Logica Matematica. Tentativi di Fondare la Matematica, Volume I e II. Ilmiolibro.it.
- Le dispense e altro materiale riguardante il corso sarà messo a disposizione tramite Teams. Seguire questo link per iscriversi.
Aspetti pratici
- Docenti: Luca Spada
Crediti/ore:
- Durata: 48 ore (12 settimane).
- CFU: 6
Date/aule:
- Le lezioni cominceranno lunedì 25 settembre.
- Ci sono due lezioni a settimana:
- Lunedì dalle 15:00 alle 17:00, Aula SAC18 (Ex P18).
- Martedì dalle 09:00 alle 11:00, Aula F6.
Esercizi/Esami
Esame:
L’esame per questo corso è solo orale. È possibile sostenere l’esame in qualunque momento prendendo preventivamente appuntamento con il docente (circa una settimana prima)
Appelli d’esame:
Corso di Algebra Universale e Teoria delle Categorie (2024/25)
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Descrizione del corso
Nei corsi dei primi anni si incontrano vari tipi di strutture: gruppi, anelli, campi, spazi vettoriali, etc. Molte tecniche utilizzate per il loro studio si rassomiglano e ci sono teoremi che si ripetono (es. teoremi di isomorfismo) cambiando di poco il linguaggio.
Gruppi, anelli, etc. vengono studiati approfonditamente per la loro importanza storica e perché sono onnipresenti in matematica. Ma ci sono molte altre strutture che sono interessanti per via delle loro applicazioni: reticoli, monoidi, semianelli, etc. A dire il vero ci sono centinaia di strutture algebriche attualmente studiate per via delle loro applicazioni in informatica, fisica, economia, etc.
Ci si può ragionevolmente domandare se ogni volta che si scopre qualche struttura di interesse bisogna ricominciare tutto da capo o se è possibile esportare tecniche e costruzioni da altre strutture simili. O, in maniera molto più ambiziosa, ci si può chiedere se esistano teoremi che riguardino TUTTE le strutture, che in qualche modo ne permettano la classificazione, suggeriscano le proprietà essenziali da studiare o possano dare immediatamente informazioni cruciali su strutture algebriche che mai incontrate prima.
La risposta a questa domanda è estremamente positiva. Da questa domanda si è sviluppata la branca della matematica che va sotto il nome di algebra universale. È una branca relativamente nuova, con un numero sorprendente di risultati. Il suo studio porta a una visione ampia, matura e profonda dell’algebra. Si riescono a mettere a fuoco chiaramente quali sono gli aspetti che le strutture hanno in comune, quali sono i punti chiave che fanno funzionare le teorie, quali sono le direzioni in cui cercare per ottenere nuovi teoremi.
Una volta fatta questa astrazione, si cominciano a vedere intere classi di strutture come oggetti matematici e se ne studiano le relazioni tra di loro. Questo porta alla definizione di categorie e funtori. Il linguaggio delle categorie permette di far rientrare nello stesso ambito ancora più strutture matematiche (ad esempio, grafi, insiemi ordinati, spazi topologici, misure di probabilità, etc.). Ciò permette non solo di esportare tecniche da un settore della matematica all’altro, ma anche di capire formalmente come tutti questi tipi di strutture sono correlati tra loro.
Prerequisiti
È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e di logica.
Frequenza
La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.
Contenuti
Il corso coprirà i seguenti argomenti:
- Richiami di Teoria dei Reticoli.
- Sottoalgebre, Omomorfismi e Congruenze.
- Prodotti Diretti e Prodotti Sottodiretti.
- Teoremi di Birkhoff.
- Categorie, funtori, trasformazioni naturali.
- Costruzioni universali.
- Il lemma di Yoneda.
- Aggiunzioni ed equivalenze categoriali.
- Categorie regolari
Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:
- 23 settembre 2024 Introduzione al corso. Richiami su relazioni di equivalenza, ordini parziali e reticoli.
- 25 settembre 2024 Reticoli completi e operatori di chiusura.
- 30 settembre 2024 Connessioni di Galois
- 2 ottobre 2024 I concetti di base dell’algebra universale: algebre, sottoalgebre, prodotti diretti e operatori HSP.
- 7 ottobre 2024 Immagine diretta e inversa di sottalgebre e congruenze.
- 9 ottobre 2024 Il primo teorema di isomorfismo.
- 14 ottobre 2024 Secondo e terzo teorema di isomorfismo.
- 16 ottobre 2024 Il teorema di corrispondenza. Decomposizione in prodotto e decomposizione sottordiretta.
- 21 ottobre 2024 I teoremi di rappresentazione sottodiretta e HSP
- 23 ottobre 2024 Introduzione alla teoria delle categorie. Definizione ed esempi.
- 28 ottobre 2024 Funtori e trasformazioni naturali.
- 30 ottobre 2024 Frecce mono e epi, prodotti e coprodotti.
- 4 novembre 2024 Oggetti terminali e iniziali, equalizzatori e coequalizzatori.
- 6 novembre 2024 Epi e mono regolari. Pullback e pushout.
- 11 novembre 2024 Diagrammi, limiti e colimiti.
- 13 novembre 2024 Aggiunzioni: definizioni ed equivalenze I.
- 18 novembre 2024 Aggiunzioni: definizioni ed equivalenze II.
- 20 novembre 2024 Algebre libere per una classe.
- 25 novembre 2024 Il teorema di Birkhoff.
- 27 novembre 2024 Funtori rappresentabili e il lemma di Yoneda.
- 2 dicembre 2024 L’immersione di Yoneda, prefasci e topos.
- 4 dicembre 2024
- 9 dicembre 2024
- 11 dicembre 2024
Materiale del corso
- Testi consigliati:
- Clifford Bergman. Universal Algebra: fundamental and selected topics. CRC press. 2011
- S. Burris, H. P. Sankappanavar. A course on universal algebra. (Disponibile gratuitamente qui)
- Leinster, Tom. Basic category theory. Vol. 143. Cambridge University Press, 2014. (Disponibile gratuitamente qui)
- Harold Simmons. An introduction to category theory. Cambridge University Press, 2011. (Disponibile gratuitamente qui)
- Robert Goldblatt Topoi: The Categorial Analysis of Logic, Dover Publications 2006. (Disponibile gratuitamente qui)
- Saunders Mac Lane. Categories for the Working Mathematician (Seconda edizione). Springer. 1988. (Disponibile gratuitamente qui)
- Dispense del docente
Aspetti pratici
- Docente: Luca Spada
- Semestre: primo.
- Durata: 48 ore (12 settimane).
- CFU: 6
Date/aule:
Ci sono due lezioni a settimana:
- lunedì dalle 9:00 alle 11:00, Aula SAC18 (ex P18)
- mercoledì dalle 14:00 alle 16:00, Aula SAC18 (ex P18)
Corso di Logica Matematica (2024/25)
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Descrizione del corso
È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e teoria degli insiemi.
Frequenza
La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.
Contenuti
Il corso coprirà i seguenti argomenti:
- Sintassi della logica proposizionale.
- Deduzione naturale per la logica proposizionale.
- Semantica della logica proposizionale.
- Algebre di Boole.
- Teorema di completezza della logica proposizionale.
- Sintassi della logica del prim’ordine.
- Semantica della logica del prim’ordine.
- Teorema di completezza per la logica del prim’ordine.
- Ultraprodotti.
- Limiti dei linguaggi del prim’ordine.
- Teorema di compattezza per la logica del prim’ordine.
Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:
- 25 settembre 2024 Introduzione al corso. Le formule ben formate.
- 26 settembre 2024 Valutazioni, tautologie, conseguenza logica.
- 2 ottobre 2024 Completezza funzionale. Forme normali disgiuntive e congiuntive
- 3 ottobre 2024 Il teorema di compattezza per la logica proporzionale e una sua applicazione ai grafi.
- 9 ottobre 2024 La deduzione naturale.
- 10 ottobre 2024 Il teorema di completezza per la logica proporzionale. Reticoli e ordini parziali.
- 16 ottobre 2024 Algebre di Boole.
- 17 ottobre 2024 Omomorfismi, sottalgebre, kernel e filtri
- 23 ottobre 2024 Corrispondenza tra kernel e filtri.
- 24 ottobre 2024 Ultrafiltri e teorema di Stone.
- 30 ottobre 2024 Algebre libere e algebra di Lindenbaum-Tarski.
- 31 ottobre 2024 La completezza algebrica.
- 6 novembre 2024 Introduzione alla logica del prim’ordine: la sintassi.
- 7 novembre 2024 La semantica della logica del prim’ordine. Form normali prenesse.
- 13 novembre 2024 La deduzione naturale per la logica del prim’ordine.
- 14 novembre 2024 Verso il teorema di completezza: estensioni di teorie, estensioni conservative e teorie Henkin.
- 20 novembre 2024 Il teorema di completezza e sue conseguenze.
- 21 novembre 2024 Ultraprodotti e il teorema di Łoś.
- 27 novembre 2024 Il teorema di compattezza.
- 28 novembre 2024 I teoremi di Löwenheim–Skolem.
- 4 dicembre 2024
- 5 dicembre 2024
- 11 dicembre 2024 (1 ora)
Materiale del corso
- Testi consigliati:
- Dirk van Dalen. Logic and Structure. Springer 1994.
- Elliott Mendelson. Introduzione alla logica matematica. Bollati Boringhieri 1977.
- J. L. Bell, A. B. Slomson. Models and Ultraproducts: An Introduction. Dover 2006.
- Dispense: Dispense v. 6.5
- Attenzione: le dispense potrebbero subire degli aggiornamenti minori. Tutte le versioni saranno disponibili su questo sito per fare confronti. Una lista dei cambiamenti principali sarà inclusa nel testo.
- Per segnalare errori per piacere inviare un’email a Luca Spada.
Aspetti pratici
- Docente: Luca Spada
- Tutor:
Crediti/ore:
- Durata: 56 ore (11 settimane).
- CFU: 7
Date/aule:
- Le lezioni cominceranno mercoledì 25 settembre.
- Ci sono due lezioni a settimana:
- Mercoledì dalle 9:00 alle 11:00, aula F3.
- Giovedì dalle 11:00 alle 14:00, aula F6.
Esercizi/Esami
Esame:
L’esame per questo corso è solo orale. È possibile sostenere l’esame in qualsiasi momento contattando il docente circa una settimana prima.
L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso. Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente. In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi). Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).
Appelli d’esame
Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada
PhD course on lattice-ordered groups and polyhedral geometry (Spring 2024)
Introduction
The course is an introduction to the theory of abelian lattice-ordered groups from different perspectives. Initially, we study these structures with purely algebraic methods. We will analyse some important theorems and connections with other parts of mathematics, such as AF C*-algebras. Later we will move on to their geometric study, through the Baker-Beynon duality. It will be seen that, just as the commutative rings provide an algebraic counterpart for the study of affine manifolds with polynomial maps, lattice-ordered groups represent the algebraic counterpart of the polyhedral cones and piece-wise linear homogenous maps between them.
Course topics
- Abelian lattice-ordered groups: definition and examples.
- Representation results.
- Archimedeanity and strong (order) unit.
- Free and finitely presented abelian l-groups.
- Baker&Beynon duality.
- Mundici’s functor.
- MV-algebras.
- Polyhedral geometry.
Lecture by lecture topics
- 19 March – Introduction to the course, overview of the contents, basic definitions and first properties. Lecture notes.
- 22 March – Examples, l-homomorphisms and l-ideals. Lecture notes.
- 26 March – Congruences and l-ideals. Prime l-ideals. Subdirect representation by linearly ordered l-groups. Lecture notes.
- 27 March – Lexicographic products, Archimedean l-groups, Hölder theorem, Weinberg theorem. Lecture notes.
- 4 April – General affine adjunctions. Example: Stone duality. Lecture notes.
- 5 April – Unital l-groups, MV-algebras, a geometric duality for semi-simple MV-algebras. Lecture notes.
- 9 April – Baker-Beynon duality Archimedean for l-groups. Lecture notes.
- 11 April – Beyond Baker-Beynon duality: the duality for the whole class of l-groups. Luca Carai’s Slides.
- 16 April – Polyhedral geometry: triangulations and unimodular triangulations. Lecture notes.
- 18 April – Finitely generated projective l-groups. Yosida duality. Lecture notes.
Course material
- Bigard, A., Keimel, K., & Wolfenstein, S. (2006). Groupes et anneaux réticulés (Vol. 608). Springer.
- Anderson, M. E., & Feil, T. H. (2012). Lattice-ordered groups: an introduction (Vol. 4). Springer Science & Business Media.
- Goodearl, K. R. (2010). Partially ordered abelian groups with interpolation (No. 20). American Mathematical Soc.
- Glass, A. M. W. (1999). Partially ordered groups (Vol. 7). World Scientific.
- Cignoli R., D’Ottaviano I. M. L., Mundici D. (2000) Algebraic Foundations of many-valued Reasoning, Trends in Logic, Vol. 7, Kluwer Academic Publishers.
- Mundici, D. (2011). Advanced Łukasiewicz calculus and MV-algebras, Trends in Logic, Vol. 35 Springer.
Practical aspects
Term and schedule
Lecturer: Luca Spada
Course duration: 20 hours.
Course calendar: Lectures will all take place in room P18 from 9:30 to 11:30 in the following days: 19 March, 22 March, 26 March, 27 March, 4 April, 5 April, 9 April, 11 April, 16 April, 18 April.
Exam
You can choose to take the final exam in one of the following ways:
- A short oral interview (about 30 minutes) in which the knowledge acquired on the basic and more advanced concepts will be evaluated.
- The presentation of a topic agreed with the teacher and not covered in the course, in the form of a short seminar also open to other doctoral students lasting about 30 minutes.
- Solving some exercises at home.
Corso di Logica per l’anno 0 (DIIN, 2023/24)
Descrizione del corso
Frequenza
La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.
Contenuti
Durante il corso verrà illustrato agli studenti il linguaggio base e gli strumenti essenziali della matematica che costituiscono i fondamenti per affrontare un qualsiasi esami di matematica. Alla fine del corso gli studenti dovrebbero essere in grado di gestire autonomamente concetti elementari di logica, di teoria elementare degli insiemi e delle funzioni e dei numeri reali.
Il corso coprirà i seguenti argomenti:
- Elementi di logica:
- Connettivi logici: congiunzione, disgiunzione, negazione, implicazione, doppia implicazione.
- Tavole di verità.
- Conseguenza logica e equivalenza logica.
- Quantificatori universali e esistenziali e loro negazioni.
- Dimostrazioni per contronominale e per assurdo.
- Elementi di teoria degli insiemi:
- Relazione di appartenenza.
- Elementi e sottoinsiemi di un insieme.
- Inclusione, unione, intersezione, complemento; insieme delle parti e prodotto cartesiano;
- Relazioni e funzioni (iniettive/suriettive/biiettive), grafici di funzioni (esempi di vario tipo, fra cui le funzioni elementari e funzioni definite a tratti).
- Concetto di partizione di un insieme. Relazioni di equivalenza e insiemi quozienti. Relazioni ordine parziali e totali, massimo, minimo, massimale, minimale, inf, sup.
- Numeri naturali e principio di induzione.
Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni.
- 26 settembre 2023 (appunti lezione) Introduzione al corso e test auto valutativo.
- 28 settembre 2023 (appunti lezione) Le ambiguità del linguaggio naturale: esiste, oppure, tutti e soli.
- 3 ottobre 2023 (appunti lezione) Insiemi e loro rappresentazioni.
- 5 ottobre 2023 (appunti lezione) Esercizi sugli insiemi. Variabili libere e vincolate.
- 10 ottobre 2023 (appunti lezione) Gli insiemi definiti tramite proprietà.
- 12 ottobre 2023 (appunti lezione) Implicazione e negazione. Esercizi.
- 17 ottobre 2023 (appunti lezione) Negazione di enunciati e inferenze.
- 19 ottobre 2023 (appunti lezione) Variabili numeriche e indici.
- 24 ottobre 2023 (appunti lezione) Sommatorie e produttorie.
- 26 ottobre 2023 (appunti lezione) Ripasso degli argomenti svolti.
- 31 ottobre 2023 (appunti lezione) Coerenza sintattica di una formula.
- 2 novembre 2023 (appunti lezione) Il principio di induzione.
- 7 novembre 2023 (appunti lezione) Le definizioni matematiche.
- 9 novembre 2023 (appunti lezione) Studiare una definizione.
- 14 novembre 2023 (appunti lezione) Esercitazione.
- 16 novembre 2023 (appunti lezione) Esercitazione.
- 21 novembre 2023 (appunti lezione) Esercitazione.
- 23 novembre 2023 (appunti lezione) Esercitazione.
- 28 novembre 2023 (Testo verifica) Simulazione verifica finale.
- 30 novembre 2023 (appunti lezione) Correzione.
5 dicembre 2023- 7 dicembre 2023 (appunti lezione) Correzione.
- 12 dicembre 2023 (appunti lezione) Esercitazione.
- 14 dicembre 2023 (appunti lezione) Esercitazione.
- 19 dicembre 2023 (testo, esiti) Verifica finale.
Materiale del corso
- Testi consigliati:
- M.Bramanti-G.Travaglini: Matematica. Questione di Metodo – Zanichelli (2009)
Aspetti pratici
- Docenti: Luca Spada
Crediti/ore:
- Durata: 60 ore (12 settimane).
Date/aule:
- Le lezioni cominceranno la settimana del 25 settembre 2023.
- Ci sono due lezioni a settimana, una di 2 ore e una di 3.
Esercizi/Esami
Esame:
- La valutazione del raggiungimento degli obiettivi prefissati avviene mediante un test a risposta multipla.
Appelli d’esame:
- 29 gennaio ore 14:00, aula 129 edificio E.
- 23 febbraio ore 9:30, aula C edificio E2.
- 2 nel periodo giugno-luglio
