Corso di Fondamenti della Matematica (2023/24)
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Descrizione del corso
La matematica vista nei primi anni di studi universitari include la geometria, l’algebra, l’analisi, la combinatoria, la probabilità. Nello studiare queste branche della matematica alcune domande sorgono quasi spontanee: cos’è in generale la matematica? Cosa è un sistema formale? È possibile costruire una teoria matematica che contenga tutte le altre? E se sì, quali sono i suoi assiomi? Quali sono le uniche cose che dobbiamo assumere vere affinché tutto il resto della matematica ne sia una conseguenza?
Queste domande ne fanno scaturire immediatamente altre. Se tutta la matematica può essere vista come un’unica grandissima teoria. Fin dove arriva questa? Quali sono i suoi limiti? È possibile dimostrare tutto ciò che è vero?
Nel corso degli anni in matematica sono state sviluppare tecniche sempre più sofisticate, ragionamenti sempre più complessi e costruzioni sempre più ardite. Da ciò sono nati risultati inaspettati, a volte così tanto da sembrare falsi. Come si può essere sicuri che alla fine i teoremi dimostrati finora non portino a contraddizione? Esistono delle fondamenta sicure per la matematica? Su cosa fonda la matematica?
Ad esempio, tutti gli studenti di matematica sanno che esistono vari livelli di infinito e che a volte le proprietà di questi infiniti sono contro intuitive. Come si può fare a sapere che questa idea di infinito è quella corretta? Come si può essere sicuri che i ragionamenti portati avanti in teorie matematiche che coinvolgono infinità di numeri, infinità di funzioni, infinità di spazi, alla fine siano corretti?
Molte di queste domande sono state oggetto di approfondita ricerca da parte di un grande matematico del 900: David Hilbert. Egli si chiese se tutto il processo della scoperta di nuove teorie e nuovi teoremi potesse in qualche modo essere meccanizzato. Queste domande portarono Hilbert a cambiare l’idea stessa della matematica per trasformarla in quello che studiamo oggi. Ma, mentre il più grande matematico del 900 mette in piedi questo enorme programma di ricerca, un giovane viennese di 24 anni, con la sua tesi di dottorato, distrugge completamente il programma dando risposta a molte delle domande viste prima. È sorprendente pensare che le risposte a queste domande possano essere teoremi matematici, piuttosto che speculazioni filosofiche.
In questo corso analizzeremo queste domande, le formalizzeremo e vedremo quali risposte sono state proposte.
Frequenza
La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.
Contenuti
Il corso coprirà i seguenti argomenti:
- Il metodo assiomatico e alcuni esempi.
- Coerenza, Completezza, Categoricità e Indipendenza.
- Il Programma di Hilbert.
- Modelli per una nozione formale di calcolabilità.
- Cenni sui teoremi di Gödel.
- La Teoria di Zermelo-Fraenkel.
- Assioma della scelta e alcune sue conseguenze importanti.
- Ordinali e Cardinali.
Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni.
- 25 settembre 2023 Introduzione al corso. Le flogghe che scoprano.
- 26 settembre 2023 Un altro esempio di sistema assiomatico: geometria in miniatura.
- 2 ottobre 2023 Proprietà dei sistemi assiomatici: coerenza, indipendenza.
- 3 ottobre 2023 Proprietà dei sistemi assiomatici: completezza.
- 9 ottobre 2023 Macchine di Turing: definizione ed esempi.
- 10 ottobre 2023 Funzioni primitive ricorsive: definizione ed esempi.
- 16 ottobre 2023 Funzioni parziali ricorsive: definizione ed esempi.
- 17 ottobre 2023 Codifiche ricorsive di sottoinsiemi finiti e stringhe di numeri naturali.
- 23 ottobre 2023 Insiemi ricorsivi e ricorsivanente enunerabili. L’insieme dell’arresto.
- 24 ottobre 2023 La crisi dei fondamenti. Il programma di Hilbert.
- 30 ottobre 2023 La teoria ZF: i primi assiomi.
- 31 ottobre 2023 La teoria ZF: i rimanenti assiomi.
- 6 novembre 2023 Buoni ordini.
- 7 novembre 2023 Segmenti iniziali.
- 13 novembre 2023 Il teorema di tricotomia.
- 14 novembre 2023 Gli ordinali. Prime proprietà.
- 20 novembre 2023 Ordinali come rappresentanti canonici di buoni ordini. L’ordinale \omega.
- 21 novembre 2023 Il teorema di induzione transfinita. Definizioni per ricorsione su On.
- 27 novembre 2023 Come uccidere un’idra e il Teorema di Goodstein.
- 28 novembre 2023 Forme equivalenti dell’Assioma della scelta.
4 dicembre 20235 dicembre 2023- 11 dicembre 2023 Il teorema di Cantor-Schröder-Bernstein.
- 12 dicembre 2023 La cardinalità di un insieme e i cardinali.
- 18 dicembre 2023 Operazioni sui cardinali. La biezione canonica tra On^2 e On.
- 19 dicembre 2023 Le categorie come fondamenti della matematica.
Materiale del corso
- Testi consigliati:
- M. Borga, D. Palladino, Oltre il mito della crisi: fondamenti e filosofia della matematica del XX secolo. Editrice La Scuola.
- G. Lolli, Tavoli, sedie e boccali di birra: David Hilbert e la matematica del Novecento. Raffaello Cortina Editore.
- S. Leonesi, C. Toffalori. Matematica, Miracoli e Paradossi. Storie di Cardinali da Cantor a Gödel (2007) Mondadori.
- G. Gerla, Dagli Insiemi alla Logica Matematica. Tentativi di Fondare la Matematica, Volume I e II. Ilmiolibro.it.
Le dispense e altro materiale riguardante il corso sarà messo a disposizione tramite Teams. Seguire questo link per iscriversi.
Aspetti pratici
- Docenti: Luca Spada
Crediti/ore:
- Durata: 48 ore (12 settimane).
- CFU: 6
Date/aule:
- Le lezioni cominceranno lunedì 25 settembre.
- Ci sono due lezioni a settimana:
- Lunedì dalle 15:00 alle 17:00, Aula F3.
- Martedì dalle 09:00 alle 11:00, Aula F6.
Esercizi/Esami
Esame:
L’esame per questo corso è solo orale. È possibile sostenere l’esame in qualunque momento prendendo preventivamente appuntamento con il docente (circa una settimana prima)
Appelli d’esame:
- Appello di gennaio: 26 gennaio, ore 9:00, studio docente
- Appello di febbraio: 15 febbraio, ore 9:00, studio docente
Corso di Algebra Universale e Teoria delle Categorie (2023/24)
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Descrizione del corso
Nei corsi dei primi anni si incontrano vari tipi di strutture: gruppi, anelli, campi, spazi vettoriali, etc. Molte tecniche utilizzate per il loro studio si rassomiglano e ci sono teoremi che si ripetono (es. teoremi di isomorfismo) cambiando di poco il linguaggio.
Gruppi, anelli, etc. vengono studiati approfonditamente per la loro importanza storica e perché sono onnipresenti in matematica. Ma ci sono molte altre strutture che sono interessanti per via delle loro applicazioni: reticoli, monoidi, semianelli, etc. A dire il vero ci sono centinaia di strutture algebriche attualmente studiate per via delle loro applicazioni in informatica, fisica, economia, etc.
Ci si può ragionevolmente domandare se ogni volta che si scopre qualche struttura di interesse bisogna ricominciare tutto da capo o se è possibile esportare tecniche e costruzioni da altre strutture simili. O, in maniera molto più ambiziosa, ci si può chiedere se esistano teoremi che riguardino TUTTE le strutture, che in qualche modo ne permettano la classificazione, suggeriscano le proprietà essenziali da studiare o possano dare immediatamente informazioni cruciali su strutture algebriche che mai incontrate prima.
La risposta a questa domanda è estremamente positiva. Da questa domanda si è sviluppata la branca della matematica che va sotto il nome di algebra universale. È una branca relativamente nuova, con un numero sorprendente di risultati. Il suo studio porta a una visione ampia, matura e profonda dell’algebra. Si riescono a mettere a fuoco chiaramente quali sono gli aspetti che le strutture hanno in comune, quali sono i punti chiave che fanno funzionare le teorie, quali sono le direzioni in cui cercare per ottenere nuovi teoremi.
Una volta fatta questa astrazione, si cominciano a vedere intere classi di strutture come oggetti matematici e se ne studiano le relazioni tra di loro. Questo porta alla definizione di categorie e funtori. Il linguaggio delle categorie permette di far rientrare nello stesso ambito ancora più strutture matematiche (ad esempio, grafi, insiemi ordinati, spazi topologici, misure di probabilità, etc.). Ciò permette non solo di esportare tecniche da un settore della matematica all’altro, ma anche di capire formalmente come tutti questi tipi di strutture sono correlati tra loro.
Prerequisiti
È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e di logica.
Frequenza
La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.
Contenuti
Il corso coprirà i seguenti argomenti:
- Richiami di Teoria dei Reticoli.
- Sottoalgebre, Omomorfismi e Congruenze.
- Prodotti Diretti e Prodotti Sottodiretti.
- Teoremi di Birkhoff.
- Categorie, funtori, trasformazioni naturali.
- Costruzioni universali.
- Il lemma di Yoneda.
- Aggiunzioni ed equivalenze categoriali.
Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:
- 25 settembre 2023 Introduzione al corso. Algebre, sottalgebre, omomorfismi e prodotti diretti.
- 27 settembre 2023 Esempi di classi di algebre e loro chiusura rispetto agli operatori H, S e P. Sottalgebra generata da un insieme.
- 2 ottobre 2023 Relazioni di equivalenza e congruenze. Congruenze generate.
- 4 ottobre 2023 Ordini, operatori di chiusura e reticoli. Definizione di categoria.
- 9 ottobre 2023 Funtori ed esempi
- 11 ottobre 2023 Trasformazioni naturali. Aggiunzioni.
16 ottobre 2023- 18 ottobre 2023 Definizioni alternative di aggiunzioni e loro equivalenza.
- 23 ottobre 2023 Prodotti, coprodotti, oggetti iniziali e terminali.
- 25 ottobre 2023 Equalizzatori e co-equalizzatori. Pull-back e push-out. Limiti e colimiti.
- 30 ottobre 2023 Ancora su equalizzatori e pull-back.
- 6 novembre 2023 Terza definizione di aggiunzione.
- 8 novembre 2023 Il lemma e l’immersione di Yoneda.
- 13 novembre 2023 Rappresentazioni dirette e congruenze complementari.
- 15 novembre 2023 Rappresentazioni sottodirette e teorema di rappresentazione sottodiretta.
- 20 novembre 2023 Il teorema HSP.
- 22 novembre 2023 (3 ore) Algebre libere.
- 27 novembre 2023 (3 ore) Il teorema di Birkhoff per le varietà.
29 novembre 20234 dicembre 2023- 6 dicembre 2023 (3 ore) Relazioni di equivalenza in una categoria e kernel pair.
- 11 dicembre 2023 (3 ore) Epimorfismi regolari
- 13 dicembre 2023 (3 ore) Epimorfismi estremali e categorie regolari.
- 18 dicembre 2023 (3 ore) Topos elementari.
Materiale del corso
- Testi consigliati:
- Clifford Bergman. Universal Algebra: fundamental and selected topics. CRC press. 2011
- S. Burris, H. P. Sankappanavar. A course on universal algebra. (Disponibile gratuitamente qui)
- Leinster, Tom. Basic category theory. Vol. 143. Cambridge University Press, 2014. (Disponibile gratuitamente qui)
- Harold Simmons. An introduction to category theory. Cambridge University Press, 2011. (Disponibile gratuitamente qui)
- Robert Goldblatt Topoi: The Categorial Analysis of Logic, Dover Publications 2006. (Disponibile gratuitamente qui)
- Saunders Mac Lane. Categories for the Working Mathematician (Seconda edizione). Springer. 1988. (Disponibile gratuitamente qui)
- Dispense del docente
Aspetti pratici
- Docente: Luca Spada
- Semestre: primo.
- Durata: 48 ore (12 settimane).
- CFU: 6
Date/aule:
Ci sono due lezioni a settimana:
- lunedì dalle 9:00 alle 11:00, Laboratorio 11, piano -1, Edificio F2.
- mercoledì dalle 14:00 alle 16:00, Laboratorio 11, piano -1, Edificio F2.
Esercizi/Esami
Esame:
L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.
L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso. Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente. In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi). Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).
Appelli d’esame:
- Appello di gennaio: 26 gennaio, ore 9:30, studio docente
- Appello di febbraio: 15 febbraio, ore 9:30, studio docente
Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada
Corso di Logica Matematica (2023/24)
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Il tutorato del corso si terrà ad aprile 2024, il calendario è disponibile più giù nella pagina.
Pubblicato il calendario delle lezioni di Help-Teaching (più giù nella pagina).
Descrizione del corso
È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e teoria degli insiemi.
Frequenza
La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.
Contenuti
Il corso coprirà i seguenti argomenti:
- Sintassi della logica proposizionale.
- Deduzione naturale per la logica proposizionale.
- Semantica della logica proposizionale.
- Algebre di Boole.
- Teorema di completezza della logica proposizionale.
- Sintassi della logica del prim’ordine.
- Semantica della logica del prim’ordine.
- Teorema di completezza per la logica del prim’ordine.
- Ultraprodotti.
- Limiti dei linguaggi del prim’ordine.
- Teorema di compattezza per la logica del prim’ordine.
Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:
- 27 settembre 2023 Introduzione al corso. Le formule ben formate.
- 28 settembre 2023 Tavole di verità, valutazioni, tautologie, conseguenza logica, contraddizioni.
- 4 ottobre 2023 Complessità delle formule, induzione sulla complessità. Teorema di completezza funzionale e forme normali congiuntive e disgiuntive.
- 5 ottobre 2023 Soddisfacibilità. Il teorema di compattezza.
- 11 ottobre 2023 Un’applicazione del teorema di compattezza: il teorema di de Bruin-Erdos
- 12 ottobre 2023 La deduzione naturale: le regole di derivazione.
- 18 ottobre 2023 Esempi di deduzione naturale. La adeguatezza della deduzione naturale.
- 19 ottobre 2023 Il teorema di completezza per la logica proposizionale. Ordini, reticoli e algebre di Boole.
- 25 ottobre 2023 Omomorfismi, congruenze e sottalgebre. Il primo teorema di isomorfismo.
- 26 ottobre 2023 Filtri, nuclei e congruenze.
- 2 novembre 2023 Ultrafiltri e loro proprietà.
- 8 novembre 2023 Il teorema di Stone.
- 9 novembre 2023 Algebre libere, algebre di Lindenbaum-Tarski e completezza algebrica.
- 15 novembre 2023 La sintassi della logica del prim’ordine.
- 16 novembre 2023 La semantica della logica del prim’ordine. Validità e conseguenza logica.
- 22 novembre 2023 Forme normali prenesse. La deduzione naturale per la logica del prim’ordine.
- 23 novembre 2023 Verso il teorema di completezza: estensioni di teorie, estensioni conservative e teorie Henkin.
- 29 novembre 2023 Il teorema di esistenza del modello.
- 30 novembre 2023 Il teorema di esistenza del modello: considerazioni sulla sua cardinalità. Correttezza delle regole di deduzione.
- 6 dicembre 2023 Ultraprodotti: definizione ed esempi.
- 7 dicembre 2023 Il teorema di Loš. Il teorema di compattezza per la logica del prim’ordine.
- 13 dicembre 2023 Definibilità e assiomatizzabilità al prim’ordine.
- 14 dicembre 2023 (1 ora) La teoria degli ordini lineari densi senza estremi è \aleph_0-categorica.
Materiale del corso
- Testi consigliati:
- Dirk van Dalen. Logic and Structure. Springer 1994.
- Elliott Mendelson. Introduzione alla logica matematica. Bollati Boringhieri 1977.
- J. L. Bell, A. B. Slomson. Models and Ultraproducts: An Introduction. Dover 2006.
- Dispense: Dispense-v6.4.
- Attenzione: le dispense potrebbero subire degli aggiornamenti minori. Tutte le versioni saranno disponibili su questo sito per fare confronti. Una lista dei cambiamenti principali sarà inclusa nel testo.
- Per segnalare errori per piacere inviare un’email a Luca Spada.
Aspetti pratici
- Docente: Luca Spada
- Docente Help-Teaching: Matteo De Berardinis.
- Tutor: Crescenzo Erra.
Crediti/ore:
- Durata: 56 ore (11 settimane).
- CFU: 7
Date/aule:
- Le lezioni cominceranno mercoledì 27 settembre.
- Ci sono due lezioni a settimana:
- Mercoledì dalle 9:00 alle 11:00, aula F3.
- Giovedì dalle 11:00 alle 14:00, aula F6.
- Le lezioni dell’Help Teaching si terranno secondo il seguente calendario:
- venerdì 24 novembre, 16:00–18:00 aula P5 – Appunti della lezione.
- giovedì 30 novembre, 15:00–17:00 aula F6 – Appunti della lezione.
- giovedì 7 dicembre, 15:00–17:00 aula F6 – Appunti della lezione.
- giovedì 14 dicembre, 12:00–14:00 aula F6 Appunti della lezione
- mercoledì 20 dicembre, 9:00–11:00 aula F3 Appunti della lezione
- giovedì 21 dicembre, 11:00–13:00 aula F6 Appunti della lezione
- mercoledì 10 gennaio, 11:00–13:00, aula P19, ultimo piano edificio F3. Appunti della lezione
- martedì 6 febbraio, dalle 14:00 alle 16:00, aula P19. Appunti della lezione
- venerdì 9 febbraio, dalle 11:00 alle 13:00, aula P19. Appunti della lezione
- martedì 13 febbraio, dalle 11:00 alle 13:00, aula P19. Appunti della lezione
- Le lezioni del Tutorato si terranno secondo il seguente calendario:
- mercoledì 10 aprile ore 9:00–12:00 aula SEC18 (edificio F3)
- mercoledì 17 aprile ore 9:00–12:00 aula SEC18 (edificio F3)
- martedì 23 aprile ore ore 9:00–12:00 aula SEC18 (edificio F3)
- martedì 30 aprile ore ore 9:00–12:00 aula SEC18 (edificio F3)
Esercizi/Esami
Esame:
L’esame per questo corso è solo orale. È possibile sostenere l’esame in qualsiasi momento contattando il docente circa una settimana prima.
L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso. Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente. In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi). Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).
Appelli d’esame
- Appello di gennaio: 25 gennaio, ore 9:00, aula P5
- Appello di febbraio: 8 febbraio, ore 9:00, aula P5
Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada
Corso di Algebra Universale e Teoria delle Categorie (2022/23)
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Descrizione del corso
Nei corsi di algebra dei primi anni si incontrano vari tipi di strutture: gruppi, anelli, campi, spazi vettoriali, etc. Molte tecniche utilizzate per il loto studio si rassomiglano e ci sono teoremi che si ripetono (es. teoremi di isomorfismo) cambiando di poco il linguaggio.
Gruppi, anelli, etc. vengono studiati approfonditamente per la loro importanza storica e perché sono onnipresenti in matematica. Ma ci sono molte altre strutture che sono interessanti per via delle loro applicazioni: reticoli, monoidi, semianelli, etc. A dire il vero ci sono centinaia di strutture algebriche attualmente studiate per via delle loro applicazioni in informatica, fisica, economia, etc.
Ci si può ragionevolmente domandare se ogni volta che si scopre qualche struttura di interesse bisogna ricominciare tutto da capo o se è possibile esportare tecniche e costruzioni da altre strutture simili. O, in maniera molto più ambiziosa, ci si può chiedere se esistano teoremi che riguardino TUTTE le strutture, che in qualche modo ne permettano la classificazione, suggeriscano le proprietà essenziali da studiare o possano dare immediatamente informazioni cruciali su strutture algebriche che mai incontrate prima.
La risposta a questa domanda è estremamente positiva. Da questa domanda si è sviluppata la branca della matematica che va sotto il nome di algebra universale. È una branca relativamente nuova, con un numero sorprendente di risultati. Il suo studio porta a una visione ampia, matura e profonda dell’algebra. Si riescono a mettere a fuoco chiaramente quali sono gli aspetti che le strutture hanno in comune, quali sono i punti chiave che fanno funzionare le teorie, quali sono le direzioni in cui cercare per ottenere nuovi teoremi.
Per dare un esempio dei risultati potenti e inaspettati che è possibile incontrare, si pensi che esistono classificazioni che permettono di stabilire se una data classe di strutture è chiusa rispetto a operazioni standard come immagini omomorfe, sottoalgebre o prodotti esclusivamente in base alla forma sintattica degli assiomi che la definiscono. Ad esempio il teorema di Birkhoff afferma che una classe di strutture è chiusa rispetto a immagini omomorfe, sottoalgebre o prodotti se e soltanto se essa può essere definita tramite equazioni.
Prerequisiti
È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e di logica.
Frequenza
La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.
Contenuti
Il corso coprirà i seguenti argomenti:
- Sottoalgebre, Omomorfismi e Congruenze.
- Richiami di Teoria dei Reticoli
- Prodotti Diretti e Prodotti Sottodiretti.
- Teoremi di Birkhoff
- Categorie, funtori
- Costruzioni universali
- Teorie di Lawvere
Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:
- 28/02/2022 – Introduzione al corso
- 01/03/2022 – Tipi algebrici, omomorfismi, sottalgebre e prodotti diretti.
- 07/03/2022 – Sottouniversi generati e sottalgebre.
- 08/03/2022 – Omomorfismi e congruenze. Il primo teorema di isomorfismo.
- 14/03/2022 – Richiami di teoria dei reticoli. Reticoli e operatori di chiusura.
- 15/03/2022 – Elementi compatti di un reticolo. Reticoli algebrici e operatori di chiusura algebrici.
- 21/03/2022 – Elementi compatti di un reticolo. Reticoli algebrici e operatori di chiusura algebrici.
- 22/03/2022 – Connessioni di Galois: proprietà ed esempi.
- 28/03/2022 – Il secondo teorema di isomorfismo.
- 29/03/2022 – Il terzo teorema di isomorfismo.
- 04/04/2022 – Rappresentazioni dirette.
- 05/04/2022 – Rappresentazioni sottodirette.
- 12/04/2022 – Il teorema di rappresentazione sottodiretta.
- 18/04/2022 – Il teorema HSP.
- 19/04/2022 – Algebre dei termini e algebre libere per una classe.
- 26/04/2022 – Teorema di esistenza delle algebre libere.
- 02/05/2022 – Il teorema di Birkhoff.
- 03/05/2022 – Introduzione alla teoria delle categorie.
- 09/05/2022 – Sottocategorie, categorie opposte e categorie comma. Oggetti iniziali e terminali.
- 10/05/2022 – Prodotti, coprodotti, equalizzatori e co-equalizzatori, limiti e co-limiti.
- 16/05/2022 – Funtori e trasformazioni naturali.
- 17/05/2022 – Aggiunzioni e equivalenze.
- 23/05/2022 – Categorie regolari.
- 24/05/2022 – Categorie esatte.
Materiale del corso
- Testi consigliati:
- Clifford Bergman. Universal Algebra: fundamental and selected topics. CRC press. 2011
- S. Burris, H. P. Sankappanavar. A course on universal algebra. (Disponibile gratuitamente qui)
- Harold Simmons. An introduction to category theory. Cambridge University Press, 2011. (Disponibile gratuitamente qui)
- Robert Goldblatt Topoi: The Categorial Analysis of Logic, Dover Publications 2006. (Disponibile gratuitamente qui)
- Saunders Mac Lane. Categories for the Working Mathematician (Seconda edizione). Springer. 1988. (Disponibile gratuitamente qui)
Aspetti pratici
- Docente: Luca Spada
- Semestre: secondo.
- Durata: 48 ore (12 settimane).
- CFU: 6
Date/aule:
Ci sono due lezioni a settimana:
martedì dalle 10:00 alle 11:45, Laboratorio 11, piano -1, Edificio F2.
mercoledì dalle 9:30 alle 11:00, Aula P19, piano 2, Edificio F3.
Esercizi/Esami
Esame:
- L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.
L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso. Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente. In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi). Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).
Appelli d’esame:
- Appelli estivi: 2 appelli nel periodo giugno-luglio.
- Appello autunnale: 1 appello a settembre.
Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada
PhD course on lattice-ordered groups and polyhedral geometry (Spring 2023)
Introduction
The course is an introduction to the theory of abelian lattice-ordered groups from different perspectives. Initially, we study these structures with purely algebraic methods. We will analyse some important theorems and connections with other parts of mathematics, such as AF C*-algebras. Later we will move on to their geometric study, through the Baker-Beynon duality. It will be seen that, just as the commutative rings provide an algebraic counterpart for the study of affine manifolds with polynomial maps, lattice-ordered groups represent the algebraic counterpart of the polyhedral cones and piece-wise linear homogenous maps between them.
Course topics
- Abelian lattice-ordered groups: definition and examples.
- Representation results.
- Archimedeanity and strong (order) unit.
- Free and finitely presented abelian l-groups.
- Baker&Beynon duality.
- Polyhedral geometry
Lecture by lecture topics
- 5/5/2023: Introduction to the course. Motivations and applications of the theory of abelian lattice ordered groups. Main examples. Crash course on Galois connections and categorical adjunctions.
- 11/5/2023: Overview of the main results and techniques in the study of l-groups: The integers and Weinberg’s theorem. Archimedeanicity and Hölder’s theorem. Semisimplicity and Yosida’s representation.
- 12/5/2023: Strong unit and MV-algebras. The free abelian l-groups as algebras of functions. Lattice ordered groups and piecewise linear geometry.
- 18/5/2023: The general adjunction and its fixed points: Baker&Beynon duality and polyhedral geometry.
Course material
- Bigard, A., Keimel, K., & Wolfenstein, S. (2006). Groupes et anneaux réticulés (Vol. 608). Springer.
- Anderson, M. E., & Feil, T. H. (2012). Lattice-ordered groups: an introduction (Vol. 4). Springer Science & Business Media.
- Goodearl, K. R. (2010). Partially ordered abelian groups with interpolation (No. 20). American Mathematical Soc.
- Glass, A. M. W. (1999). Partially ordered groups (Vol. 7). World Scientific.
Practical aspects
Term and schedule
Lecturer: Luca Spada
Course duration: 10 hours.
Course calendar: 5, 11, 12 and 18 of May, from 10:00 to 12:45. All lectures are in room P19 (last floor, building F3).
Exam
You can choose to take the final exam in one of the following ways:
- A short oral interview (about 30 minutes) in which the knowledge acquired on the basic and more advanced concepts will be evaluated.
- The presentation of a topic agreed with the teacher and not covered in the course, in the form of a short seminar also open to other doctoral students lasting about 30 minutes.
- Solving some exercises at home.
