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PhD course on lattice-ordered groups and polyhedral geometry (Spring 2024)

Introduction

The course is an introduction to the theory of abelian lattice-ordered groups from different perspectives. Initially, we study these structures with purely algebraic methods. We will analyse some important theorems and connections with other parts of mathematics, such as AF C*-algebras. Later we will move on to their geometric study, through the Baker-Beynon duality. It will be seen that, just as the commutative rings provide an algebraic counterpart for the study of affine manifolds with polynomial maps, lattice-ordered groups represent the algebraic counterpart of the polyhedral cones and piece-wise linear homogenous maps between them.

Course topics

• Abelian lattice-ordered groups: definition and examples.
• Representation results.
• Archimedeanity and strong (order) unit.
• Free and finitely presented abelian l-groups.
• Baker&Beynon duality.
• Mundici’s functor.
• MV-algebras.
• Polyhedral geometry.

Lecture by lecture topics

• 19 March – Introduction to the course, overview of the contents, basic definitions and first properties. Lecture notes.
• 22 March – Examples, l-homomorphisms and l-ideals. Lecture notes.
• 26 March – Congruences and l-ideals. Prime l-ideals. Subdirect representation by linearly ordered l-groups. Lecture notes.
• 27 March – Lexicographic products, Archimedean l-groups, Hölder theorem, Weinberg theorem. Lecture notes.
• 4 April – General affine adjunctions. Example: Stone duality. Lecture notes.
• 5 April – Unital l-groups, MV-algebras, a geometric duality for semi-simple MV-algebras. Lecture notes.
• 9 April – Baker-Beynon duality Archimedean for l-groups. Lecture notes.
• 11 April – Beyond Baker-Beynon duality: the duality for the whole class of l-groups. Luca Carai’s Slides.
• 16 April – Polyhedral geometry: triangulations and unimodular triangulations. Lecture notes.
• 18 April – Finitely generated projective l-groups. Yosida duality. Lecture notes.

Course material

• Bigard, A., Keimel, K., & Wolfenstein, S. (2006). Groupes et anneaux réticulés (Vol. 608). Springer.
• Anderson, M. E., & Feil, T. H. (2012). Lattice-ordered groups: an introduction (Vol. 4). Springer Science & Business Media.
• Goodearl, K. R. (2010). Partially ordered abelian groups with interpolation (No. 20). American Mathematical Soc.
• Glass, A. M. W. (1999). Partially ordered groups (Vol. 7). World Scientific.
• Cignoli R., D’Ottaviano I. M. L., Mundici D. (2000) Algebraic Foundations of many-valued Reasoning, Trends in Logic, Vol. 7, Kluwer Academic Publishers.
• Mundici, D. (2011). Advanced Łukasiewicz calculus and MV-algebras, Trends in Logic, Vol. 35 Springer.

Practical aspects

Term and schedule

Lecturer: Luca Spada
Course duration: 20 hours.
Course calendar: Lectures will all take place in room P18 from 9:30 to 11:30 in the following days: 19 March, 22 March, 26 March, 27 March, 4 April, 5 April, 9 April, 11 April, 16 April, 18 April.

Exam

You can choose to take the final exam in one of the following ways:

• A short oral interview (about 30 minutes) in which the knowledge acquired on the basic and more advanced concepts will be evaluated.
• The presentation of a topic agreed with the teacher and not covered in the course, in the form of a short seminar also open to other doctoral students lasting about 30 minutes.
• Solving some exercises at home.

Corso di Logica Matematica (2022/23)

News

Descrizione del corso

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e teoria degli insiemi.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

• Sintassi della logica proposizionale.
• Deduzione naturale per la logica proposizionale.
• Semantica della logica proposizionale.
• Algebre di Boole.
• Teorema di completezza della logica proposizionale.
• Sintassi della logica del prim’ordine.
• Semantica della logica del prim’ordine.
• Teorema di completezza per la logica del prim’ordine.
• Ultraprodotti.
• Limiti dei linguaggi del prim’ordine.
• Teorema di compattezza per la logica del prim’ordine.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:

1. 26/09/2022 – Introduzione al corso. Il ragionamento logico e le sue regole.
2. 28/09/2022 – Il linguaggio della logica proposizionale. Tavole di verità.
3. 03/10/2022 – Conseguenza logica, insiemi soddisfacibili e loro prime proprietà.
4. 05/10/2022 – Il teorema di compattezza della logica preposizionale e una sua applicazione.
5. 10/10/2022 – Introduzione alla deduzione naturale.
6. 12/10/2022 – Derivabilità e insiemi coerenti di formule.
7. 17/10/2022 – Completezza della logica proposizionale.
8. 19/10/2022 – Introduzione alle algebre di Boole: ordini parziali e reticolari.
9. 24/10/2022 – Omomorfismi e sottalgebre.
10. 26/10/2022 – Filtri e ultrafiltri.
11. 31/10/2022 – Non ci sarà lezione.
12. 02/11/2022 – Il teorema di rappresentazione di Stone.
13. 07/11/2022 – Sintassi della logica del prim’ordine.
14. 09/11/2022 – Semantica della logica del prim’ordine.
15. 14/11/2022 – Conseguenza logica, forme normali prenesse, regole di deduzione per i quantificato.
16. 16/11/2022 – Il teorema di adeguatezza.
17. 21/11/2022 – Il lemma di esistenza del modello e il teorema di completezza.
18. 23/11/2022 – Il teorema di Löwenheim-Skolem all’ingiù.
19. 28/11/2022 – Il teorema di Löwenheim-Skolem all’insù e sue conseguenze.
20. 30/11/2022 – Ultraprodotti e Teorema di Łoš. Dimostrazione diretta del Teorema di Compattezza.
21. 05/12/2022 – Algebre di Boole liberamente generate.
22. 07/12/2022 – Algebre di Lindenbaum-Tarski.
23. 12/12/2022 – Il teorema di completezza algebrica.
24. 14/12/2022 – Tutorato.
25. 19/12/2022 – (un’ora) Altre applicazioni degli ultrafiltri.

Materiale del corso

• Testi consigliati:
  • Dirk van Dalen. Logic and Structure. Springer 1994.
  • Elliott Mendelson. Introduzione alla logica matematica. Bollati Boringhieri 1977.
  • J. L. Bell, A. B. Slomson. Models and Ultraproducts: An Introduction. Dover 2006.
• Dispense: Dispense-6.4
  • Attenzione: le dispense potrebbero subire degli aggiornamenti minori.  Tutte le versioni saranno disponibili su questo sito per fare confronti.  Una lista dei cambiamenti principali sarà inclusa nel testo.
  • Per segnalare errori per piacere inviare un’email a Luca Spada.

Aspetti pratici

• Docente: Luca Spada
• Tutor: Marco Abbadini (il tutorato incomincerà giovedì 6 ottobre).

Crediti/ore:

• Durata: 56 ore (11 settimane).
• CFU: 7

Date/aule:

• Le lezioni cominceranno lunedì 26 settembre.
• Ci sono due lezioni a settimana:
  • lunedì dalle 11:15 alle 13:45, aula P1.
  • mercoledì dalle 09:15 alle 10:45, aula P1.

Esercizi/Esami

Esame:

• L’esame per questo corso è solo orale. È possibile sostenere l’esame in qualsiasi momento contattando il docente circa una settimana prima.

L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso.  Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente.  In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi).  Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).

Appelli d’esame

• 9 gennaio 2023 ore 9:00 aula F6 edificio F2.
• 15 febbraio 2023 ore 9:00 aula F6 edificio F2.

Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada

Corso di Logica Matematica (2021/22)

News

(9/5/2022) Pubblicate le date degli appelli estivi e di quello autunnale.

(9/5/2022) All’inizio di giugno partirà un corso help teaching di supporto alla preparazione dell’esame. Maggiori notizie a breve.

Descrizione del corso

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e teoria degli insiemi.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

• Sintassi della logica proposizionale.
• Deduzione naturale per la logica proposizionale.
• Semantica della logica proposizionale.
• Algebre di Boole.
• Teorema di completezza della logica proposizionale.
• Sintassi della logica del prim’ordine.
• Semantica della logica del prim’ordine.
• Teorema di completezza per la logica del prim’ordine.
• Ultraprodotti.
• Limiti dei linguaggi del prim’ordine.
• Teorema di compattezza per la logica del prim’ordine.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:

1. 22/09/2021 – Introduzione al corso. Formule ben formate.
2. 24/09/2021 – Valutazioni, tautologie, conseguenza logica.
3. 29/09/2021 – Completezza funzionale, forme normali congiuntive e disgiuntive, insiemi massimalmente finitamente soddisfacibili.
4. 01/10/2021 – Il teorema di compattezza.
5. 06/10/2021 – La deduzione naturale. Adeguatezza del sistema.
6. 08/10/2021 – Coerenza e soddisfacibilità. La completezza della logica proposizionale.
7. 13/10/2021 – Introduzione ai reticoli e le algebre di Boole.
8. 15/10/2021 – Prime proprietà delle algebre di Boole e primo teorema di isomorfismo.
9. 20/10/2021 – Relazioni tra epimorfismi, congruenze e filtri.
10. 22/10/2021 – Ideali, filtri principali e ultrafiltri.
11. 27/10/2021 – Teorema di rappresentazione di Stone
12. 29/10/2021 – Algebre di Boole liberamente generate e algebre di Lindenbaum-Tarski
13. 03/11/2021 – Verso il teorema di completezza algebrica.
14. 05/11/2021 – Il teorema di completezza algebrica.
15. 10/11/2021 – La logica del prim’ordine: sintassi.
16. 12/11/2021 – La logica del prim’ordine: semantica.
17. 17/11/2021 – Formule del prim’ordine logicamente valide. Forma normale premessa. La deduzione naturale per la logica del prim’ordine.
18. 19/11/2021 – Teorema di adeguatezza.
19. 24/11/2021 – Teorie Henkin, estensioni conservative, il teorema di esistenza del modello.
20. 26/11/2021 – Il teorema di completezza della logica del prim’ordine e la compattezza come suo corollario.
21. 01/12/2021 – Ultraprodotti, teorema di Los.
22. 03/12/2021 – Teorema di Compattezza con l’uso degli ultraprodotti. I teoremi di Lowenheim-Skolem.
23. 10/12/2021 – Applicazioni.

Materiale del corso

• Testi consigliati:
  • Dirk van Dalen. Logic and Structure. Springer 1994.
  • Elliott Mendelson. Introduzione alla logica matematica. Bollati Boringhieri 1977.
  • J. L. Bell, A. B. Slomson. Models and Ultraproducts: An Introduction. Dover 2006.
• Dispense: Ultima versione.
  • Attenzione: le dispense potrebbero subire degli aggiornamenti minori.  Tutte le versioni saranno disponibili su questo sito per fare confronti.  Una lista dei cambiamenti principali sarà inclusa nel testo.
  • Per segnalare errori per piacere inviare un’email a Luca Spada.

Aspetti pratici

• Docente: Luca Spada
• Link Team

Crediti/ore:

• Durata: 56 ore (11 settimane).
• CFU: 7

Date/aule:

• Le lezioni cominceranno mercoledì 22 settembre in modalità mista.
• Ci sono due lezioni a settimana:
  • mercoledì dalle 11:15 alle 13:45, aula F6+Teams.
  • venerdì dalle 11:15 alle 13:00, aula F6+Teams.

Esercizi/Esami

Tutorato:

Esame:

• L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.

L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso.  Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente.  In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi).  Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).

Appelli d’esame:

• Appelli invernali:
  1. 10 gennaio 2022 ore 9:00 aula P5 (in presenza)
  2. 31 gennaio 2022 ore 9:00 aula P5 (in presenza)
• Appelli estivi:
  1. 8 giugno 2022 ore 9:00 aula P11.
  2. 30 giugno 2022 ore 9:00 aula P11.
• Appello autunnale:
  1. 1 settembre 2022 ore 9:00 aula P11.

Per gli esami a distanza prendere un appuntamento via email con il docente con circa una settimana di anticipo.

Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada

Corso di Fondamenti della Matematica (2021/22)

News

(9/5/22) Pubblicate le date d’appello per la sessione estiva e quella autunnale (alla fine di questa pagina).

Descrizione del corso

La matematica vista nei primi anni di studi universitari include la geometria, l’algebra, l’analisi, la combinatoria, la probabilità. Nello studiare queste branche della matematica alcune domande sorgono quasi spontanee: cos’è in generale la matematica? Cosa è un sistema formale? È possibile costruire una teoria matematica che contenga tutte le altre? E se sì, quali sono i suoi assiomi? Quali sono le uniche cose che dobbiamo assumere vere affinché tutto il resto della matematica ne sia una conseguenza?

Queste domande ne fanno scaturire immediatamente altre. Se tutta la matematica può essere vista come un’unica grandissima teoria. Fin dove arriva questa? Quali sono i suoi limiti? È possibile dimostrare tutto ciò che è vero?

Nel corso degli anni in matematica sono state sviluppare tecniche sempre più sofisticate, ragionamenti sempre più complessi e costruzioni sempre più ardite. Da ciò sono nati risultati inaspettati, a volte così tanto da sembrare falsi. Come si può essere sicuri che alla fine i teoremi dimostrati finora non portino a contraddizione? Esistono delle fondamenta sicure per la matematica? Su cosa fonda la matematica?

Ad esempio, tutti gli studenti di matematica sanno che esistono vari livelli di infinito e che a volte le proprietà di questi infiniti sono contro intuitive. Come si può fare a sapere che questa idea di infinito è quella corretta? Come si può essere sicuri che i ragionamenti portati avanti in teorie matematiche che coinvolgono infinità di numeri, infinità di funzioni, infinità di spazi, alla fine siano corretti?

Molte di queste domande sono state oggetto di approfondita ricerca da parte di un grande matematico del 900: David Hilbert. Egli si chiese se tutto il processo della scoperta di nuove teorie e nuovi teoremi potesse in qualche modo essere meccanizzato. Queste domande portarono Hilbert a cambiare l’idea stessa della matematica per trasformarla in quello che studiamo oggi. Ma, mentre il più grande matematico del 900 mette in piedi questo enorme programma di ricerca, un giovane viennese di 24 anni, con la sua tesi di dottorato, distrugge completamente il programma dando risposta a molte delle domande viste prima. È sorprendente pensare che le risposte a queste domande possano essere teoremi matematici, piuttosto che speculazioni filosofiche.

In questo corso analizzeremo queste domande, le formalizzeremo e vedremo quali risposte sono state proposte.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

• Il metodo assiomatico.
• Esempi di metodi assiomatici.
• Coerenza, Completezza, Categoricità e Indipendenza.
• Il Programma di Hilbert.
• Cenni sui teoremi di Gödel.
• La Teoria di Zermelo-Fraenkel.
• Assioma della scelta e alcune sue conseguenze importanti.
• Ordinali e Cardinali.
• Indipendenza di alcuni assiomi da ZF.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni.

1. 23/09/2021 – Introduzione al corso. Un mini esempio di sistema assiomatico: le flogghe che scoprono.
2. 24/09/2021 – Geometria in miniatura, un secondo esempio di sistema assiomatico e sue possibili interpretazioni.
3. 29/09/2021 – Alcuni teoremi nel sistema “geometria in miniatura”. Indipendenza degli assiomi.
4. 30/09/2021 – Modelli, interpretazioni, soddisfacibilità e coerenza.
5. 06/10/2021 – Completezza e categoricità.
6. 07/10/2021 – La crisi delle matematica del 900.
7. 13/10/2021 – Il V postulato di Euclide e le geometrie non euclidee.
8. 14/10/2021 – Il programma di Hilbert: decidibilità
9. 20/10/2021 – Il programma di Hilbert: completezza
10. 21/10/2021 – I primi assiomi della teoria ZFC.
11. 27/10/2021 – Funzioni. Assioma dell’infinito e assiomi di rimpiazzamento.
12. 28/10/2021 – Assioma di regolarità e assioma della scelta. Insiemi ben ordinati.
13. 03/11/2021 – Il teorema di tricotomia
14. 04/11/2021 – Non ci sarà lezione.
15. 10/11/2021 – Gli ordinali.
16. 11/11/2021 – Induzione e ricorsione transfinita.
17. 17/11/2021 – Operazioni sugli ordinali.
18. 18/11/2021 – Formulazioni equivalenti dell’assioma della scelta.
19. 24/11/2021 – Cardinali.
20. 25/11/2021 – La biezione canonica tra On x On e On.
21. 01/12/2021 – Somma e prodotto di cardinali. L’ipotesi del continuo. L’universo dei costruibili.
22. 02/12/2021 – Introduzione al linguaggio della teoria delle categorie.
23. 09/12/2021 – Mono, epi, iso, coni e co-coni.
24. 15/12/2021 – Funtori e trasformazioni naturali
25. 16/12/2021 – Categorie per i fondamenti della matematica.

Materiale del corso

• Testi consigliati:
  • M. Borga, D. Palladino, Oltre il mito della crisi: fondamenti e filosofia della matematica del XX secolo. Editrice La Scuola.
  • G. Lolli, Tavoli, sedie e boccali di birra: David Hilbert e la matematica del Novecento. Raffaello Cortina Editore.
  • S. Leonesi, C. Toffalori. Matematica, Miracoli e Paradossi. Storie di Cardinali da Cantor a Gödel (2007) Mondadori.
  • G. Gerla, Dagli Insiemi alla Logica Matematica. Tentativi di Fondare la Matematica, Volume I e II. Ilmiolibro.it.

Aspetti pratici

• Docenti: Luca Spada
• Link Teams

Crediti/ore:

• Durata: 48 ore (12 settimane).
• CFU: 6

Date/aule:

• Le lezioni cominceranno giovedì 23 settembre su Microsoft Teams.
• Ci sono due lezioni a settimana:
  • mercoledì dalle 16:15 alle 17:45, online su Teams.
  • giovedì dalle 14:15 alle 15:45, online su Teams.

Esercizi/Esami

Esame:

• L’esame per questo corso è solo orale. 

Appelli d’esame:

• Appelli invernali:
  1. 14 gennaio 2022 ore 9:00 aula F3 (in presenza)
  2. 11 febbraio 2022 ore 9:00 aula F3 (in presenza)
• Appelli estivi:
  1. 8 giugno 2022 ore 15:00 aula P11.
  2. 30 giugno 2022 ore 15:00 aula P11.
• Appello autunnale:
  1. 1 settembre 2022 ore 15:00 aula P11.

Per gli esami a distanza prendere un appuntamento via email con il docente circa una settimana prima.

Corso di Matematiche Complementari II (2020/21)

News

Descrizione del corso

Il corso sarà tenuto dai prof. G. Vincenzi e L. Spada. L’obiettivo è fornire conoscenza degli aspetti fondazionali della matematica nel loro sviluppo storico.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

La parte del corso riguardante i fondamenti coprirà i seguenti argomenti:

• Il metodo assiomatico.
• Esempi di metodi assiomatici.
• Coerenza, Completezza, Categoricità e Indipendenza.
• La Teoria di Zermelo-Fraenkel.
• Ordinali e Cardinali.
• Assioma della scelta e alcune sue conseguenze importanti.
• Il Programma di Hilbert.
• Cenni sui teoremi di Gödel.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni tenute da Luca Spada.

1. 03/03/2021 – Introduzione al corso. Il sistema assiomatico.
2. 10/03/2021 – Esempi di sistemi assiomatici e loro interpretazioni.
3. 17/03/2021 – Un altro esempio: le flogghe che scorpano. Proprietà dei sistemi formali: coerenza e soddisfacibilità.
4. 24/03/2021 – Indipendenza e completezza dei sistemi formali.
5. 31/03/2021 – Lo sviluppo dei fondamenti tra il XVIII e XX secolo.
6. 07/04/2021 – I primi assiomi di ZF.
7. 14/04/2021 – Gli altri assiomi di ZF e loro prime conseguenze.
8. 21/04/2021 – La costruzione di N, Z, Q e R all’interno di ZF. L’assioma di regolarità e l’assioma della scelta.
9. 28/04/2021 – Insiemi transitivi, buoni ordini e Ordinali.
10. 05/05/2021 – Proprietà degli insiemi ben ordinati e degli ordinali.
11. 12/05/2021 – Il teorema di tricotomia. Operazioni sugli ordinali.
12. 19/05/2021 – I cardinali. Conclusioni.

Materiale del corso

• Testi consigliati:
  • M. Borga, D. Palladino, Oltre il mito della crisi: fondamenti e filosofia della matematica del XX secolo. Editrice La Scuola.
  • G. Lolli, Tavoli, sedie e boccali di birra: David Hilbert e la matematica del Novecento. Raffaello Cortina Editore.
  • S. Leonesi, C. Toffalori. Matematica, Miracoli e Paradossi. Storie di Cardinali da Cantor a Gödel (2007) Mondadori.
  • G. Gerla, Dagli Insiemi alla Logica Matematica. Tentativi di Fondare la Matematica, Volume I e II. Ilmiolibro.it.

Aspetti pratici

• Docenti: Luca Spada e Giovanni Vincenzi
• Link Teams

Crediti/ore:

• Durata: 48 ore (12 settimane).
• CFU: 6

Date/aule:

• Le lezioni cominceranno lunedì 1 marzo su Microsoft Teams.
• Ci sono due lezioni a settimana:
  • lunedì dalle 16:00 alle 18:00 (Vincenzi), online su Teams.
  • mercoledì dalle 15:00 alle 17:00 (Spada), online su Teams.

Esercizi/Esami

Esame:

• L’esame per questo corso è solo orale. 

Appelli d’esame:

• Appelli estivi: 10 giugno 2021 e 13 luglio 2021 (Il primo a distanza il secondo sia in presenza che a distanza).
• Appello autunnale: 6 settembre 2021 (sia in presenza che a distanza).
• Un ulteriore appello nel periodo tra l’8 novembre e il 10 dicembre 2021.