An introduction to Topos Theory (Phd course 2018/19)

This year I will teach an introduttive course on Topos Theory.

Topos theory has many different aspects. On the one hand, a topos is a generalisation of a topological space. On the other hand, every topos can be thought of as a mathematical universe in which one can do mathematics. In fact, there is a duality between Grothendieck topoi and certain first-order theories of logic, called geometric theories. Topos theory grew out of the observation that the category of sheaves over a fixed topological space forms a universe of “continuously variable sets” which obeys the laws of intuitionistic logic. After recalling some basic notions in Category Theory such as functors, natural transformations, limits and adjunctions, we will examine categories of presheaves and their fundamental properties, Grothendieck sites and sheaves and the notion of elementary topos. Applications to logic will be treated.

The (tentative) course calendar is as follows:

Tuesday, 7 May 2019, 15:00 (Aula P18, DipMat). Introduction to the course. Categories, functors, natural transformations, adjoint functors and equivalences. A motivation for considering sheaves: dualities.
Wednesday, 8 May 2019, 15:30 (Sala Riunioni, DipMat). The category of $\mathcal{C}$ -sets and six examples. Representable $\mathcal{C}$ -sets and their computation in the examples.
Tuesday, 14 May 2019, 15:00 (Sala Riunioni, DipMat). Products, coproducts and other limits and colimits in the category of $\mathcal{C}$ -sets, with their calculation in the six examples. Yoneda lemma and Yoneda embedding.
Wednesday, 15 May 2019, 15:30 (Sala Riunioni, DipMat). Every $\mathcal{C}$ -set is a colimit of representable C-sets. Intrinsic properties of representable objects: connectivity, irreducibility and continuity. Sections, retractions and idempotents.
Tuesday, 21 May 2019, 15:30 (Sala Riunioni, DipMat). The equivalence between the Cauchy completion of $\mathcal{C}$ and the full subcategory of continuous objects in $Sets^{\mathcal{C}^{op}}$ .
Wednesday, 22 May 2019, 16:00 (Sala Riunioni, DipMat) Exponentials and Subobject classifiers, with examples.
~~Tuesday, 28 May 2019, 15:00~~ ~~(Sala Riunioni, DipMat)~~ There will not be lectures this week.
~~Wednesday, 29 May 2019, 15:30~~ ~~(Sala Riunioni, DipMat)~~ There will not be lectures this week.
Tuesday, 4 June 2019, 15:00 (Sala Riunioni, DipMat) Frames and point-free geometry. The algebraic structure of the subobject classifier.
Wednesday, 5 June 2019, 15:30 (Sala Riunioni, DipMat) The interpretation of geometric logic in a topos. The internal logic of a topos.
Tuesday, 11 June 2019, 15:00 (Sala Riunioni, DipMat) Geometric functors. Grothendieck topoi.
Wednesday, 12 June 2019, 15:30 (Sala Riunioni, DipMat) Classifying topoi.

The references for the course are:

F. William Lawvere and Steve Schanuel, Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories, Cambridge U. Press, Cambridge, 1997.
Reyes, Reyes, Zolfaghari – Generic figures and their glueings. Polimetrica, 2008.
MacLane, Saunders, Moerdijk, Ieke. Sheaves in Geometry and Logic. A First Introduction to Topos Theory. Springer Universitext, 1994.
Robert Goldblatt, Topoi, the Categorial Analysis of Logic. Dover Revised edition, 2006.
Peter Johnstone, Sketches of an Elephant: a Topos Theory Compendium, Oxford U. Press, Oxford. Volume 1 (2002), Volume 2, (2002), Volume 3 (in preparation).

April 8th, 2019 | Luca Spada | Tags: Category, Course, PhD, Teaching, Topos theory.
Categories: Teaching | Comments: No Comments

PhD Course, Category Theory (May-June 2018)

Contents of the page

Announcements

Topics of the course

Categories, universal properties, functors.
Natural transformations, adjoint functors and categorical equivalences.
Concrete dualities.
Yoneda Lemma.
Sheaves and topoi.

Course material

Harold Simmons. An Introduction to Category Theory. Cambridge University Press, 2011.
Robert Goldblatt Topoi: The Categorial Analysis of Logic, Dover Publications 2006.
Saunders Mac Lane. Categories for the Working Mathematician (Second edition). Springer. 1988.

Practicalities

Lecturer: Luca Spada
Duration of the course: 20 hours.

Preliminary programme

Friday 18 May 2018, from 11:00 to 13:00;
Monday 21 May 2018, from 9:00 to 11:00;
Wednesday 23 May 2018, from 9:00 to 11:00;
Friday 25 May 2018, from 9:00 to 11:00;
Monday 4 June 2018, from 15:00 to 17:00;
Wednesday, June 6, 2018, from 9:00 to 11:00;
Friday 8 June 2018, from 9:00 to 11:00;
Thursday 21 June 2018, from 9:00 to 11:00;
Monday 9 July 2018, from 15:00 to 17:00;
Wednesday 11 July 2018, from 9:00 to 11:00;

Comments, complaints, questions: write to Luca Spada

April 3rd, 2018 | Luca Spada | Tags: adjunction, Category, Course, Dottorato, duality, PhD, Stone duality, Teaching, Topos theory, Yoneda lemma.
Categories: Teaching | Comments: No Comments

Corso di Logica Matematica 1 (2017/18)

News

Attenzione: su richiesta degli studenti l’Help Teaching è stato spostato a settembre 2018. Il calendario è disponibile più in basso.

Descrizione del corso

Prerequisiti

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e teoria degli insiemi.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

Sintassi della logica proposizionale.
Deduzione naturale per la logica proposizionale.
Semantica della logica proposizionale.
Algebre di Boole.
Teorema di completezza della logica proposizionale.
Sintassi della logica del prim’ordine.
Semantica della logica del prim’ordine.
Teoremi di completezza e compattezza per la logica del prim’ordine.
Limiti dei linguaggi del prim’ordine.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:

4/10/2017 – Introduzione al corso, tavole di verità.
5/10/2017 – Valutazioni, tautologie, conseguenza logica, equivalenza logica.
11/10/2017 – Completezza funzionale dei connettivi negazione e congiunzione. Forme normali congiuntive e disgiuntive. Teorema di compattezza. Un’applicazione ai grafi del teorema di compattezza.
12/10/2017 – Deduzione naturale.
18/10/2017 – Teorema di completezza.
19/10/2017 – Algebre di Boole: definizione e prime proprietà.
25/10/2017 – Algebre di Boole: omomorfismi, kernel e sottoalgebre.
26/10/2017 – Algebre di Boole: teorema di omomorfismo, algebre libere.
1/11/2017 – Non ci sarà lezione.
2/11/2017 – Non ci sarà lezione.
8/11/2017 – Algebre di Boole: filtri e filtri massimali.
9/11/2017 – Teorema di rappresentazione di Stone.
15/11/2017 – Completezza algebrica della logica proposizionale.
16/11/2017 – Completezza algebrica della logica proposizionale.
22/11/2017 – Introduzione alla logica del primo ordine.
23/11/2017 – Sintassi e semantica della logica del prim’ordine. Prime proprietà.
29/11/2017 – Deduzione naturale al prim’ordine.
30/11/2017 – Verso la completezza della logica del prim’ordine.
6/12/2017 – Non ci sarà lezione.
7/12/2017 – Non ci sarà lezione.
13/12/2017 – La completezza della logica del prim’ordine. Teorema di compattezza e applicazioni.
14/12/2017 – Ultraprodotti e ultrapotenze.
20/12/2017 – Dimostrazione del teorema di compattezza tramite gli ultraprodotti.
21/12/2017 – Non ci sarà lezione.
22/01/2018 – Seminari (ore 10, aula da definire).

Materiale del corso

Dispense:
File.
- Per segnalare errori per piacere inviare un’email a Luca Spada.

Aspetti pratici

Docente: Luca Spada

Crediti/ore:

Durata: 56 ore (11 settimane).
CFU: 7

Date/aule:

Le lezioni cominceranno il 4 di ottobre.
Ci sono due lezioni a settimana:
- mercoledì dalle 11:00 alle 14:00,
- giovedì dalle 12:30 alle 14:00.

Esercizi/Esami

Help Teaching:

Docente: Gaetano Vitale.

L’Help Teaching comincerà a settembre 2018, il calendario è il seguente:

03 settembre ore 8:30-12:30, Aula P19.
04 settembre ore 9:00-12:00, Aula P19.
05 settembre ore 9:00-12:00, Aula P19.
06 settembre ore 9:00-12:00, Aula P19.
07 settembre ore 9:00-12:00, Aula P19.
10 settembre ore9:00-12:00, Aula P19.

Esame:

L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.

Appelli d’esame:

Primo appello invernale
- 24 gennaio 2018.
Secondo appello invernale
- 7 febbraio 2018.
Appello straordinario.
- 11 aprile 2018.
Primo appello estivo.
- 20 giugno 2018.
Secondo appello estivo.
- 18 luglio 2018.
Terzo appello estivo.
- 19 settembre 2018.
Appello straordinario.
- 21 novembre 2018.

Commenti, lamentele, domande: scrivere Luca Spada

September 12th, 2017 | Luca Spada | Tags: Boolean algebras, Course, First order logic, Mathematical Logic, Teaching.
Categories: Teaching | Comments: 2 Comments

Corso di Matematica I per Scienze Ambientali (2017/18)

Contenuti della pagina

Descrizione del corso e prerequisiti
Materiale del corso
Aspetti pratici
Esercizi/Esami

News

Attenzione la lezione del Help Teaching del 25 giugno è rinviata al 26 giugno ore 9,00 – 12,00 aula P21.

Fissate ulteriori date dell’Help Teaching per maggio 2018. Maggiori informazioni più sotto.

Inizio dell’Help Teaching: mercoledì 31 gennaio. Maggiori informazioni più sotto.

Dal 19 febbraio al 30 aprile il prof. Spada sarà fuori sede.

Risultati dell’esame OFA.

Descrizione del corso

Prerequisiti

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di matematica trattati nei corsi di scuola media superiore. In particolare, sono richieste competenze elementari di algebra (risoluzione di equazioni e disequazioni di primo e secondo grado) e di geometria euclidea.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

Algebra lineare.
Funzioni reali a una variabile: continuità e derivate, studio di funzione.

Durante il corso qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:

04/10/2017 – Introduzione al corso, elementi di logica e di teoria degli insiemi.
06/10/2017 – Relazioni e funzioni. Dominio di funzione. Funzioni iniettive, suriettive, biettive, monotone. Funzioni inverse.
11/10/2017 – Funzioni elementari: potenze, radici, esponenziali, logaritmiche.
13/10/2017 – Funzioni trigonometriche.
18/10/2017 – Disequazioni algebriche, irrazionali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche.
20/10/2017 – Definizione di successione. Successioni convergenti, divergenti e regolari.
25/10/2017 – Esempi di successioni. Teorema delle successioni monotone. Successioni definite per ricorrenza.
27/10/2017 – Limiti di funzioni.
1/11/2017 – Ognissanti.
3/11/2017 – Limiti destro e sinistro. Funzioni continue.
8/11/2017 – Derivate: definizione e formule per il loro calcolo.
10/11/2017 – Applicazioni delle derivate: ricerca di massimi e minimi. Studio del grafico di funzione.
15/11/2017 – Applicazioni delle derivate: minimizzazione e massimizzazione.
17/11/2017 – Derivate seconde: concavità e convessità. Formula di Taylor.
22/11/2017 – Vettori e operazioni tra di essi.
24/11/2017 – Spazi vettoriali e loro dimensione, trasformazioni lineari, matrici.
29/11/2017 – Teorema di Rouché-Capelli. Metodo di Cramer per la risoluzione di sitemi lineari.
01/12/2017 – Calcolo del determinante e del rango di una matrice. Sistemi omogenei.
06/12/2017 – Non c’è lezione.
08/12/2017 – Immacolata.
13/12/2017 – Diagonalizzazione di una matrice: autovalori e autovettori.
15/12/2017 – Cenni di matematica combinatoria.

Materiale del corso

Il testo di riferimento principale è Carlo Sbordone, Francesco Sbordone. Matematica per le Scienze della Vita. Edises 2014.
Per gli approfondimenti di algebra lineare (risoluzione di sistemi lineari e diagonalizzazione) possono essere usate le dispense del prof. Sergio Bianchi disponibili qui: Dispense algebra lineare
Per gli approfondimenti di calcolo combinatorio possono essere usate le dispense del prof. Giuseppe Anichini disponibili qui: Dispense calcolo combinatorio
Per gli studenti immatricolati fino al 2015/16 del corso di laurea in VCA: Programma di Matematica I e II (6+6 CFU) e di Matematica (12 CFU)

Aspetti pratici

Docente: Luca Spada
Tutor: Federica Di Stefano
OFA (ottobre): Cristina Ripoli

Crediti/ore:

Durata: 48 ore (10 settimane) + 22 ore di tutorato.
CFU: 6
Frequenza: non obbligatoria, ma fortemente consigliata.

Date/aule:

Ci sono due lezioni a settimana:
- mercoledì 14:00 — 17:00. Aula F7
- venerdì 12:00 — 14:00. Aula F7
Un tutorato a settimana (a partire dal 19 ottobre):
- giovedì 16:00 — 18:00. Aula F7.
Due lezioni OFA a settimana (a partire dal 16 ottobre):
- lunedì 14:30 — 17:00. Aula P 10.
- martedì 14:30 — 17:00. Aula P 10.

Esercizi/Esami

Help Teaching

Docente: dott.ssa Antonia Esposito (antesposito@unisa.it)

31 gennaio dalle 9,30 alle 12,30 aula F7.
7 febbraio dalle 9,30 alle 12,30 aula F7.
12 febbraio dalle 9,30 alle 12,30 aula F7.

16 maggio ore 9,00 – 12,00 aula P15.
25 maggio ore 11,00 – 12,00 Laboratorio di didattica della Matematica, Piano -1.
30 maggio ore 9,00 – 12,00 aula P15.
31 maggio ore 9,00 – 12,00 aula P15.
~~25 giugno ore 9,30 – 12,30 aula P17~~ 26 giugno ore 9,00 – 12,00 aula P21
29 giugno ore 9,30 – 12,30 aula P17
6 luglio ore 9,30 – 12,30 aula P17

OFA

Le lezioni dell’OFA si terranno a settembre.

Materiale aggiuntivo.

Appelli d’esame:

Primo appello.
- Scritto: 23 gennaio 2018 ore 15:00 Aula F7, Dipartimento di Matematica (edificio F2). Traccia con soluzioni. Esiti 23/1/2018
- Orale: 24 gennaio 2018 ore 10:00 Aula F7, Dipartimento di Matematica (edificio F2).
Secondo appello.
- Scritto: 14 febbraio 2018 ore 15:00 Aula F7 Dipartimento di Matematica (edificio F2). Traccia con soluzioni. Esiti 14/2/2018
- Orale: 15 febbraio 2018 ore 9:00 Aula F7, Dipartimento di Matematica (edificio F2).
Terzo appello
- Scritto: 10 aprile 2018 ore 10:00 Aula P21. Traccia con soluzioni , Esiti 10/4/18.
- Orale: 19 aprile, 11.30 studio prof.ssa Cristina Coppola.
Quarto appello
- Scritto: 5 giugno 2018 ore 15:00 Aula F7 Dipartimento di Matematica (edificio F2). Traccia con soluzioni. Esiti 5/6/2018
- Orale: 6 giugno 2018 ore 11:30 studio prof. Luca Spada, oppure 7 giugno 2018 ore 9:30 studio prof. Luca Spada
Quarto appello
- Scritto: 10 luglio 2018 ore 15:00 Aula F7 Dipartimento di Matematica (edificio F2). Traccia con soluzioni. Esiti
- Orale: 11 luglio 2018 ore 16:30 Studio prof. Luca Spada (edificio F2).
Quinto appello
- Scritto: 26 settembre 2018 ore 15:00 Aula F7 Dipartimento di Matematica (edificio F2).
- Traccia con soluzioni. Esiti
- Orale: 28 settembre 2018 ore 11:30 Studio prof. Spada.
27 novembre 2018 (riservato agli studenti fuoricorso) ore 15:00 Aula F7 Dipartimento di Matematica (edificio F2).

Informazioni sugli esami:

L’esame è scritto e orale.
È sempre necessario presentarsi agli esami con un documento di riconoscimento.
È assolutamente necessario registrarsi su esse3 per poter sostenere l’esame, anche per chi deve solo sostenere l’orale.
All’esame scritto è possibile usare i testi di teoria, le dispense utilizzate durante il corso o formulari, non sono consentiti appunti o libri con esercizi svolti.
Chi non passa l’esame orale (o rifiuta il voto) deve rifare lo scritto.

Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada

September 1st, 2017 | Luca Spada | Tags: Calculus, Course, Teaching.
Categories: Teaching | Comments: No Comments

Corso di Matematica I per Ingegneria Meccanica e Gestionale (2017/18)