Corso di Fondamenti della Matematica (2021/22)

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(9/5/22) Pubblicate le date d’appello per la sessione estiva e quella autunnale (alla fine di questa pagina).

Descrizione del corso

La matematica vista nei primi anni di studi universitari include la geometria, l’algebra, l’analisi, la combinatoria, la probabilità. Nello studiare queste branche della matematica alcune domande sorgono quasi spontanee: cos’è in generale la matematica? Cosa è un sistema formale? È possibile costruire una teoria matematica che contenga tutte le altre? E se sì, quali sono i suoi assiomi? Quali sono le uniche cose che dobbiamo assumere vere affinché tutto il resto della matematica ne sia una conseguenza?

Queste domande ne fanno scaturire immediatamente altre. Se tutta la matematica può essere vista come un’unica grandissima teoria. Fin dove arriva questa? Quali sono i suoi limiti? È possibile dimostrare tutto ciò che è vero?

Nel corso degli anni in matematica sono state sviluppare tecniche sempre più sofisticate, ragionamenti sempre più complessi e costruzioni sempre più ardite. Da ciò sono nati risultati inaspettati, a volte così tanto da sembrare falsi. Come si può essere sicuri che alla fine i teoremi dimostrati finora non portino a contraddizione? Esistono delle fondamenta sicure per la matematica? Su cosa fonda la matematica?

Ad esempio, tutti gli studenti di matematica sanno che esistono vari livelli di infinito e che a volte le proprietà di questi infiniti sono contro intuitive. Come si può fare a sapere che questa idea di infinito è quella corretta? Come si può essere sicuri che i ragionamenti portati avanti in teorie matematiche che coinvolgono infinità di numeri, infinità di funzioni, infinità di spazi, alla fine siano corretti?

Molte di queste domande sono state oggetto di approfondita ricerca da parte di un grande matematico del 900: David Hilbert. Egli si chiese se tutto il processo della scoperta di nuove teorie e nuovi teoremi potesse in qualche modo essere meccanizzato. Queste domande portarono Hilbert a cambiare l’idea stessa della matematica per trasformarla in quello che studiamo oggi. Ma, mentre il più grande matematico del 900 mette in piedi questo enorme programma di ricerca, un giovane viennese di 24 anni, con la sua tesi di dottorato, distrugge completamente il programma dando risposta a molte delle domande viste prima. È sorprendente pensare che le risposte a queste domande possano essere teoremi matematici, piuttosto che speculazioni filosofiche.

In questo corso analizzeremo queste domande, le formalizzeremo e vedremo quali risposte sono state proposte.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

  • Il metodo assiomatico.
  • Esempi di metodi assiomatici.
  • Coerenza, Completezza, Categoricità e Indipendenza.
  • Il Programma di Hilbert.
  • Cenni sui teoremi di Gödel.
  • La Teoria di Zermelo-Fraenkel.
  • Assioma della scelta e alcune sue conseguenze importanti.
  • Ordinali e Cardinali.
  • Indipendenza di alcuni assiomi da ZF.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni.

  1. 23/09/2021 – Introduzione al corso. Un mini esempio di sistema assiomatico: le flogghe che scoprono.
  2. 24/09/2021 – Geometria in miniatura, un secondo esempio di sistema assiomatico e sue possibili interpretazioni.
  3. 29/09/2021 – Alcuni teoremi nel sistema “geometria in miniatura”. Indipendenza degli assiomi.
  4. 30/09/2021 – Modelli, interpretazioni, soddisfacibilità e coerenza.
  5. 06/10/2021 – Completezza e categoricità.
  6. 07/10/2021 – La crisi delle matematica del 900.
  7. 13/10/2021 – Il V postulato di Euclide e le geometrie non euclidee.
  8. 14/10/2021 – Il programma di Hilbert: decidibilità
  9. 20/10/2021 – Il programma di Hilbert: completezza
  10. 21/10/2021 – I primi assiomi della teoria ZFC.
  11. 27/10/2021 – Funzioni. Assioma dell’infinito e assiomi di rimpiazzamento.
  12. 28/10/2021 – Assioma di regolarità e assioma della scelta. Insiemi ben ordinati.
  13. 03/11/2021 – Il teorema di tricotomia
  14. 04/11/2021 – Non ci sarà lezione.
  15. 10/11/2021 – Gli ordinali.
  16. 11/11/2021 – Induzione e ricorsione transfinita.
  17. 17/11/2021 – Operazioni sugli ordinali.
  18. 18/11/2021 – Formulazioni equivalenti dell’assioma della scelta.
  19. 24/11/2021 – Cardinali.
  20. 25/11/2021 – La biezione canonica tra On x On e On.
  21. 01/12/2021 – Somma e prodotto di cardinali. L’ipotesi del continuo. L’universo dei costruibili.
  22. 02/12/2021 – Introduzione al linguaggio della teoria delle categorie.
  23. 09/12/2021 – Mono, epi, iso, coni e co-coni.
  24. 15/12/2021 – Funtori e trasformazioni naturali
  25. 16/12/2021 – Categorie per i fondamenti della matematica.

Materiale del corso

  • Testi consigliati:
    • M. Borga, D. Palladino, Oltre il mito della crisi: fondamenti e filosofia della matematica del XX secolo. Editrice La Scuola.
    • G. Lolli, Tavoli, sedie e boccali di birra: David Hilbert e la matematica del Novecento. Raffaello Cortina Editore.
    • S. Leonesi, C. Toffalori. Matematica, Miracoli e Paradossi. Storie di Cardinali da Cantor a Gödel (2007) Mondadori.
    • G. Gerla, Dagli Insiemi alla Logica Matematica. Tentativi di Fondare la Matematica, Volume I e II. Ilmiolibro.it.

Aspetti pratici

Crediti/ore:

  • Durata: 48 ore (12 settimane).
  • CFU: 6

Date/aule:

  • Le lezioni cominceranno giovedì 23 settembre su Microsoft Teams.
  • Ci sono due lezioni a settimana:
    • mercoledì dalle 16:15 alle 17:45, online su Teams.
    • giovedì dalle 14:15 alle 15:45, online su Teams.

Esercizi/Esami

Esame:

  • L’esame per questo corso è solo orale. 

Appelli d’esame:

  • Appelli invernali:
    1. 14 gennaio 2022 ore 9:00 aula F3 (in presenza)
    2. 11 febbraio 2022 ore 9:00 aula F3 (in presenza)
  • Appelli estivi:
    1. 8 giugno 2022 ore 15:00 aula P11.
    2. 30 giugno 2022 ore 15:00 aula P11.
  • Appello autunnale:
    1. 1 settembre 2022 ore 15:00 aula P11.

Per gli esami a distanza prendere un appuntamento via email con il docente circa una settimana prima.

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