Corso di Algebra Universale e Teoria delle Categorie (2024/25)
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Descrizione del corso
Nei corsi dei primi anni si incontrano vari tipi di strutture: gruppi, anelli, campi, spazi vettoriali, etc. Molte tecniche utilizzate per il loro studio si rassomiglano e ci sono teoremi che si ripetono (es. teoremi di isomorfismo) cambiando di poco il linguaggio.
Gruppi, anelli, etc. vengono studiati approfonditamente per la loro importanza storica e perché sono onnipresenti in matematica. Ma ci sono molte altre strutture che sono interessanti per via delle loro applicazioni: reticoli, monoidi, semianelli, etc. A dire il vero ci sono centinaia di strutture algebriche attualmente studiate per via delle loro applicazioni in informatica, fisica, economia, etc.
Ci si può ragionevolmente domandare se ogni volta che si scopre qualche struttura di interesse bisogna ricominciare tutto da capo o se è possibile esportare tecniche e costruzioni da altre strutture simili. O, in maniera molto più ambiziosa, ci si può chiedere se esistano teoremi che riguardino TUTTE le strutture, che in qualche modo ne permettano la classificazione, suggeriscano le proprietà essenziali da studiare o possano dare immediatamente informazioni cruciali su strutture algebriche che mai incontrate prima.
La risposta a questa domanda è estremamente positiva. Da questa domanda si è sviluppata la branca della matematica che va sotto il nome di algebra universale. È una branca relativamente nuova, con un numero sorprendente di risultati. Il suo studio porta a una visione ampia, matura e profonda dell’algebra. Si riescono a mettere a fuoco chiaramente quali sono gli aspetti che le strutture hanno in comune, quali sono i punti chiave che fanno funzionare le teorie, quali sono le direzioni in cui cercare per ottenere nuovi teoremi.
Una volta fatta questa astrazione, si cominciano a vedere intere classi di strutture come oggetti matematici e se ne studiano le relazioni tra di loro. Questo porta alla definizione di categorie e funtori. Il linguaggio delle categorie permette di far rientrare nello stesso ambito ancora più strutture matematiche (ad esempio, grafi, insiemi ordinati, spazi topologici, misure di probabilità, etc.). Ciò permette non solo di esportare tecniche da un settore della matematica all’altro, ma anche di capire formalmente come tutti questi tipi di strutture sono correlati tra loro.
Prerequisiti
È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e di logica.
Frequenza
La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.
Contenuti
Il corso coprirà i seguenti argomenti:
- Richiami di Teoria dei Reticoli.
- Sottoalgebre, Omomorfismi e Congruenze.
- Prodotti Diretti e Prodotti Sottodiretti.
- Teoremi di Birkhoff.
- Categorie, funtori, trasformazioni naturali.
- Costruzioni universali.
- Il lemma di Yoneda.
- Aggiunzioni ed equivalenze categoriali.
- Categorie regolari
Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:
- 23 settembre 2024 Introduzione al corso. Richiami su relazioni di equivalenza, ordini parziali e reticoli.
- 25 settembre 2024 Reticoli completi e operatori di chiusura.
- 30 settembre 2024 Connessioni di Galois
- 2 ottobre 2024 I concetti di base dell’algebra universale: algebre, sottoalgebre, prodotti diretti e operatori HSP.
- 7 ottobre 2024 Immagine diretta e inversa di sottalgebre e congruenze.
- 9 ottobre 2024 Il primo teorema di isomorfismo.
- 14 ottobre 2024 Secondo e terzo teorema di isomorfismo.
- 16 ottobre 2024 Il teorema di corrispondenza. Decomposizione in prodotto e decomposizione sottordiretta.
- 21 ottobre 2024 I teoremi di rappresentazione sottodiretta e HSP
- 23 ottobre 2024 Introduzione alla teoria delle categorie. Definizione ed esempi.
- 28 ottobre 2024 Funtori e trasformazioni naturali.
- 30 ottobre 2024 Equivalenze categoriali e dualità. Esempi.
- 4 novembre 2024 Frecce mono e epi, prodotti e coprodotti.
- 6 novembre 2024 Oggetti terminali e iniziali, equalizzatori e coequalizzatori.
- 11 novembre 2024 Epi e mono regolari. Pullback e pushout.
- 13 novembre 2024 Diagrammi, limiti e colimiti.
- 18 novembre 2024 Aggiunzioni: definizioni ed equivalenze I.
- 20 novembre 2024 Aggiunzioni: definizioni ed equivalenze II.
- 25 novembre 2024 Algebre libere per una classe.
- 27 novembre 2024 Il teorema di Birkhoff.
- 2 dicembre 2024 Funtori rappresentabili e il lemma di Yoneda.topos.
- 4 dicembre 2024 L’immersione di Yoneda, prefasci e topos.
- 9 dicembre 2024 Relazioni interne, coppie kernel, epimorfismi estremali.
- 11 dicembre 2024 Categorie regolari. Teorie di Lawvere.
Materiale del corso
- Testi consigliati:
- Clifford Bergman. Universal Algebra: fundamental and selected topics. CRC press. 2011
- S. Burris, H. P. Sankappanavar. A course on universal algebra. (Disponibile gratuitamente qui)
- Leinster, Tom. Basic category theory. Vol. 143. Cambridge University Press, 2014. (Disponibile gratuitamente qui)
- Harold Simmons. An introduction to category theory. Cambridge University Press, 2011. (Disponibile gratuitamente qui)
- Robert Goldblatt Topoi: The Categorial Analysis of Logic, Dover Publications 2006. (Disponibile gratuitamente qui)
- Saunders Mac Lane. Categories for the Working Mathematician (Seconda edizione). Springer. 1988. (Disponibile gratuitamente qui)
- Dispense del docente
Aspetti pratici
- Docente: Luca Spada
- Semestre: primo.
- Durata: 48 ore (12 settimane).
- CFU: 6
Date/aule:
Ci sono due lezioni a settimana:
- lunedì dalle 9:00 alle 11:00, Aula SAC18 (ex P18)
- mercoledì dalle 14:00 alle 16:00, Aula SAC18 (ex P18)
