Corso di Algebra Universale e Teoria delle Categorie (2022/23)
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Descrizione del corso
Nei corsi di algebra dei primi anni si incontrano vari tipi di strutture: gruppi, anelli, campi, spazi vettoriali, etc. Molte tecniche utilizzate per il loto studio si rassomiglano e ci sono teoremi che si ripetono (es. teoremi di isomorfismo) cambiando di poco il linguaggio.
Gruppi, anelli, etc. vengono studiati approfonditamente per la loro importanza storica e perché sono onnipresenti in matematica. Ma ci sono molte altre strutture che sono interessanti per via delle loro applicazioni: reticoli, monoidi, semianelli, etc. A dire il vero ci sono centinaia di strutture algebriche attualmente studiate per via delle loro applicazioni in informatica, fisica, economia, etc.
Ci si può ragionevolmente domandare se ogni volta che si scopre qualche struttura di interesse bisogna ricominciare tutto da capo o se è possibile esportare tecniche e costruzioni da altre strutture simili. O, in maniera molto più ambiziosa, ci si può chiedere se esistano teoremi che riguardino TUTTE le strutture, che in qualche modo ne permettano la classificazione, suggeriscano le proprietà essenziali da studiare o possano dare immediatamente informazioni cruciali su strutture algebriche che mai incontrate prima.
La risposta a questa domanda è estremamente positiva. Da questa domanda si è sviluppata la branca della matematica che va sotto il nome di algebra universale. È una branca relativamente nuova, con un numero sorprendente di risultati. Il suo studio porta a una visione ampia, matura e profonda dell’algebra. Si riescono a mettere a fuoco chiaramente quali sono gli aspetti che le strutture hanno in comune, quali sono i punti chiave che fanno funzionare le teorie, quali sono le direzioni in cui cercare per ottenere nuovi teoremi.
Per dare un esempio dei risultati potenti e inaspettati che è possibile incontrare, si pensi che esistono classificazioni che permettono di stabilire se una data classe di strutture è chiusa rispetto a operazioni standard come immagini omomorfe, sottoalgebre o prodotti esclusivamente in base alla forma sintattica degli assiomi che la definiscono. Ad esempio il teorema di Birkhoff afferma che una classe di strutture è chiusa rispetto a immagini omomorfe, sottoalgebre o prodotti se e soltanto se essa può essere definita tramite equazioni.
Prerequisiti
È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e di logica.
Frequenza
La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.
Contenuti
Il corso coprirà i seguenti argomenti:
- Sottoalgebre, Omomorfismi e Congruenze.
- Richiami di Teoria dei Reticoli
- Prodotti Diretti e Prodotti Sottodiretti.
- Teoremi di Birkhoff
- Categorie, funtori
- Costruzioni universali
- Teorie di Lawvere
Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:
- 28/02/2022 – Introduzione al corso
- 01/03/2022 – Tipi algebrici, omomorfismi, sottalgebre e prodotti diretti.
- 07/03/2022 – Sottouniversi generati e sottalgebre.
- 08/03/2022 – Omomorfismi e congruenze. Il primo teorema di isomorfismo.
- 14/03/2022 – Richiami di teoria dei reticoli. Reticoli e operatori di chiusura.
- 15/03/2022 – Elementi compatti di un reticolo. Reticoli algebrici e operatori di chiusura algebrici.
- 21/03/2022 – Elementi compatti di un reticolo. Reticoli algebrici e operatori di chiusura algebrici.
- 22/03/2022 – Connessioni di Galois: proprietà ed esempi.
- 28/03/2022 – Il secondo teorema di isomorfismo.
- 29/03/2022 – Il terzo teorema di isomorfismo.
- 04/04/2022 –
- 05/04/2022 –
- 11/04/2022 –
- 12/04/2022 –
- 18/04/2022 –
- 19/04/2022 –
- 26/04/2022 –
- 02/05/2022 –
- 03/05/2022 –
- 09/05/2022 –
- 10/05/2022 –
- 16/05/2022 –
- 17/05/2022 –
- 23/05/2022 –
Materiale del corso
- Testi consigliati:
- Clifford Bergman. Universal Algebra: fundamental and selected topics. CRC press. 2011
- S. Burris, H. P. Sankappanavar. A course on universal algebra. (Disponibile gratuitamente qui)
- Harold Simmons. An introduction to category theory. Cambridge University Press, 2011. (Disponibile gratuitamente qui)
- Robert Goldblatt Topoi: The Categorial Analysis of Logic, Dover Publications 2006. (Disponibile gratuitamente qui)
- Saunders Mac Lane. Categories for the Working Mathematician (Seconda edizione). Springer. 1988. (Disponibile gratuitamente qui)
Aspetti pratici
- Docente: Luca Spada
- Semestre: secondo.
- Durata: 48 ore (12 settimane).
- CFU: 6
Date/aule:
Ci sono due lezioni a settimana:
martedì dalle 10:00 alle 11:45, Laboratorio 11, piano -1, Edificio F2.
mercoledì dalle 9:30 alle 11:00, Aula P19, piano 2, Edificio F3.
Esercizi/Esami
Esame:
- L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.
L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso. Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente. In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi). Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).
Appelli d’esame:
- Appelli estivi: 2 appelli nel periodo giugno-luglio.
- Appello autunnale: 1 appello a settembre.
Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada
PhD Course, Category Theory (May-June 2018)
Contents of the page
Announcements
Topics of the course
- Categories, universal properties, functors.
- Natural transformations, adjoint functors and categorical equivalences.
- Concrete dualities.
- Yoneda Lemma.
- Sheaves and topoi.
Course material
- Harold Simmons. An Introduction to Category Theory. Cambridge University Press, 2011.
- Robert Goldblatt Topoi: The Categorial Analysis of Logic, Dover Publications 2006.
- Saunders Mac Lane. Categories for the Working Mathematician (Second edition). Springer. 1988.
Practicalities
- Lecturer: Luca Spada
- Duration of the course: 20 hours.
Preliminary programme
- Friday 18 May 2018, from 11:00 to 13:00;
- Monday 21 May 2018, from 9:00 to 11:00;
- Wednesday 23 May 2018, from 9:00 to 11:00;
- Friday 25 May 2018, from 9:00 to 11:00;
- Monday 4 June 2018, from 15:00 to 17:00;
- Wednesday, June 6, 2018, from 9:00 to 11:00;
- Friday 8 June 2018, from 9:00 to 11:00;
- Thursday 21 June 2018, from 9:00 to 11:00;
- Monday 9 July 2018, from 15:00 to 17:00;
- Wednesday 11 July 2018, from 9:00 to 11:00;
General affine adjunctions, Nullstellensätze, and dualities
At last, we have finished and submitted our paper on “General affine adjunctions, Nullstellensätze, and dualities” co-authored with Olivia Caramello and Vincenzo Marra.
Abstract. We introduce and investigate a category-theoretic abstraction of the standard “system-solution” adjunction in affine algebraic geometry. We then look further into these geometric adjunctions at different levels of generality, from syntactic categories to (possibly infinitary) equational classes of algebras. In doing so, we discuss the relationships between the dualities induced by our framework and the well-established theory of concrete dual adjunctions. In the context of general algebra we prove an analogue of Hilbert’s Nullstellensatz, thereby achieving a complete characterisation of the fixed points on the algebraic side of the adjunction.
The preprint is available on arXiv. We made another preprint available some years ago(!), but the manuscript has changed in many respects. The main differences between the two versions on arXiv are the following:
- The comparison with the existing literature is now more thorough.
- The categories R and D are now taken directly without passing through the quotient categories. In our opinion, this is cleaner and, as a consequence, it is now clearer what are the minimal assumption on the triplet I: T -> S.
- There is now a section studying the issue of concreteness of the adjunction and comparing with the theory of concrete adjunction.
Tutorial on Dualities
These are the slides of my tutorial on Dualities at the $16^{th}$ Latin American Symposium on Mathematical Logic. 28th July – 1st August 2014. Buenos Aires, Argentina. A shorter version can be found here.
Slides on Duality (SLALM 2014)
Dualities and geometry
Finally I wrote some slides about the long-waiting article I am writing together with Olivia Caramello and Vincenzo Marra on adjunctions, dualities, and Nullstellensätze . These slides where presented at the AILA meeting in Pisa and at the Apllied Logic seminar in Delft.
