Corso di Algebra Universale (2021/22)

News

(9/5/22) Pubblicate le date degli appelli estivi e invernale.

Descrizione del corso

Nei corsi di algebra dei primi anni si incontrano vari tipi di strutture: gruppi, anelli, campi, spazi vettoriali, etc.  Molte tecniche utilizzate per il loto studio si rassomiglano e ci sono teoremi che si ripetono (es. teoremi di isomorfismo) cambiando di poco il linguaggio. 

Gruppi, anelli, etc. vengono studiati approfonditamente per la loro importanza storica e perché sono onnipresenti in matematica. Ma ci sono molte altre strutture che sono interessanti per via delle loro applicazioni: reticoli, monoidi, semianelli, etc. A dire il vero ci sono centinaia di strutture algebriche attualmente studiate per via delle loro applicazioni in informatica, fisica, economia, etc.

Ci si può ragionevolmente domandare se ogni volta che si scopre qualche struttura di interesse bisogna ricominciare tutto da capo o se è possibile esportare tecniche e costruzioni da altre strutture simili. O, in maniera molto più ambiziosa, ci si può chiedere se esistano teoremi che riguardino TUTTE le strutture, che in qualche modo ne permettano la classificazione, suggeriscano le proprietà essenziali da studiare o possano dare immediatamente  informazioni cruciali su strutture algebriche che mai incontrate prima. 

La risposta a questa domanda è estremamente positiva. Da questa domanda si è sviluppata la branca della matematica che va sotto il nome di algebra universale. È una branca relativamente nuova, con un numero sorprendente di risultati. Il suo studio porta a una visione ampia,  matura e profonda dell’algebra. Si riescono a mettere a fuoco chiaramente quali sono gli aspetti che le strutture hanno in comune, quali sono i punti chiave che fanno funzionare le teorie, quali sono le direzioni in cui cercare per ottenere nuovi teoremi.

Per dare un esempio dei risultati potenti e inaspettati che è possibile incontrare, si pensi che esistono classificazioni che permettono di stabilire se una data classe di strutture è chiusa rispetto a operazioni standard come immagini omomorfe, sottoalgebre o prodotti esclusivamente in base alla forma sintattica degli assiomi che la definiscono.  Ad esempio il teorema di Birkhoff afferma che una classe di strutture è chiusa rispetto a immagini omomorfe, sottoalgebre o prodotti se e soltanto se essa può essere definita tramite equazioni.

Prerequisiti

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e di logica.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

  • Sottoalgebre, Omomorfismi e Congruenze.
  • Richiami di Teoria dei Reticoli
  • Prodotti Diretti e Prodotti Sottodiretti.
  • Limiti Diretti e Limiti Inversi di Sistemi di Algebre.
  • Classi Equazionali
  • Polinomi e Algebre Polinomiali.
  • Algebre Libere.
  • Teorema HSP
  • Mal’cev Type Theorems
  • Problema della parola

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:

  1. 02/03/2022 – Introduzione al corso. Definizione ed esempi di algebre.
  2. 04/03/2022 – Omomorfismi, sottalgebre e prodotti diretti. Gli operatori H, S e P.
  3. 09/03/2022 – Sottalgebre generate, operatori di chiusura, congruenze.
  4. 11/03/2022 – Il teorema fondamentale degli omomorfismi.
  5. 16/03/2022 – Reticoli, prime definizioni ed esempi. Immagini dirette e immagini inverse.
  6. 18/03/2022 – Il secondo teorema di isomorfismo.
  7. 23/03/2022 – Il terzo teorema di isomorfismo.
  8. 25/03/2022 – Prodotti diretti e sottodiretti.
  9. 30/03/2022Non ci sarà lezione.
  10. 1/04/2022Non ci sarà lezione.
  11. 6/04/2022 – Algebre sottodirettamente irriducibili. Teorema di rappresentazione sottodiretta. V=HSP.
  12. 8/04/2022 – Reticoli algebrici e operatori di chiusura algebrici.
  13. 13/04/2022 – Caratterizzazione di Sub(A) come reticolo algebrico. Connessioni di Galois.
  14. 15/04/2022 – Connessioni di Galois. Algebre di Boole sottodirettamente irriducibili.
  15. 20/04/2022 – Termini.
  16. 22/04/2022 – Algebre libere: costruzione e proprietà
  17. 27/04/2022 – Equazioni.
  18. 29/04/2022 – Teorema di Birkhoff.
  19. 04/05/2022 – Varietà a congruenze distributive e a congruenze permutabili. Condizioni di Malcev.
  20. 06/05/2022 – Algebre finitamente presentate e problema della parola.
  21. 11/05/2022 – Proprietà dell’immersione finita (FEP) e sue varianti.
  22. 13/05/2022 – Proprietà del modello finito, proprietà forte del modello finito e FEP.
  23. 18/05/2022 – Algebre liberamente generate da algebre parziali.
  24. 20/05/2022 – Finitezza residuale.
  25. 25/05/2022 – Il problema della parola e sue relazioni con SFMP, FEP e finitezza residuale.
  26. 27/05/2022 – Seminari.

Materiale del corso

  • Testi consigliati:
    • Clifford Bergman. Universal Algebra: fundamental and selected topics. CRC press. 2011
    • S. Burris, H. P. Sankappanavar. A course on universal algebra. Disponibile gratuitamente online.
    • Dispense del docente rese disponibili settimanalmente.

Aspetti pratici

Date/aule:

  • Le lezioni cominceranno mercoledì 3 marzo su Microsoft Teams.
  • Ci sono due lezioni a settimana:
    • mercoledì dalle 9:30 alle 11:00,in presenza, laboratorio 11, Dipartimento di Matematica.
    • venerdì dalle 14:00 alle 15:30, online su Teams.

Esercizi/Esami

Esame:

  • L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.

L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso.  Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente.  In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi).  Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).

Appelli d’esame:

  • Appelli estivi:
    1. 8 giugno ore 15:00 aula P11.
    2. 30 giugno ore 15:00 aula P11.
  • Appello autunnale:
    1. 1 settembre ore 15:00 aula P11.

Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada

Corso di Algebra Universale (2020/21)

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Descrizione del corso

Nei corsi di algebra dei primi anni si incontrano vari tipi di strutture: gruppi, anelli, campi, spazi vettoriali, etc.  Molte tecniche utilizzate per il loto studio si rassomiglano e ci sono teoremi che si ripetono (es. teoremi di isomorfismo) cambiando di poco il linguaggio. 

Gruppi, anelli, etc. vengono studiati approfonditamente per la loro importanza storica e perché sono onnipresenti in matematica. Ma ci sono molte altre strutture che sono interessanti per via delle loro applicazioni: reticoli, monoidi, semianelli, etc. A dire il vero ci sono centinaia di strutture algebriche attualmente studiate per via delle loro applicazioni in informatica, fisica, economia, etc.

Ci si può ragionevolmente domandare se ogni volta che si scopre qualche struttura di interesse bisogna ricominciare tutto da capo o se è possibile esportare tecniche e costruzioni da altre strutture simili. O, in maniera molto più ambiziosa, ci si può chiedere se esistano teoremi che riguardino TUTTE le strutture, che in qualche modo ne permettano la classificazione, suggeriscano le proprietà essenziali da studiare o possano dare immediatamente  informazioni cruciali su strutture algebriche che mai incontrate prima. 

La risposta a questa domanda è estremamente positiva. Da questa domanda si è sviluppata la branca della matematica che va sotto il nome di algebra universale. È una branca relativamente nuova, con un numero sorprendente di risultati. Il suo studio porta a una visione ampia,  matura e profonda dell’algebra. Si riescono a mettere a fuoco chiaramente quali sono gli aspetti che le strutture hanno in comune, quali sono i punti chiave che fanno funzionare le teorie, quali sono le direzioni in cui cercare per ottenere nuovi teoremi.

Per dare un esempio dei risultati potenti e inaspettati che è possibile incontrare, si pensi che esistono classificazioni che permettono di stabilire se una data classe di strutture è chiusa rispetto a operazioni standard come immagini omomorfe, sottoalgebre o prodotti esclusivamente in base alla forma sintattica degli assiomi che la definiscono.  Ad esempio il teorema di Birkhoff afferma che una classe di strutture è chiusa rispetto a immagini omomorfe, sottoalgebre o prodotti se e soltanto se essa può essere definita tramite equazioni.

Prerequisiti

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e di logica.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

  • Sottoalgebre, Omomorfismi e Congruenze.
  • Richiami di Teoria dei Reticoli
  • Prodotti Diretti e Prodotti Sottodiretti.
  • Limiti Diretti e Limiti Inversi di Sistemi di Algebre.
  • Classi Equazionali
  • Polinomi e Algebre Polinomiali.
  • Algebre Libere.
  • Teorema HSP
  • Mal’cev Type Theorems
  • (Problema della Parola)

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:

  1. 03/03/2021 – Introduzione al corso. Definizione ed esempi di algebre.
  2. 05/03/2021 – Omomorfismi, sottalgebre e prodotti diretti. Gli operatori H, S e P.
  3. 10/03/2021 – Relazioni, congruenze e kernel. Il primo teorema di isomorfismo.
  4. 12/03/2021 – Congruenze generate da una relazione.
  5. 17/03/2021 – Immagini dirette e inverse di omomorfismi e loro proprietà reticolari. Secondo teorema di isomorfismo.
  6. 19/03/2021 – Teorema di corrispondenza e terzo teorema di isomorfismo. Prodotti diretti.
  7. 24/03/2021 – Prodotti sottodiretti e algebre sottodirettamente irriducibili.
  8. 26/03/2021 – Reticolo delle congruenze delle algebre sottodirettamente irriducibili e Teorema di Birkhoff di rappresentazione sottodiretta.
  9. 31/03/2021 – “V = HSP” e sue conseguenze.
  10. 07/04/2021 – Reticoli completi e operatori di chiusura.
  11. 09/04/2021 – Cloni.
  12. 14/04/2021 – Il clone delle operazioni definibili di un’algebra.
  13. 16/04/2021 – Connessioni di Galois e relazione di invarianza rispetto alle operazioni.
  14. 21/04/2021 – Cloni come insiemi di operazioni invariati rispetto a delle relazioni.
  15. 23/04/2021 – Algebre assolutamente libere.
  16. 28/04/2021 – La congruenza di un’algebra associata a una classe di strutture
  17. 30/04/2021 – Algebre libere in una varietà.
  18. 05/05/2021 – Validità di un equazione in una classe di algebre.
  19. 07/05/2021 – Teorema di Birkhoff sulle varietà.
  20. 12/05/2021 – Condizioni alla Malcev.
  21. 14/05/2021
  22. 19/05/2021 – Algebre finitamente presentabili e algebre parziali, proprietà dell’immersione finita e proprietà del modello finito.
  23. 21/05/2021 – Collegamenti tra FEP, FMP e SFMP.
  24. 26/05/2021 – Algebre residualmente finite.
  25. 28/05/2021 – Seminario Constraint Satisfaction Problems (CSP).

Materiale del corso

  • Testi consigliati:
    • Clifford Bergman. Universal Algebra: fundamental and selected topics. CRC press. 2011
    • S. Burris, H. P. Sankappanavar. A course on universal algebra. Disponibile gratuitamente online.

Aspetti pratici

Date/aule:

  • Le lezioni cominceranno mercoledì 3 marzo su Microsoft Teams.
  • Ci sono due lezioni a settimana:
    • lunedì dalle 9:00 alle 11:00, online su Teams.
    • venerdì dalle 9:00 alle 11:00, online su Teams.

Esercizi/Esami

Esame:

  • L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.

L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso.  Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente.  In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi).  Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).

Appelli d’esame:

  • Appelli estivi: 9 giugno 2021 e 12 luglio 2021 (Il primo a distanza il secondo sia in presenza che a distanza).
  • Appello autunnale: 3 settembre 2021 (sia in presenza che a distanza).
  • Un ulteriore appello nel periodo tra l’8 novembre e il 10 dicembre 2021.

Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada

Corso di “Algebra della Logica” alla scuola AILA 2017

This year I teach a course (12 hours) a the AILA summer school of logic.  Below one can find the slides of my first three lectures and some references.

  • Lecture 1 (Classical propositional logic and Boolean algebras)
  • Lecture 2 (Algebraic completeness of propositional calculus)
  • Lecture 3 (Abstract Algebraic Logic)
  • Lecture 4 (Dualities) lecture material:
    1. Pat Morandi’s notes on dualities,
    2. Tutorial in Buenos Aires.
  • Lecture 5 and 6 (Non classical logic) references:
    1. Y. Venema, Algebras and Coalgebras, in: J. van Benthem, P. Blackburn and F. Wolter (editors), Handbook of Modal Logic, 2006, pp 331-426.
    2. R. L. O. Cignoli, I. M. L. D’Ottaviano e D. Mundici, Algebraic Foundations of Many-Valued Reasoning, Trends in Logic, Vol. 7 Springer, 2000.

 

Lecture notes by Guido Gherardi (Computability Theory).

MVL

Course on Many-Valued Logics (Autumn 2014)

This page concerns the course `Many-Valued Logics’, taught at the University of Amsterdam from September – October 2014. 

Contents of the page

Contents

The course covers the following topics:

  • Basic Logic and Monoidal t-norm Logic.
  • Substructural logics and residuated lattices.
  • Cut elimination and completions.
  • Lukasiewicz logic.

More specifically, this is the content of each single class:

  • September, 1: Introduction, motivations, t-norms and their residua. Section 2.1 (up to Lemma 2.1.13) of the Course Material 1.
  • September, 5: Basic Logic, Residuated lattices, BL-algebras, linearly ordered BL-algebras. Section 2.2 and 2.3 (up to Lemma 2.3.16) of the Course Material 1.
  • September, 8: Lindenbaum-Tarski algebra of BL, algebraic completeness. Monodical t-norm logic, MTL-algebras, standard completeness. The rest of Course Material 1 (excluding Section 2.4) and Course Material 2.
  • September, 12: Ordinal decomposition of BL-algebras. Mostert and Shield Theorem.  Course Material 3.
  • September, 15: Ordinal decomposition of BL-algebras (continued). Algebrizable logics and equivalent algebraic semantics.  Course Material 4.
  • September, 19: Algebrizable logics and equivalent algebraic semantics (continued).  Course Material 4.
  • September, 22: Algebrizable logics and equivalent algebraic semantics (continued): Leibniz operator and implicit characterisations of algebraizability.  Course Material 4.
  • September, 26: Leibniz operator and implicit characterisations of algebraizability (continued).  Course Material 4. Gentzen calculus and the substructural hierarchy. Course Material 5 (to be continued).
  • September, 29: Structural quasi-equations and $N_2$ equations. Residuated frames. Course Material 5 (Continued).
  • October, 3: Analytic quasi-equations, dual frames, and MacNeille completions. Course Material 5 (Continued).
  • October, 9: Atomic conservativity, closing the circle of equivalencies. Course Material 5 (Continued).
  • October, 10: Lukasiewicz logic and MV-algebras. Mundici’s equivalence. Course Material 6.
  • October, 17: The duality between semisimple MV-algebras and Tychonoff spaces. Course Material 7.

Course material

The material needed during the course can be found below.

The homework due during the course can be found below.

Practicalities

Staff

Dates/location:

  • Classes run from the 1st of September until the 17th of October; there will be 14 classes in total.
  • There are two classes weekly.
  • Due to the high number of participants classrooms will change weekly, datanose.nl will always be updated with the right classrooms.

Grading and homeworks

  • The grading is on the basis of weekly homework assignments, and a written exam at the end of the course.
  • The homework assignments will be made available weekly through this page.
  • The final grade will be determined for 2/3 by homeworks, and for 1/3 by the final exam.
  • In order to pass the course, a score at least 50/100 on the final exam is needed.

More specific information about homework and grading:

  • You are allowed to collaborate on the homework exercises, but you need to acknowledge explicitly with whom you have been collaborating, and write the solutions independently.
  • Deadlines for submission are strict.
  • Homework handed in after the deadline may not be taken into consideration; at the very least, points will be subtracted for late submission.
  • In case you think there is a problem with one of the exercises, contact the lecturer immediately.

Course Description

Many-valued logics are logical systems in which the truth values may be more than just “absolutely true” and “absolutely false”. This simple loosening opens the door to a large number of possible formalisms. The main methods of investigation are algebraic, although in the recent years the proof theory of many-valued logics has had a remarkable development.

This course will address a number of questions regarding classification, expressivity, and algebraic aspects of many-valued logics. Algebraic structures as Monoidal t-norm based algebras, MV-algebras, and residuated lattices will be introduced and studied during the course.

The course will cover seclected chapters of the following books.

  • P. Hájek, ‘Metamathematics of Fuzzy Logic‘, Trends in Logic, Vol. 4 Springer, 1998.
  • P. Cintula, P. Hájek, C. Noguera (Editors). ‘Handbook of Mathematical Fuzzy Logic‘ – Volume 1 and 2. Volumes 37 and 38 of Studies in Logic, Mathematical Logic and Foundations. College Publications, London, 2011
  • R. L. O. Cignoli, I. M. L. D’Ottaviano e D. Mundici, ‘Algebraic Foundations of Many-Valued Reasoning‘, Trends in Logic, Vol. 7 Springer, 2000
  • D. Mundici. ‘Advanced Lukasiewicz calculus and MV-algebras‘, Trends in Logic, Vol. 35 Springer, 2011.

Prerequisites

It is assumed that students entering this class possess

  • Some mathematical maturity.
  • Familiarity with the basic theory of propositional and first order (classical) logic.

Basic knowledge of general algebra, topology and category theory will be handy but not necessary.

 

Comments, complaints, questions: mail Luca Spada

A discrete representation of free MV-algebras

We prove that the $n$-generated free MV-algebra is isomorphic to a quotient of the disjoint union of all the $n$-generated free MV$^{(n)}$-algebras. Such a quotient can be seen as the direct limit of a system consisting of all free MV${}^{(n)}$-algebras and special maps between them as morphisms.

A discrete representation of free MV-algebras

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