Corso di Algebra Universale e Teoria delle Categorie (2023/24)
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Descrizione del corso
Nei corsi dei primi anni si incontrano vari tipi di strutture: gruppi, anelli, campi, spazi vettoriali, etc. Molte tecniche utilizzate per il loro studio si rassomiglano e ci sono teoremi che si ripetono (es. teoremi di isomorfismo) cambiando di poco il linguaggio.
Gruppi, anelli, etc. vengono studiati approfonditamente per la loro importanza storica e perché sono onnipresenti in matematica. Ma ci sono molte altre strutture che sono interessanti per via delle loro applicazioni: reticoli, monoidi, semianelli, etc. A dire il vero ci sono centinaia di strutture algebriche attualmente studiate per via delle loro applicazioni in informatica, fisica, economia, etc.
Ci si può ragionevolmente domandare se ogni volta che si scopre qualche struttura di interesse bisogna ricominciare tutto da capo o se è possibile esportare tecniche e costruzioni da altre strutture simili. O, in maniera molto più ambiziosa, ci si può chiedere se esistano teoremi che riguardino TUTTE le strutture, che in qualche modo ne permettano la classificazione, suggeriscano le proprietà essenziali da studiare o possano dare immediatamente informazioni cruciali su strutture algebriche che mai incontrate prima.
La risposta a questa domanda è estremamente positiva. Da questa domanda si è sviluppata la branca della matematica che va sotto il nome di algebra universale. È una branca relativamente nuova, con un numero sorprendente di risultati. Il suo studio porta a una visione ampia, matura e profonda dell’algebra. Si riescono a mettere a fuoco chiaramente quali sono gli aspetti che le strutture hanno in comune, quali sono i punti chiave che fanno funzionare le teorie, quali sono le direzioni in cui cercare per ottenere nuovi teoremi.
Una volta fatta questa astrazione, si cominciano a vedere intere classi di strutture come oggetti matematici e se ne studiano le relazioni tra di loro. Questo porta alla definizione di categorie e funtori. Il linguaggio delle categorie permette di far rientrare nello stesso ambito ancora più strutture matematiche (ad esempio, grafi, insiemi ordinati, spazi topologici, misure di probabilità, etc.). Ciò permette non solo di esportare tecniche da un settore della matematica all’altro, ma anche di capire formalmente come tutti questi tipi di strutture sono correlati tra loro.
Prerequisiti
È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e di logica.
Frequenza
La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.
Contenuti
Il corso coprirà i seguenti argomenti:
- Richiami di Teoria dei Reticoli.
- Sottoalgebre, Omomorfismi e Congruenze.
- Prodotti Diretti e Prodotti Sottodiretti.
- Teoremi di Birkhoff.
- Categorie, funtori, trasformazioni naturali.
- Costruzioni universali.
- Il lemma di Yoneda.
- Aggiunzioni ed equivalenze categoriali.
Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:
- 25 settembre 2023 Introduzione al corso. Algebre, sottalgebre, omomorfismi e prodotti diretti.
- 27 settembre 2023 Esempi di classi di algebre e loro chiusura rispetto agli operatori H, S e P. Sottalgebra generata da un insieme.
- 2 ottobre 2023 Relazioni di equivalenza e congruenze. Congruenze generate.
- 4 ottobre 2023 Ordini, operatori di chiusura e reticoli. Definizione di categoria.
- 9 ottobre 2023 Funtori ed esempi
- 11 ottobre 2023 Trasformazioni naturali. Aggiunzioni.
16 ottobre 2023- 18 ottobre 2023 Definizioni alternative di aggiunzioni e loro equivalenza.
- 23 ottobre 2023 Prodotti, coprodotti, oggetti iniziali e terminali.
- 25 ottobre 2023 Equalizzatori e co-equalizzatori. Pull-back e push-out. Limiti e colimiti.
- 30 ottobre 2023 Ancora su equalizzatori e pull-back.
- 6 novembre 2023 Terza definizione di aggiunzione.
- 8 novembre 2023 Il lemma e l’immersione di Yoneda.
- 13 novembre 2023 Rappresentazioni dirette e congruenze complementari.
- 15 novembre 2023 Rappresentazioni sottodirette e teorema di rappresentazione sottodiretta.
- 20 novembre 2023 Il teorema HSP.
- 22 novembre 2023 (3 ore) Algebre libere.
- 27 novembre 2023 (3 ore) Il teorema di Birkhoff per le varietà.
29 novembre 20234 dicembre 2023- 6 dicembre 2023 (3 ore) Relazioni di equivalenza in una categoria e kernel pair.
- 11 dicembre 2023 (3 ore) Epimorfismi regolari
- 13 dicembre 2023 (3 ore) Epimorfismi estremali e categorie regolari.
- 18 dicembre 2023 (3 ore) Topos elementari.
Materiale del corso
- Testi consigliati:
- Clifford Bergman. Universal Algebra: fundamental and selected topics. CRC press. 2011
- S. Burris, H. P. Sankappanavar. A course on universal algebra. (Disponibile gratuitamente qui)
- Leinster, Tom. Basic category theory. Vol. 143. Cambridge University Press, 2014. (Disponibile gratuitamente qui)
- Harold Simmons. An introduction to category theory. Cambridge University Press, 2011. (Disponibile gratuitamente qui)
- Robert Goldblatt Topoi: The Categorial Analysis of Logic, Dover Publications 2006. (Disponibile gratuitamente qui)
- Saunders Mac Lane. Categories for the Working Mathematician (Seconda edizione). Springer. 1988. (Disponibile gratuitamente qui)
- Dispense del docente
Aspetti pratici
- Docente: Luca Spada
- Semestre: primo.
- Durata: 48 ore (12 settimane).
- CFU: 6
Date/aule:
Ci sono due lezioni a settimana:
- lunedì dalle 9:00 alle 11:00, Laboratorio 11, piano -1, Edificio F2.
- mercoledì dalle 14:00 alle 16:00, Laboratorio 11, piano -1, Edificio F2.
Esercizi/Esami
Esame:
L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.
L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso. Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente. In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi). Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).
Appelli d’esame:
- Appello di gennaio: 26 gennaio, ore 9:30, studio docente
- Appello di febbraio: 15 febbraio, ore 9:30, studio docente
Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada
Corso di Algebra Universale (2020/21)
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Descrizione del corso
Nei corsi di algebra dei primi anni si incontrano vari tipi di strutture: gruppi, anelli, campi, spazi vettoriali, etc. Molte tecniche utilizzate per il loto studio si rassomiglano e ci sono teoremi che si ripetono (es. teoremi di isomorfismo) cambiando di poco il linguaggio.
Gruppi, anelli, etc. vengono studiati approfonditamente per la loro importanza storica e perché sono onnipresenti in matematica. Ma ci sono molte altre strutture che sono interessanti per via delle loro applicazioni: reticoli, monoidi, semianelli, etc. A dire il vero ci sono centinaia di strutture algebriche attualmente studiate per via delle loro applicazioni in informatica, fisica, economia, etc.
Ci si può ragionevolmente domandare se ogni volta che si scopre qualche struttura di interesse bisogna ricominciare tutto da capo o se è possibile esportare tecniche e costruzioni da altre strutture simili. O, in maniera molto più ambiziosa, ci si può chiedere se esistano teoremi che riguardino TUTTE le strutture, che in qualche modo ne permettano la classificazione, suggeriscano le proprietà essenziali da studiare o possano dare immediatamente informazioni cruciali su strutture algebriche che mai incontrate prima.
La risposta a questa domanda è estremamente positiva. Da questa domanda si è sviluppata la branca della matematica che va sotto il nome di algebra universale. È una branca relativamente nuova, con un numero sorprendente di risultati. Il suo studio porta a una visione ampia, matura e profonda dell’algebra. Si riescono a mettere a fuoco chiaramente quali sono gli aspetti che le strutture hanno in comune, quali sono i punti chiave che fanno funzionare le teorie, quali sono le direzioni in cui cercare per ottenere nuovi teoremi.
Per dare un esempio dei risultati potenti e inaspettati che è possibile incontrare, si pensi che esistono classificazioni che permettono di stabilire se una data classe di strutture è chiusa rispetto a operazioni standard come immagini omomorfe, sottoalgebre o prodotti esclusivamente in base alla forma sintattica degli assiomi che la definiscono. Ad esempio il teorema di Birkhoff afferma che una classe di strutture è chiusa rispetto a immagini omomorfe, sottoalgebre o prodotti se e soltanto se essa può essere definita tramite equazioni.
Prerequisiti
È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e di logica.
Frequenza
La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.
Contenuti
Il corso coprirà i seguenti argomenti:
- Sottoalgebre, Omomorfismi e Congruenze.
- Richiami di Teoria dei Reticoli
- Prodotti Diretti e Prodotti Sottodiretti.
- Limiti Diretti e Limiti Inversi di Sistemi di Algebre.
- Classi Equazionali
- Polinomi e Algebre Polinomiali.
- Algebre Libere.
- Teorema HSP
- Mal’cev Type Theorems
- (Problema della Parola)
Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:
- 03/03/2021 – Introduzione al corso. Definizione ed esempi di algebre.
- 05/03/2021 – Omomorfismi, sottalgebre e prodotti diretti. Gli operatori H, S e P.
- 10/03/2021 – Relazioni, congruenze e kernel. Il primo teorema di isomorfismo.
- 12/03/2021 – Congruenze generate da una relazione.
- 17/03/2021 – Immagini dirette e inverse di omomorfismi e loro proprietà reticolari. Secondo teorema di isomorfismo.
- 19/03/2021 – Teorema di corrispondenza e terzo teorema di isomorfismo. Prodotti diretti.
- 24/03/2021 – Prodotti sottodiretti e algebre sottodirettamente irriducibili.
- 26/03/2021 – Reticolo delle congruenze delle algebre sottodirettamente irriducibili e Teorema di Birkhoff di rappresentazione sottodiretta.
- 31/03/2021 – “V = HSP” e sue conseguenze.
- 07/04/2021 – Reticoli completi e operatori di chiusura.
- 09/04/2021 – Cloni.
- 14/04/2021 – Il clone delle operazioni definibili di un’algebra.
- 16/04/2021 – Connessioni di Galois e relazione di invarianza rispetto alle operazioni.
- 21/04/2021 – Cloni come insiemi di operazioni invariati rispetto a delle relazioni.
- 23/04/2021 – Algebre assolutamente libere.
- 28/04/2021 – La congruenza di un’algebra associata a una classe di strutture
- 30/04/2021 – Algebre libere in una varietà.
- 05/05/2021 – Validità di un equazione in una classe di algebre.
- 07/05/2021 – Teorema di Birkhoff sulle varietà.
- 12/05/2021 – Condizioni alla Malcev.
14/05/2021 –- 19/05/2021 – Algebre finitamente presentabili e algebre parziali, proprietà dell’immersione finita e proprietà del modello finito.
- 21/05/2021 – Collegamenti tra FEP, FMP e SFMP.
- 26/05/2021 – Algebre residualmente finite.
- 28/05/2021 – Seminario Constraint Satisfaction Problems (CSP).
Materiale del corso
- Testi consigliati:
- Clifford Bergman. Universal Algebra: fundamental and selected topics. CRC press. 2011
- S. Burris, H. P. Sankappanavar. A course on universal algebra. Disponibile gratuitamente online.
Aspetti pratici
- Docente: Luca Spada
- Semestre: secondo.
- Link Team
- Durata: 48 ore (12 settimane).
- CFU: 6
Date/aule:
- Le lezioni cominceranno mercoledì 3 marzo su Microsoft Teams.
- Ci sono due lezioni a settimana:
- lunedì dalle 9:00 alle 11:00, online su Teams.
- venerdì dalle 9:00 alle 11:00, online su Teams.
Esercizi/Esami
Esame:
- L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.
L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso. Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente. In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi). Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).
Appelli d’esame:
- Appelli estivi: 9 giugno 2021 e 12 luglio 2021 (Il primo a distanza il secondo sia in presenza che a distanza).
- Appello autunnale: 3 settembre 2021 (sia in presenza che a distanza).
- Un ulteriore appello nel periodo tra l’8 novembre e il 10 dicembre 2021.
Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada
