Corso di Algebra Universale e Teoria delle Categorie (2022/23)
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Descrizione del corso
Nei corsi di algebra dei primi anni si incontrano vari tipi di strutture: gruppi, anelli, campi, spazi vettoriali, etc. Molte tecniche utilizzate per il loto studio si rassomiglano e ci sono teoremi che si ripetono (es. teoremi di isomorfismo) cambiando di poco il linguaggio.
Gruppi, anelli, etc. vengono studiati approfonditamente per la loro importanza storica e perché sono onnipresenti in matematica. Ma ci sono molte altre strutture che sono interessanti per via delle loro applicazioni: reticoli, monoidi, semianelli, etc. A dire il vero ci sono centinaia di strutture algebriche attualmente studiate per via delle loro applicazioni in informatica, fisica, economia, etc.
Ci si può ragionevolmente domandare se ogni volta che si scopre qualche struttura di interesse bisogna ricominciare tutto da capo o se è possibile esportare tecniche e costruzioni da altre strutture simili. O, in maniera molto più ambiziosa, ci si può chiedere se esistano teoremi che riguardino TUTTE le strutture, che in qualche modo ne permettano la classificazione, suggeriscano le proprietà essenziali da studiare o possano dare immediatamente informazioni cruciali su strutture algebriche che mai incontrate prima.
La risposta a questa domanda è estremamente positiva. Da questa domanda si è sviluppata la branca della matematica che va sotto il nome di algebra universale. È una branca relativamente nuova, con un numero sorprendente di risultati. Il suo studio porta a una visione ampia, matura e profonda dell’algebra. Si riescono a mettere a fuoco chiaramente quali sono gli aspetti che le strutture hanno in comune, quali sono i punti chiave che fanno funzionare le teorie, quali sono le direzioni in cui cercare per ottenere nuovi teoremi.
Per dare un esempio dei risultati potenti e inaspettati che è possibile incontrare, si pensi che esistono classificazioni che permettono di stabilire se una data classe di strutture è chiusa rispetto a operazioni standard come immagini omomorfe, sottoalgebre o prodotti esclusivamente in base alla forma sintattica degli assiomi che la definiscono. Ad esempio il teorema di Birkhoff afferma che una classe di strutture è chiusa rispetto a immagini omomorfe, sottoalgebre o prodotti se e soltanto se essa può essere definita tramite equazioni.
Prerequisiti
È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e di logica.
Frequenza
La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.
Contenuti
Il corso coprirà i seguenti argomenti:
- Sottoalgebre, Omomorfismi e Congruenze.
- Richiami di Teoria dei Reticoli
- Prodotti Diretti e Prodotti Sottodiretti.
- Teoremi di Birkhoff
- Categorie, funtori
- Costruzioni universali
- Teorie di Lawvere
Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:
- 28/02/2022 – Introduzione al corso
- 01/03/2022 – Tipi algebrici, omomorfismi, sottalgebre e prodotti diretti.
- 07/03/2022 – Sottouniversi generati e sottalgebre.
- 08/03/2022 – Omomorfismi e congruenze. Il primo teorema di isomorfismo.
- 14/03/2022 – Richiami di teoria dei reticoli. Reticoli e operatori di chiusura.
- 15/03/2022 – Elementi compatti di un reticolo. Reticoli algebrici e operatori di chiusura algebrici.
- 21/03/2022 – Elementi compatti di un reticolo. Reticoli algebrici e operatori di chiusura algebrici.
- 22/03/2022 – Connessioni di Galois: proprietà ed esempi.
- 28/03/2022 – Il secondo teorema di isomorfismo.
- 29/03/2022 – Il terzo teorema di isomorfismo.
- 04/04/2022 – Rappresentazioni dirette.
- 05/04/2022 – Rappresentazioni sottodirette.
- 12/04/2022 – Il teorema di rappresentazione sottodiretta.
- 18/04/2022 – Il teorema HSP.
- 19/04/2022 – Algebre dei termini e algebre libere per una classe.
- 26/04/2022 – Teorema di esistenza delle algebre libere.
- 02/05/2022 – Il teorema di Birkhoff.
- 03/05/2022 – Introduzione alla teoria delle categorie.
- 09/05/2022 – Sottocategorie, categorie opposte e categorie comma. Oggetti iniziali e terminali.
- 10/05/2022 – Prodotti, coprodotti, equalizzatori e co-equalizzatori, limiti e co-limiti.
- 16/05/2022 – Funtori e trasformazioni naturali.
- 17/05/2022 – Aggiunzioni e equivalenze.
- 23/05/2022 – Categorie regolari.
- 24/05/2022 – Categorie esatte.
Materiale del corso
- Testi consigliati:
- Clifford Bergman. Universal Algebra: fundamental and selected topics. CRC press. 2011
- S. Burris, H. P. Sankappanavar. A course on universal algebra. (Disponibile gratuitamente qui)
- Harold Simmons. An introduction to category theory. Cambridge University Press, 2011. (Disponibile gratuitamente qui)
- Robert Goldblatt Topoi: The Categorial Analysis of Logic, Dover Publications 2006. (Disponibile gratuitamente qui)
- Saunders Mac Lane. Categories for the Working Mathematician (Seconda edizione). Springer. 1988. (Disponibile gratuitamente qui)
Aspetti pratici
- Docente: Luca Spada
- Semestre: secondo.
- Durata: 48 ore (12 settimane).
- CFU: 6
Date/aule:
Ci sono due lezioni a settimana:
martedì dalle 10:00 alle 11:45, Laboratorio 11, piano -1, Edificio F2.
mercoledì dalle 9:30 alle 11:00, Aula P19, piano 2, Edificio F3.
Esercizi/Esami
Esame:
- L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.
L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso. Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente. In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi). Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).
Appelli d’esame:
- Appelli estivi: 2 appelli nel periodo giugno-luglio.
- Appello autunnale: 1 appello a settembre.
Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada
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