Corso di Logica Matematica (2024/25)
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Descrizione del corso
È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e teoria degli insiemi.
Frequenza
La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.
Contenuti
Il corso coprirà i seguenti argomenti:
- Sintassi della logica proposizionale.
- Deduzione naturale per la logica proposizionale.
- Semantica della logica proposizionale.
- Algebre di Boole.
- Teorema di completezza della logica proposizionale.
- Sintassi della logica del prim’ordine.
- Semantica della logica del prim’ordine.
- Teorema di completezza per la logica del prim’ordine.
- Ultraprodotti.
- Limiti dei linguaggi del prim’ordine.
- Teorema di compattezza per la logica del prim’ordine.
Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:
- 25 settembre 2024 Introduzione al corso. Le formule ben formate.
- 26 settembre 2024 Valutazioni, tautologie, conseguenza logica.
- 2 ottobre 2024 Completezza funzionale. Forme normali disgiuntive e congiuntive
- 3 ottobre 2024 Il teorema di compattezza per la logica proporzionale e una sua applicazione ai grafi.
- 9 ottobre 2024 La deduzione naturale.
- 10 ottobre 2024 Il teorema di completezza per la logica proporzionale. Reticoli e ordini parziali.
- 16 ottobre 2024 Algebre di Boole.
- 17 ottobre 2024 Omomorfismi, sottalgebre, kernel e filtri
- 23 ottobre 2024 Corrispondenza tra kernel e filtri.
- 24 ottobre 2024 Ultrafiltri e teorema di Stone.
- 30 ottobre 2024 Algebre libere e algebra di Lindenbaum-Tarski.
- 31 ottobre 2024 La completezza algebrica.
- 6 novembre 2024 Introduzione alla logica del prim’ordine: la sintassi.
- 7 novembre 2024 La semantica della logica del prim’ordine. Form normali prenesse.
- 13 novembre 2024 La deduzione naturale per la logica del prim’ordine.
- 14 novembre 2024 Verso il teorema di completezza: estensioni di teorie, estensioni conservative e teorie Henkin.
- 20 novembre 2024 Il teorema di completezza e sue conseguenze.
- 21 novembre 2024 Ultraprodotti e il teorema di Łoś.
- 27 novembre 2024 Il teorema di compattezza.
- 28 novembre 2024 I teoremi di Löwenheim–Skolem.
- 4 dicembre 2024 Teorie k-categoriche. Ordini lineari densi senza estremi.
- 5 dicembre 2024 (2 ore) Esercizi.
- 11 dicembre 2024 (2 ore) Esercizi.
Materiale del corso
- Testi consigliati:
- Dirk van Dalen. Logic and Structure. Springer 1994.
- Elliott Mendelson. Introduzione alla logica matematica. Bollati Boringhieri 1977.
- J. L. Bell, A. B. Slomson. Models and Ultraproducts: An Introduction. Dover 2006.
- Dispense: Dispense v. 6.5
- Attenzione: le dispense potrebbero subire degli aggiornamenti minori. Tutte le versioni saranno disponibili su questo sito per fare confronti. Una lista dei cambiamenti principali sarà inclusa nel testo.
- Per segnalare errori per piacere inviare un’email a Luca Spada.
Aspetti pratici
- Docente: Luca Spada
Crediti/ore:
- Durata: 56 ore (11 settimane).
- CFU: 7
Date/aule:
- Le lezioni cominceranno mercoledì 25 settembre.
- Ci sono due lezioni a settimana:
- Mercoledì dalle 9:00 alle 11:00, aula F3.
- Giovedì dalle 11:00 alle 14:00, aula F6.
Esercizi/Esami
Esame:
L’esame per questo corso è solo orale. È possibile sostenere l’esame in qualsiasi momento contattando il docente circa una settimana prima.
L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso. Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente. In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi). Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).
Appelli d’esame
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