Corso di Algebra Universale e Teoria delle Categorie (2023/24)
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Descrizione del corso
Nei corsi dei primi anni si incontrano vari tipi di strutture: gruppi, anelli, campi, spazi vettoriali, etc. Molte tecniche utilizzate per il loro studio si rassomiglano e ci sono teoremi che si ripetono (es. teoremi di isomorfismo) cambiando di poco il linguaggio.
Gruppi, anelli, etc. vengono studiati approfonditamente per la loro importanza storica e perché sono onnipresenti in matematica. Ma ci sono molte altre strutture che sono interessanti per via delle loro applicazioni: reticoli, monoidi, semianelli, etc. A dire il vero ci sono centinaia di strutture algebriche attualmente studiate per via delle loro applicazioni in informatica, fisica, economia, etc.
Ci si può ragionevolmente domandare se ogni volta che si scopre qualche struttura di interesse bisogna ricominciare tutto da capo o se è possibile esportare tecniche e costruzioni da altre strutture simili. O, in maniera molto più ambiziosa, ci si può chiedere se esistano teoremi che riguardino TUTTE le strutture, che in qualche modo ne permettano la classificazione, suggeriscano le proprietà essenziali da studiare o possano dare immediatamente informazioni cruciali su strutture algebriche che mai incontrate prima.
La risposta a questa domanda è estremamente positiva. Da questa domanda si è sviluppata la branca della matematica che va sotto il nome di algebra universale. È una branca relativamente nuova, con un numero sorprendente di risultati. Il suo studio porta a una visione ampia, matura e profonda dell’algebra. Si riescono a mettere a fuoco chiaramente quali sono gli aspetti che le strutture hanno in comune, quali sono i punti chiave che fanno funzionare le teorie, quali sono le direzioni in cui cercare per ottenere nuovi teoremi.
Una volta fatta questa astrazione, si cominciano a vedere intere classi di strutture come oggetti matematici e se ne studiano le relazioni tra di loro. Questo porta alla definizione di categorie e funtori. Il linguaggio delle categorie permette di far rientrare nello stesso ambito ancora più strutture matematiche (ad esempio, grafi, insiemi ordinati, spazi topologici, misure di probabilità, etc.). Ciò permette non solo di esportare tecniche da un settore della matematica all’altro, ma anche di capire formalmente come tutti questi tipi di strutture sono correlati tra loro.
Prerequisiti
È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e di logica.
Frequenza
La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.
Contenuti
Il corso coprirà i seguenti argomenti:
- Richiami di Teoria dei Reticoli.
- Sottoalgebre, Omomorfismi e Congruenze.
- Prodotti Diretti e Prodotti Sottodiretti.
- Teoremi di Birkhoff.
- Categorie, funtori, trasformazioni naturali.
- Costruzioni universali.
- Il lemma di Yoneda.
- Aggiunzioni ed equivalenze categoriali.
Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:
- 25 settembre 2023 Introduzione al corso. Algebre, sottalgebre, omomorfismi e prodotti diretti.
- 27 settembre 2023 Esempi di classi di algebre e loro chiusura rispetto agli operatori H, S e P. Sottalgebra generata da un insieme.
- 2 ottobre 2023 Relazioni di equivalenza e congruenze. Congruenze generate.
- 4 ottobre 2023 Ordini, operatori di chiusura e reticoli. Definizione di categoria.
- 9 ottobre 2023 Funtori ed esempi
- 11 ottobre 2023 Trasformazioni naturali. Aggiunzioni.
16 ottobre 2023- 18 ottobre 2023 Definizioni alternative di aggiunzioni e loro equivalenza.
- 23 ottobre 2023 Prodotti, coprodotti, oggetti iniziali e terminali.
- 25 ottobre 2023 Equalizzatori e co-equalizzatori. Pull-back e push-out. Limiti e colimiti.
- 30 ottobre 2023 Ancora su equalizzatori e pull-back.
- 6 novembre 2023 Terza definizione di aggiunzione.
- 8 novembre 2023 Il lemma e l’immersione di Yoneda.
- 13 novembre 2023 Rappresentazioni dirette e congruenze complementari.
- 15 novembre 2023 Rappresentazioni sottodirette e teorema di rappresentazione sottodiretta.
- 20 novembre 2023 Il teorema HSP.
- 22 novembre 2023 (3 ore) Algebre libere.
- 27 novembre 2023 (3 ore) Il teorema di Birkhoff per le varietà.
29 novembre 20234 dicembre 2023- 6 dicembre 2023 (3 ore) Relazioni di equivalenza in una categoria e kernel pair.
- 11 dicembre 2023 (3 ore) Epimorfismi regolari
- 13 dicembre 2023 (3 ore) Epimorfismi estremali e categorie regolari.
- 18 dicembre 2023 (3 ore) Topos elementari.
Materiale del corso
- Testi consigliati:
- Clifford Bergman. Universal Algebra: fundamental and selected topics. CRC press. 2011
- S. Burris, H. P. Sankappanavar. A course on universal algebra. (Disponibile gratuitamente qui)
- Leinster, Tom. Basic category theory. Vol. 143. Cambridge University Press, 2014. (Disponibile gratuitamente qui)
- Harold Simmons. An introduction to category theory. Cambridge University Press, 2011. (Disponibile gratuitamente qui)
- Robert Goldblatt Topoi: The Categorial Analysis of Logic, Dover Publications 2006. (Disponibile gratuitamente qui)
- Saunders Mac Lane. Categories for the Working Mathematician (Seconda edizione). Springer. 1988. (Disponibile gratuitamente qui)
- Dispense del docente
Aspetti pratici
- Docente: Luca Spada
- Semestre: primo.
- Durata: 48 ore (12 settimane).
- CFU: 6
Date/aule:
Ci sono due lezioni a settimana:
- lunedì dalle 9:00 alle 11:00, Laboratorio 11, piano -1, Edificio F2.
- mercoledì dalle 14:00 alle 16:00, Laboratorio 11, piano -1, Edificio F2.
Esercizi/Esami
Esame:
L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.
L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso. Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente. In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi). Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).
Appelli d’esame:
- Appello di gennaio: 26 gennaio, ore 9:30, studio docente
- Appello di febbraio: 15 febbraio, ore 9:30, studio docente
Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada
The dual adjunction between MV-algebras and Tychonoff spaces
We offer a proof of the duality theorem for finitely presented MV-algebras and rational polyhedra, a folklore and yet fundamental result. Our approach develops first a general dual adjunction between MV-algebras and subspaces of Tychonoff cubes, endowed with the transformations that are definable in the language of MV-algebras. We then show that this dual adjunction restricts to aduality between semisimple MV-algebras and closed subspaces of Tychonoff cubes. The duality theorem for finitely presented objects is obtained by a further specialisation. Our treatment is aimed at showing exactly which parts of the basic theory of MV-algebras are needed in order to establish these results, with an eye towards future generalisations.
The dual adjunction between MV-algebras and Tychonoff spaces
