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Corso di Logica Matematica (2020/21)

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Descrizione del corso

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e teoria degli insiemi.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

• Sintassi della logica proposizionale.
• Deduzione naturale per la logica proposizionale.
• Semantica della logica proposizionale.
• Algebre di Boole.
• Teorema di completezza della logica proposizionale.
• Sintassi della logica del prim’ordine.
• Semantica della logica del prim’ordine.
• Teoremi di completezza e compattezza per la logica del prim’ordine.
• Limiti dei linguaggi del prim’ordine.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:

1. 25/09/2020 – Introduzione al corso.
2. 28/09/2020 – Il linguaggio formale. Conseguenza logica, tautologie e soddisfacibilità.
3. 02/10/2020 – Completezza funzionale, forma normale disgiuntiva e congiuntiva.
4. 05/10/2020 – Teorema di compattezza per la logica proposizionale.
5. 09/10/2020 – Un’applicazione del Teorema di compattezza alla teoria dei grafi. La deduzione naturale.
6. 12/10/2020 – Esempi di deduzioni naturali.
7. 16/10/2020 – Teorie massimalmente coerenti e loro proprietà. Teorema di completezza per la logica proposizionale.
8. 19/10/2020 – Ordini parziali, ordini reticolari e reticoli.
9. 23/10/2020 – Algebre di Boole e prime proprietà.
10. 26/10/2020 – Omomorfismi, congruenze e sottalgebre.
11. 30/10/2020 – Kernel e filtri. Corrispondenza tra filtri, congruenze e epimorfismi.
12. 02/11/2020 – Filtri generati da un insieme, FIP. Ultrafiltri e loro prime proprietà.
13. 06/11/2020 – Esistenza degli ultrafiltri. Teorema di Stone. Algebre di Boole liberamente generate.
14. 09/11/2020 – Termini booleani. Proprietà delle algebre libere.
15. 13/11/2020 – Teorema di completezza algebrica.
16. 16/11/2020 – Sintassi della logica del prim’ordine. Sostituzioni.
17. 20/11/2020 – Semantica della logica del prim’ordine.
18. 23/11/2020 – Validità e equivalenza logica. Esempi di formule logicamente valide.
19. 27/11/2020 – Forma normale prenessa. La deduzione naturale per la logica del prim’ordine. Adeguatezza della deduzione naturale.
20. 30/11/2020 – Estensioni conservative e teorie Henkin.
21. 04/12/2020 – Teorema di completezza. Teorema di compattezza. Teoremi di Lowenheim-Skolem.
22. 07/12/2020 – Ultraprodotti e teorema di compattezza.
23. 11/12/2020 – Il teorema di compattezza tramite gli ultraprodotti. Conclusioni

Materiale del corso

• Testi consigliati:
  • Elliott Mendelson. Introduzione alla logica matematica. Bollati Boringhieri 1977.
  • Dirk van Dalen. Logic and Structure. Springer 1994.
  • J. L. Bell, A. B. Slomson. Models and Ultraproducts: An Introduction. Dover 2006.
• Dipsense: Ultima versione.
  • Attenzione: le dispense sono in corso di aggiornamento.  Tutte le versioni saranno disponibili su questo sito per fare confronti.  Una lista dei cambiamenti principali sarà inclusa nel testo.
  • Per segnalare errori per piacere inviare un’email a Luca Spada.

Aspetti pratici

• Docente: Luca Spada
• Tutor: Sara Vannucci
• Link Team
• Link Moodle

Crediti/ore:

• Durata: 56 ore (11 settimane).
• CFU: 7

Date/aule:

• Le lezioni cominceranno venerdì 25 settembre su Microsoft Teams, appena possibile si terranno anche in presenza in modalità mista.
• Ci sono due lezioni a settimana:
  • lunedì dalle 11:15 alle 13:00, aula F3 online su Teams.
  • venerdì dalle 9:00 alle 11:30, aula F6 online su Teams.

Esercizi/Esami

Tutorato:

Il tutorato si svolge nello stesso Team del corso. Questo è il piano degli incontri:

• 27 novembre, ore 15:00
• 4 dicembre, ore 15:00
• 11 dicembre, ore 9:00
• 14 dicembre, ore 10:30
• 18 dicembre, ore 9:00
• 21 dicembre, ore 11:15
• Gli appuntamenti di gennaio sono da definire.

Esame:

• L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.

L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso.  Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente.  In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi).  Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).

Appelli d’esame:

• Appelli invernali: 7 gennaio 2021 e 8 gennaio 2021 (entrambi a distanza).
• Appello straordinario primaverile: tra il 7 aprile 2021 e il 30 aprile 2021 (entrambi a distanza).
• Appelli estivi: 9 giugno 2021 e 12 luglio 2021 (Il primo a distanza il secondo sia in presenza che a distanza).
• Appello autunnale: 3 settembre 2021 (sia in presenza che a distanza).
• Un ulteriore appello nel periodo tra l’8 novembre e il 10 dicembre 2021.

Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada