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Corso di Algebra Universale e Teoria delle Categorie (2023/24)

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Descrizione del corso

Nei corsi dei primi anni si incontrano vari tipi di strutture: gruppi, anelli, campi, spazi vettoriali, etc. Molte tecniche utilizzate per il loro studio si rassomiglano e ci sono teoremi che si ripetono (es. teoremi di isomorfismo) cambiando di poco il linguaggio.

Gruppi, anelli, etc. vengono studiati approfonditamente per la loro importanza storica e perché sono onnipresenti in matematica. Ma ci sono molte altre strutture che sono interessanti per via delle loro applicazioni: reticoli, monoidi, semianelli, etc. A dire il vero ci sono centinaia di strutture algebriche attualmente studiate per via delle loro applicazioni in informatica, fisica, economia, etc.

Ci si può ragionevolmente domandare se ogni volta che si scopre qualche struttura di interesse bisogna ricominciare tutto da capo o se è possibile esportare tecniche e costruzioni da altre strutture simili. O, in maniera molto più ambiziosa, ci si può chiedere se esistano teoremi che riguardino TUTTE le strutture, che in qualche modo ne permettano la classificazione, suggeriscano le proprietà essenziali da studiare o possano dare immediatamente  informazioni cruciali su strutture algebriche che mai incontrate prima. 

La risposta a questa domanda è estremamente positiva. Da questa domanda si è sviluppata la branca della matematica che va sotto il nome di algebra universale. È una branca relativamente nuova, con un numero sorprendente di risultati. Il suo studio porta a una visione ampia,  matura e profonda dell’algebra. Si riescono a mettere a fuoco chiaramente quali sono gli aspetti che le strutture hanno in comune, quali sono i punti chiave che fanno funzionare le teorie, quali sono le direzioni in cui cercare per ottenere nuovi teoremi.

Una volta fatta questa astrazione, si cominciano a vedere intere classi di strutture come oggetti matematici e se ne studiano le relazioni tra di loro. Questo porta alla definizione di categorie e funtori. Il linguaggio delle categorie permette di far rientrare nello stesso ambito ancora più strutture matematiche (ad esempio, grafi, insiemi ordinati, spazi topologici, misure di probabilità, etc.). Ciò permette non solo di esportare tecniche da un settore della matematica all’altro, ma anche di capire formalmente come tutti questi tipi di strutture sono correlati tra loro.

Prerequisiti

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e di logica.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

• Richiami di Teoria dei Reticoli.
• Sottoalgebre, Omomorfismi e Congruenze.
• Prodotti Diretti e Prodotti Sottodiretti.
• Teoremi di Birkhoff.
• Categorie, funtori, trasformazioni naturali.
• Costruzioni universali.
• Il lemma di Yoneda.
• Aggiunzioni ed equivalenze categoriali.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:

• 25 settembre 2023 Introduzione al corso. Algebre, sottalgebre, omomorfismi e prodotti diretti.
• 27 settembre 2023 Esempi di classi di algebre e loro chiusura rispetto agli operatori H, S e P. Sottalgebra generata da un insieme.
• 2 ottobre 2023 Relazioni di equivalenza e congruenze. Congruenze generate.
• 4 ottobre 2023 Ordini, operatori di chiusura e reticoli. Definizione di categoria.
• 9 ottobre 2023 Funtori ed esempi
• 11 ottobre 2023 Trasformazioni naturali. Aggiunzioni.
• 16 ottobre 2023
• 18 ottobre 2023 Definizioni alternative di aggiunzioni e loro equivalenza.
• 23 ottobre 2023 Prodotti, coprodotti, oggetti iniziali e terminali.
• 25 ottobre 2023 Equalizzatori e co-equalizzatori. Pull-back e push-out. Limiti e colimiti.
• 30 ottobre 2023 Ancora su equalizzatori e pull-back.
• 6 novembre 2023 Terza definizione di aggiunzione.
• 8 novembre 2023 Il lemma e l’immersione di Yoneda.
• 13 novembre 2023 Rappresentazioni dirette e congruenze complementari.
• 15 novembre 2023 Rappresentazioni sottodirette e teorema di rappresentazione sottodiretta.
• 20 novembre 2023 Il teorema HSP.
• 22 novembre 2023 (3 ore) Algebre libere.
• 27 novembre 2023 (3 ore) Il teorema di Birkhoff per le varietà.
• 29 novembre 2023
• 4 dicembre 2023
• 6 dicembre 2023 (3 ore) Relazioni di equivalenza in una categoria e kernel pair.
• 11 dicembre 2023 (3 ore) Epimorfismi regolari
• 13 dicembre 2023 (3 ore) Epimorfismi estremali e categorie regolari.
• 18 dicembre 2023 (3 ore) Topos elementari.

Materiale del corso

• Testi consigliati:
  • Clifford Bergman. Universal Algebra: fundamental and selected topics. CRC press. 2011
  • S. Burris, H. P. Sankappanavar. A course on universal algebra. (Disponibile gratuitamente qui)
  • Leinster, Tom. Basic category theory. Vol. 143. Cambridge University Press, 2014. (Disponibile gratuitamente qui)
  • Harold Simmons. An introduction to category theory. Cambridge University Press, 2011. (Disponibile gratuitamente qui)
  • Robert Goldblatt Topoi: The Categorial Analysis of Logic, Dover Publications 2006. (Disponibile gratuitamente qui)
  • Saunders Mac Lane. Categories for the Working Mathematician (Seconda edizione). Springer. 1988. (Disponibile gratuitamente qui)
  • Dispense del docente

Aspetti pratici

• Docente: Luca Spada
• Semestre: primo.
• Durata: 48 ore (12 settimane).
• CFU: 6

Date/aule:

Ci sono due lezioni a settimana:

• lunedì dalle 9:00 alle 11:00, Laboratorio 11, piano -1, Edificio F2.
• mercoledì dalle 14:00 alle 16:00, Laboratorio 11, piano -1, Edificio F2.

Esercizi/Esami

Esame:

L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.

L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso.  Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente.  In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi).  Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).

Appelli d’esame:

• Appello di gennaio: 26 gennaio, ore 9:30, studio docente
• Appello di febbraio: 15 febbraio, ore 9:30, studio docente

Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada

PhD course on lattice-ordered groups and polyhedral geometry (Spring 2023)

Introduction

The course is an introduction to the theory of abelian lattice-ordered groups from different perspectives. Initially, we study these structures with purely algebraic methods. We will analyse some important theorems and connections with other parts of mathematics, such as AF C*-algebras. Later we will move on to their geometric study, through the Baker-Beynon duality. It will be seen that, just as the commutative rings provide an algebraic counterpart for the study of affine manifolds with polynomial maps, lattice-ordered groups represent the algebraic counterpart of the polyhedral cones and piece-wise linear homogenous maps between them.

Course topics

• Abelian lattice-ordered groups: definition and examples.
• Representation results.
• Archimedeanity and strong (order) unit.
• Free and finitely presented abelian l-groups.
• Baker&Beynon duality.
• Polyhedral geometry

Lecture by lecture topics

• 5/5/2023: Introduction to the course. Motivations and applications of the theory of abelian lattice ordered groups. Main examples. Crash course on Galois connections and categorical adjunctions.
• 11/5/2023: Overview of the main results and techniques in the study of l-groups: The integers and Weinberg’s theorem. Archimedeanicity and Hölder’s theorem. Semisimplicity and Yosida’s representation.
• 12/5/2023: Strong unit and MV-algebras. The free abelian l-groups as algebras of functions. Lattice ordered groups and piecewise linear geometry.
• 18/5/2023: The general adjunction and its fixed points: Baker&Beynon duality and polyhedral geometry.

Course material

• Bigard, A., Keimel, K., & Wolfenstein, S. (2006). Groupes et anneaux réticulés (Vol. 608). Springer.
• Anderson, M. E., & Feil, T. H. (2012). Lattice-ordered groups: an introduction (Vol. 4). Springer Science & Business Media.
• Goodearl, K. R. (2010). Partially ordered abelian groups with interpolation (No. 20). American Mathematical Soc.
• Glass, A. M. W. (1999). Partially ordered groups (Vol. 7). World Scientific.

Practical aspects

Term and schedule

Lecturer: Luca Spada
Course duration: 10 hours.
Course calendar: 5, 11, 12 and 18 of May, from 10:00 to 12:45. All lectures are in room P19 (last floor, building F3).

Exam

You can choose to take the final exam in one of the following ways:

• A short oral interview (about 30 minutes) in which the knowledge acquired on the basic and more advanced concepts will be evaluated.
• The presentation of a topic agreed with the teacher and not covered in the course, in the form of a short seminar also open to other doctoral students lasting about 30 minutes.
• Solving some exercises at home.

PhD Course, Category Theory (May-June 2018)

Contents of the page

• Announcements
• Topics of the course
• Course material
• Practical information

Announcements

Topics of the course

• Categories, universal properties, functors.
• Natural transformations, adjoint functors and categorical equivalences.
• Concrete dualities.
• Yoneda Lemma.
• Sheaves and topoi.

Course material

• Harold Simmons. An Introduction to Category Theory. Cambridge University Press, 2011.
• Robert Goldblatt Topoi: The Categorial Analysis of Logic,  Dover Publications  2006.
• Saunders Mac Lane. Categories for the Working Mathematician (Second edition). Springer. 1988.

Practicalities

• Lecturer: Luca Spada
• Duration of the course: 20 hours.

Preliminary programme

• Friday 18 May 2018, from 11:00 to 13:00;
• Monday 21 May 2018, from 9:00 to 11:00;
• Wednesday 23 May 2018, from 9:00 to 11:00;
• Friday 25 May 2018, from 9:00 to 11:00;
• Monday 4 June 2018, from 15:00 to 17:00;
• Wednesday, June 6, 2018, from 9:00 to 11:00;
• Friday 8 June 2018, from 9:00 to 11:00;
• Thursday 21 June 2018, from 9:00 to 11:00;
• Monday 9 July 2018, from 15:00 to 17:00;
• Wednesday 11 July 2018, from 9:00 to 11:00;

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General affine adjunctions, Nullstellensätze, and dualities

At last, we have finished and submitted our paper on “General affine adjunctions, Nullstellensätze, and dualities” co-authored with Olivia Caramello and Vincenzo Marra.

Abstract. We introduce and investigate a category-theoretic abstraction of the standard “system-solution” adjunction in affine algebraic geometry. We then look further into these geometric adjunctions at different levels of generality, from syntactic categories to (possibly infinitary) equational classes of algebras. In doing so, we discuss the relationships between the dualities induced by our framework and the well-established theory of concrete dual adjunctions. In the context of general algebra we prove an analogue of Hilbert’s Nullstellensatz, thereby achieving a complete characterisation of the fixed points on the algebraic side of the adjunction.

The preprint is available on arXiv.  We made another preprint available some years ago(!), but the manuscript has changed in many respects.  The main differences between the two versions on arXiv are the following:

1. The comparison with the existing literature is now more thorough.
2. The categories R and D are now taken directly without passing through the quotient categories. In our opinion, this is cleaner and, as a consequence, it is now clearer what are the minimal assumption on the triplet I: T -> S.
3. There is now a section studying the issue of concreteness of the adjunction and comparing with the theory of concrete adjunction.

MV-algebras, infinite dimensional polyhedra, and natural dualities

Leo and I have just finished our paper on the connection between natural dualities and the duality between semisimple MV-algebras and compact Hausdorff spaces with definable maps. Actually, we provide a description of definable maps that is intrinsically geometric. In addition, we give some applications to semisimple tensor products, strongly semisimple and polyhedral MV-algebras.

The paper can be downloaded here.