Teoria delle categorie (Corso di dottorato 2020/21)
Introduzione
La teoria delle categorie è un linguaggio moderno, molto diverso da quello della teoria degli insiemi, in cui può essere formalizzata la matematica. Mentre il linguaggio degli insiemi ha come concetto fondamentale quello di appartenenza, il linguaggio della teoria delle categorie è incentrato sul concetto di trasformazione. Questo piccolo cambiamento iniziale ha ripercussioni enormi sulle intuizioni che guidano i ragionamenti matematici. Spesso, riformulare un problema in termini categoriali offre una prospettiva completamente diversa su di esso e aiuta a distinguere la parte “generale” di un problema dal quella più specifica.
Una buona parte della matematica contemporanea è espressa esclusivamente nel linguaggio della teoria delle categorie. Inoltre la teoria delle categorie si presta anche allo studio della fisica dove, ad esempio, le fusion categories e le categorie di moduli emergono nello studio degli stati topologici della materia nella fisica dello stato solido (si veda ad esempio qui o questo articolo)
Argomenti del corso
- Categorie, proprietà universali, funtori.
- Trasformazioni naturali, funtori aggiunti ed equivalenze categoriali.
- Dualità concrete.
- Lemma di Yoneda.
Sheaf e topos.Monadi.
Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni
- 26/04 – Introduzione, definizione di Categoria ed esempi.
- 30/04 – Frecce moniche e epiche, oggetti iniziali e finali, prodotti e coprodotti.
- 03/05 – Esempi di prodotti e co-prodotti. Equalizzatori e co-equalizzatori.
- 07/05 – Pullback e Pushout. Categorie opposte. Funtori.
- 10/05 – Trasformazioni naturali e lemma di Yoneda.
14/05 –- 17/05 – Immersione di Yoneda. Funtori aggiunti.
- 21/05 – Definizioni equivalenti di funtori aggiunti.
- 24/05 – Ancora sui funtori aggiunti.
- 28/05 – Monadi. La categoria di Kleisli di una monade.
- 31/05 – La categoria di Eilenberg-Moore di una monade. Relazioni tra monadi e aggiunzioni.
Materiale del corso
- Harold Simmons. An introduction to category theory. Cambridge University Press, 2011. (Disponibile gratuitamente qui)
- Robert Goldblatt Topoi: The Categorial Analysis of Logic, Dover Publications 2006. (Disponibile gratuitamente qui)
- Saunders Mac Lane. Categories for the Working Mathematician (Seconda edizione). Springer. 1988. (Disponibile gratuitamente qui)
Aspetti pratici
Docente: Luca Spada
Durata del corso: 20 ore.
Esame
È possibile scegliere di sostenere l’esame finale in uno dei seguenti modi:
- Un breve colloquio orale (circa 30 minuti) in cui saranno valutate le conoscenze acquisite in merito ai concetti di base e a quelli più avanzati della teoria delle categorie.
- L’esposizione di un argomento concordato con il docente e non trattato nel corso, nella forma di un breve seminario aperto anche agli altri dottorandi della durata di circa 45 minuti.
- La risoluzione a casa di alcuni esercizi.
Orario
Lunedì 9:30 – 11:30
Venerdì 11:00 – 13:00
