Corso di Algebra Universale e Teoria delle Categorie (2023/24)
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Descrizione del corso
Nei corsi dei primi anni si incontrano vari tipi di strutture: gruppi, anelli, campi, spazi vettoriali, etc. Molte tecniche utilizzate per il loro studio si rassomiglano e ci sono teoremi che si ripetono (es. teoremi di isomorfismo) cambiando di poco il linguaggio.
Gruppi, anelli, etc. vengono studiati approfonditamente per la loro importanza storica e perché sono onnipresenti in matematica. Ma ci sono molte altre strutture che sono interessanti per via delle loro applicazioni: reticoli, monoidi, semianelli, etc. A dire il vero ci sono centinaia di strutture algebriche attualmente studiate per via delle loro applicazioni in informatica, fisica, economia, etc.
Ci si può ragionevolmente domandare se ogni volta che si scopre qualche struttura di interesse bisogna ricominciare tutto da capo o se è possibile esportare tecniche e costruzioni da altre strutture simili. O, in maniera molto più ambiziosa, ci si può chiedere se esistano teoremi che riguardino TUTTE le strutture, che in qualche modo ne permettano la classificazione, suggeriscano le proprietà essenziali da studiare o possano dare immediatamente informazioni cruciali su strutture algebriche che mai incontrate prima.
La risposta a questa domanda è estremamente positiva. Da questa domanda si è sviluppata la branca della matematica che va sotto il nome di algebra universale. È una branca relativamente nuova, con un numero sorprendente di risultati. Il suo studio porta a una visione ampia, matura e profonda dell’algebra. Si riescono a mettere a fuoco chiaramente quali sono gli aspetti che le strutture hanno in comune, quali sono i punti chiave che fanno funzionare le teorie, quali sono le direzioni in cui cercare per ottenere nuovi teoremi.
Una volta fatta questa astrazione, si cominciano a vedere intere classi di strutture come oggetti matematici e se ne studiano le relazioni tra di loro. Questo porta alla definizione di categorie e funtori. Il linguaggio delle categorie permette di far rientrare nello stesso ambito ancora più strutture matematiche (ad esempio, grafi, insiemi ordinati, spazi topologici, misure di probabilità, etc.). Ciò permette non solo di esportare tecniche da un settore della matematica all’altro, ma anche di capire formalmente come tutti questi tipi di strutture sono correlati tra loro.
Prerequisiti
È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e di logica.
Frequenza
La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.
Contenuti
Il corso coprirà i seguenti argomenti:
- Richiami di Teoria dei Reticoli.
- Sottoalgebre, Omomorfismi e Congruenze.
- Prodotti Diretti e Prodotti Sottodiretti.
- Teoremi di Birkhoff.
- Categorie, funtori, trasformazioni naturali.
- Costruzioni universali.
- Il lemma di Yoneda.
- Aggiunzioni ed equivalenze categoriali.
Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:
- 25 settembre 2023 Introduzione al corso. Algebre, sottalgebre, omomorfismi e prodotti diretti.
- 27 settembre 2023 Esempi di classi di algebre e loro chiusura rispetto agli operatori H, S e P. Sottalgebra generata da un insieme.
- 2 ottobre 2023 Relazioni di equivalenza e congruenze. Congruenze generate.
- 4 ottobre 2023 Ordini, operatori di chiusura e reticoli. Definizione di categoria.
- 9 ottobre 2023 Funtori ed esempi
- 11 ottobre 2023 Trasformazioni naturali. Aggiunzioni.
16 ottobre 2023- 18 ottobre 2023 Definizioni alternative di aggiunzioni e loro equivalenza.
- 23 ottobre 2023 Prodotti, coprodotti, oggetti iniziali e terminali.
- 25 ottobre 2023 Equalizzatori e co-equalizzatori. Pull-back e push-out. Limiti e colimiti.
- 30 ottobre 2023 Ancora su equalizzatori e pull-back.
- 6 novembre 2023 Terza definizione di aggiunzione.
- 8 novembre 2023 Il lemma e l’immersione di Yoneda.
- 13 novembre 2023 Rappresentazioni dirette e congruenze complementari.
- 15 novembre 2023 Rappresentazioni sottodirette e teorema di rappresentazione sottodiretta.
- 20 novembre 2023 Il teorema HSP.
- 22 novembre 2023 (3 ore) Algebre libere.
- 27 novembre 2023 (3 ore) Il teorema di Birkhoff per le varietà.
29 novembre 20234 dicembre 2023- 6 dicembre 2023 (3 ore) Relazioni di equivalenza in una categoria e kernel pair.
- 11 dicembre 2023 (3 ore) Epimorfismi regolari
- 13 dicembre 2023 (3 ore) Epimorfismi estremali e categorie regolari.
- 18 dicembre 2023 (3 ore) Topos elementari.
Materiale del corso
- Testi consigliati:
- Clifford Bergman. Universal Algebra: fundamental and selected topics. CRC press. 2011
- S. Burris, H. P. Sankappanavar. A course on universal algebra. (Disponibile gratuitamente qui)
- Leinster, Tom. Basic category theory. Vol. 143. Cambridge University Press, 2014. (Disponibile gratuitamente qui)
- Harold Simmons. An introduction to category theory. Cambridge University Press, 2011. (Disponibile gratuitamente qui)
- Robert Goldblatt Topoi: The Categorial Analysis of Logic, Dover Publications 2006. (Disponibile gratuitamente qui)
- Saunders Mac Lane. Categories for the Working Mathematician (Seconda edizione). Springer. 1988. (Disponibile gratuitamente qui)
- Dispense del docente
Aspetti pratici
- Docente: Luca Spada
- Semestre: primo.
- Durata: 48 ore (12 settimane).
- CFU: 6
Date/aule:
Ci sono due lezioni a settimana:
- lunedì dalle 9:00 alle 11:00, Laboratorio 11, piano -1, Edificio F2.
- mercoledì dalle 14:00 alle 16:00, Laboratorio 11, piano -1, Edificio F2.
Esercizi/Esami
Esame:
L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.
L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso. Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente. In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi). Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).
Appelli d’esame:
- Appello di gennaio: 26 gennaio, ore 9:30, studio docente
- Appello di febbraio: 15 febbraio, ore 9:30, studio docente
Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada
Teoria delle categorie (Corso di dottorato 2021/22)
Introduzione
La teoria delle categorie è un linguaggio moderno, molto diverso da quello della teoria degli insiemi, in cui può essere formalizzata la matematica. Mentre il linguaggio degli insiemi ha come concetto fondamentale quello di appartenenza, il linguaggio della teoria delle categorie è incentrato sul concetto di trasformazione. Questo piccolo cambiamento iniziale ha ripercussioni enormi sulle intuizioni che guidano i ragionamenti matematici. Spesso, riformulare un problema in termini categoriali offre una prospettiva completamente diversa su di esso e aiuta a distinguere la parte “generale” di un problema dal quella più specifica.
Una buona parte della matematica contemporanea è espressa esclusivamente nel linguaggio della teoria delle categorie. Inoltre la teoria delle categorie si presta anche allo studio della fisica dove, ad esempio, le fusion categories e le categorie di moduli emergono nello studio degli stati topologici della materia nella fisica dello stato solido (si veda ad esempio qui o questo articolo).
Argomenti del corso
- Categorie, proprietà universali, funtori.
- Trasformazioni naturali, funtori aggiunti ed equivalenze categoriali.
- Dualità concrete.
- Lemma di Yoneda.
- Sheaf e topos.
- Monadi.
Argomenti delle lezioni
- 24/02/2022 – Introduzione al corso, definizione di categoria, frecce mono, epi e iso
- 25/02/2022 – Oggetti terminali e iniziali. Equalizzatori e co-equalizzatori. Prodotti e co-coprodotti. Esempi.
- 03/03/2022 – Pullback e pushout. Categorie comma. Funtori.
- 04/03/2022 – Trasformazioni naturali. Il lemma di Yoneda. L’immersione di Yoneda.
- 10/03/2022 – Aggiunzioni.
- 11/03/2022 – Ancora su aggiunzioni e loro esempi.
- 17/03/2022 – Le dualità di Stone, Gel’fand e Pontryagin.
- 18/03/2022 – Dualità concrete e aggiunzioni affini.
Materiale del corso
- Harold Simmons. An introduction to category theory. Cambridge University Press, 2011. (Disponibile gratuitamente qui)
- Robert Goldblatt Topoi: The Categorial Analysis of Logic, Dover Publications 2006. (Disponibile gratuitamente qui)
- Saunders Mac Lane. Categories for the Working Mathematician (Seconda edizione). Springer. 1988. (Disponibile gratuitamente qui)
Aspetti pratici
Docente: Luca Spada
Durata del corso: 20 ore.
Esame
È possibile scegliere di sostenere l’esame finale in uno dei seguenti modi:
- Un breve colloquio orale (circa 30 minuti) in cui saranno valutate le conoscenze acquisite in merito ai concetti di base e a quelli più avanzati della teoria delle categorie.
- L’esposizione di un argomento concordato con il docente e non trattato nel corso, nella forma di un breve seminario aperto anche agli altri dottorandi della durata di circa 45 minuti.
- La risoluzione a casa di alcuni esercizi.
Orario
- Giovedì 9:30 – 12:30 – Sala riunioni DipMat
- Venerdì 9:30 – 11:30 – Sala riunioni DipMat
Are locally finite MV-algebras a variety?
Here you can find the slides of my talk Are locally finite MV-algebras a variety? presented at the Shanks Workshop on Ordered Algebras and Logic at Vanderbilt University (Nashville, US) and on Zoom for the Algebra|Coalgebra seminar of the ILLC (Amsterdam).
The material is based on a joint work with M. Abbadini (University of Salerno).
An introduction to Topos Theory (Phd course 2018/19)
This year I will teach an introduttive course on Topos Theory.
Topos theory has many different aspects. On the one hand, a topos is a generalisation of a topological space. On the other hand, every topos can be thought of as a mathematical universe in which one can do mathematics. In fact, there is a duality between Grothendieck topoi and certain first-order theories of logic, called geometric theories. Topos theory grew out of the observation that the category of sheaves over a fixed topological space forms a universe of “continuously variable sets” which obeys the laws of intuitionistic logic. After recalling some basic notions in Category Theory such as functors, natural transformations, limits and adjunctions, we will examine categories of presheaves and their fundamental properties, Grothendieck sites and sheaves and the notion of elementary topos. Applications to logic will be treated.
The (tentative) course calendar is as follows:
- Tuesday, 7 May 2019, 15:00 (Aula P18, DipMat). Introduction to the course. Categories, functors, natural transformations, adjoint functors and equivalences. A motivation for considering sheaves: dualities.
- Wednesday, 8 May 2019, 15:30 (Sala Riunioni, DipMat). The category of \mathcal{C}-sets and six examples. Representable \mathcal{C}-sets and their computation in the examples.
- Tuesday, 14 May 2019, 15:00 (Sala Riunioni, DipMat). Products, coproducts and other limits and colimits in the category of \mathcal{C}-sets, with their calculation in the six examples. Yoneda lemma and Yoneda embedding.
- Wednesday, 15 May 2019, 15:30 (Sala Riunioni, DipMat). Every \mathcal{C}-set is a colimit of representable C-sets. Intrinsic properties of representable objects: connectivity, irreducibility and continuity. Sections, retractions and idempotents.
- Tuesday, 21 May 2019, 15:30 (Sala Riunioni, DipMat). The equivalence between the Cauchy completion of \mathcal{C} and the full subcategory of continuous objects in Sets^{\mathcal{C}^{op}}.
- Wednesday, 22 May 2019, 16:00 (Sala Riunioni, DipMat) Exponentials and Subobject classifiers, with examples.
Tuesday, 28 May 2019, 15:00(Sala Riunioni, DipMat)There will not be lectures this week.Wednesday, 29 May 2019, 15:30(Sala Riunioni, DipMat)There will not be lectures this week.- Tuesday, 4 June 2019, 15:00 (Sala Riunioni, DipMat) Frames and point-free geometry. The algebraic structure of the subobject classifier.
- Wednesday, 5 June 2019, 15:30 (Sala Riunioni, DipMat) The interpretation of geometric logic in a topos. The internal logic of a topos.
- Tuesday, 11 June 2019, 15:00 (Sala Riunioni, DipMat) Geometric functors. Grothendieck topoi.
- Wednesday, 12 June 2019, 15:30 (Sala Riunioni, DipMat) Classifying topoi.
The references for the course are:
- F. William Lawvere and Steve Schanuel, Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories, Cambridge U. Press, Cambridge, 1997.
- Reyes, Reyes, Zolfaghari – Generic figures and their glueings. Polimetrica, 2008.
- MacLane, Saunders, Moerdijk, Ieke. Sheaves in Geometry and Logic. A First Introduction to Topos Theory. Springer Universitext, 1994.
- Robert Goldblatt, Topoi, the Categorial Analysis of Logic. Dover Revised edition, 2006.
- Peter Johnstone, Sketches of an Elephant: a Topos Theory Compendium, Oxford U. Press, Oxford. Volume 1 (2002), Volume 2, (2002), Volume 3 (in preparation).
PhD Course, Category Theory (May-June 2018)
Contents of the page
Announcements
Topics of the course
- Categories, universal properties, functors.
- Natural transformations, adjoint functors and categorical equivalences.
- Concrete dualities.
- Yoneda Lemma.
- Sheaves and topoi.
Course material
- Harold Simmons. An Introduction to Category Theory. Cambridge University Press, 2011.
- Robert Goldblatt Topoi: The Categorial Analysis of Logic, Dover Publications 2006.
- Saunders Mac Lane. Categories for the Working Mathematician (Second edition). Springer. 1988.
Practicalities
- Lecturer: Luca Spada
- Duration of the course: 20 hours.
Preliminary programme
- Friday 18 May 2018, from 11:00 to 13:00;
- Monday 21 May 2018, from 9:00 to 11:00;
- Wednesday 23 May 2018, from 9:00 to 11:00;
- Friday 25 May 2018, from 9:00 to 11:00;
- Monday 4 June 2018, from 15:00 to 17:00;
- Wednesday, June 6, 2018, from 9:00 to 11:00;
- Friday 8 June 2018, from 9:00 to 11:00;
- Thursday 21 June 2018, from 9:00 to 11:00;
- Monday 9 July 2018, from 15:00 to 17:00;
- Wednesday 11 July 2018, from 9:00 to 11:00;
