Corso di Fondamenti della Matematica (2022/23)

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Descrizione del corso

La matematica vista nei primi anni di studi universitari include la geometria, l’algebra, l’analisi, la combinatoria, la probabilità. Nello studiare queste branche della matematica alcune domande sorgono quasi spontanee: cos’è in generale la matematica? Cosa è un sistema formale? È possibile costruire una teoria matematica che contenga tutte le altre? E se sì, quali sono i suoi assiomi? Quali sono le uniche cose che dobbiamo assumere vere affinché tutto il resto della matematica ne sia una conseguenza?

Queste domande ne fanno scaturire immediatamente altre. Se tutta la matematica può essere vista come un’unica grandissima teoria. Fin dove arriva questa? Quali sono i suoi limiti? È possibile dimostrare tutto ciò che è vero?

Nel corso degli anni in matematica sono state sviluppare tecniche sempre più sofisticate, ragionamenti sempre più complessi e costruzioni sempre più ardite. Da ciò sono nati risultati inaspettati, a volte così tanto da sembrare falsi. Come si può essere sicuri che alla fine i teoremi dimostrati finora non portino a contraddizione? Esistono delle fondamenta sicure per la matematica? Su cosa fonda la matematica?

Ad esempio, tutti gli studenti di matematica sanno che esistono vari livelli di infinito e che a volte le proprietà di questi infiniti sono contro intuitive. Come si può fare a sapere che questa idea di infinito è quella corretta? Come si può essere sicuri che i ragionamenti portati avanti in teorie matematiche che coinvolgono infinità di numeri, infinità di funzioni, infinità di spazi, alla fine siano corretti?

Molte di queste domande sono state oggetto di approfondita ricerca da parte di un grande matematico del 900: David Hilbert. Egli si chiese se tutto il processo della scoperta di nuove teorie e nuovi teoremi potesse in qualche modo essere meccanizzato. Queste domande portarono Hilbert a cambiare l’idea stessa della matematica per trasformarla in quello che studiamo oggi. Ma, mentre il più grande matematico del 900 mette in piedi questo enorme programma di ricerca, un giovane viennese di 24 anni, con la sua tesi di dottorato, distrugge completamente il programma dando risposta a molte delle domande viste prima. È sorprendente pensare che le risposte a queste domande possano essere teoremi matematici, piuttosto che speculazioni filosofiche.

In questo corso analizzeremo queste domande, le formalizzeremo e vedremo quali risposte sono state proposte.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

  • Il metodo assiomatico.
  • Esempi di metodi assiomatici.
  • Coerenza, Completezza, Categoricità e Indipendenza.
  • Il Programma di Hilbert.
  • Cenni sui teoremi di Gödel.
  • La Teoria di Zermelo-Fraenkel.
  • Assioma della scelta e alcune sue conseguenze importanti.
  • Ordinali e Cardinali.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni.

  1. 22/09/2022 – Introduzione al corso. “Le flogghe che scorpano“.
  2. 23/09/2022 – Sistemi assiomatici: termini indefiniti, logici e universali. Un altro esempio.
  3. 29/09/2022 – Teoremi e modelli del sistema assiomatico Λ. Coerenza di un sistema di assiomi.
  4. 30/09/2022 – Indipendenza e completezza di un sistema assiomatico.
  5. 06/10/2022 – Cenni storici sulla crisi dei fondamenti.
  6. 07/10/2022 – L’antinomia di Russell e il programma di Hilbert. Il concetto di funzione computabile.
  7. 13/10/2022 – Funzioni parziali ricorsive.
  8. 14/10/2022 – Insiemi ricorsivi e insiemi ricorsivamente enumerabili.
  9. 20/10/2022 – Macchine di Turing.
  10. 21/10/2022 – L’insieme dell’arresto. I teoremi di incompletezza di Gödel.
  11. 27/10/2022 – I primi assiomi di ZF e loro conseguenze
  12. 28/10/2022 – Gli altri assiomi di ZF, i numeri naturali in ZF
  13. 03/11/2022 – Insiemi ben ordinati e segmenti iniziali
  14. 04/11/2022 – Isomorfismi tra insiemi ben ordinati
  15. 10/11/2022 – Il teorema di Tricotomia
  16. 11/11/2022 – Gli insiemi ordinali
  17. 17/11/2022 – La classe On è ben ordinata e transitiva.
  18. 18/11/2022 – Il principio di induzione transfinita. Funzioni definite per ritorsione transfinita.
  19. 24/11/2022 – Come uccidere un’Idra. Il Teorema di Goldstein.
  20. 25/11/2022 – Gli insiemi cardinali. Il teorema di Cantor-Bernstein.
  21. 01/12/2022 – La biezione canonica tra On^2 e On.
  22. 02/12/2022  – Formulazioni equivalenti dell’Assioma della Scelta.
  23. 09/12/2022 – Non ci sarà lezione.
  24. 15/12/2022  – L’universo degli insiemi.
  25. 16/12/2022  – L’universo dei costruibili.

Materiale del corso

  • Testi consigliati:
    • M. Borga, D. Palladino, Oltre il mito della crisi: fondamenti e filosofia della matematica del XX secolo. Editrice La Scuola.
    • G. Lolli, Tavoli, sedie e boccali di birra: David Hilbert e la matematica del Novecento. Raffaello Cortina Editore.
    • S. Leonesi, C. Toffalori. Matematica, Miracoli e Paradossi. Storie di Cardinali da Cantor a Gödel (2007) Mondadori.
    • G. Gerla, Dagli Insiemi alla Logica Matematica. Tentativi di Fondare la Matematica, Volume I e II. Ilmiolibro.it.

Le dispense e altro materiale riguardante il corso sarà messo a disposizione tramite Teams. Seguire questo link per iscriversi.

Aspetti pratici

Crediti/ore:

  • Durata: 48 ore (12 settimane).
  • CFU: 6

Date/aule:

  • Le lezioni cominceranno giovedì 22 settembre.
  • Ci sono due lezioni a settimana:
    • giovedì dalle 09:15 alle 10:45, Laboratorio L11.
    • venerdì dalle 09:15 alle 10:45, Laboratorio L11.

Esercizi/Esami

Esame:

  • L’esame per questo corso è solo orale. È possibile sostenere l’esame in qualunque momento prendendo preventivamente appuntamento con il docente (circa una settimana prima)

Appelli d’esame:

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