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Are locally finite MV-algebras a variety?

Here you can find the slides of my talk Are locally finite MV-algebras a variety? presented at the Shanks Workshop on Ordered Algebras and Logic at Vanderbilt University (Nashville, US) and on Zoom for the Algebra|Coalgebra seminar of the ILLC (Amsterdam).

The material is based on a joint work with M. Abbadini (University of Salerno).

Unification in Lukasiewicz logic with a finite number of variables

In this paper, coauthored with Marco Abbadini and Federica Di Stefano, we prove that the unification type of Lukasiewicz logic with a finite number of variables is either infinitary or nullary.  To achieve this result we use Ghilardi’s categorical characterisation of unification types in terms of projective objects,  the categorical duality between finitely presented MV-algebras and rational polyhedra, and a homotopy-theoretic argument.

Logiche polivalenti: alcuni temi di ricerca sviluppati in Italia

In questo articolo presentiamo alcuni temi di ricerca in logica a più valori. Anche se essi sono attuali e di grande interesse teorico, di certo essi non esauriscono le linee di ricerca nel settore delle logiche a più valori, neppure se ci restringiamo al panorama nazionale. Per questo, a beneficio dei giovani logici che volessero iniziare un percorso di ricerca nel campo delle logiche polivalenti, faremo anche una breve panoramica delle linee di ricerca e delle competenze dei gruppi di ricerca italiani che si occupano di logica polivalente.

An introduction to Topos Theory (Phd course 2018/19)

This year I will teach an introduttive course on Topos Theory.

Topos theory has many different aspects. On the one hand, a topos is a generalisation of a topological space. On the other hand, every topos can be thought of as a mathematical universe in which one can do mathematics. In fact, there is a duality between Grothendieck topoi and certain first-order theories of logic, called geometric theories. Topos theory grew out of the observation that the category of sheaves over a fixed topological space forms a universe of “continuously variable sets” which obeys the laws of intuitionistic logic. After recalling some basic notions in Category Theory such as functors, natural transformations, limits and adjunctions, we will examine categories of presheaves and their fundamental properties, Grothendieck sites and sheaves and the notion of elementary topos. Applications to logic will be treated.

The (tentative) course calendar is as follows:

• Tuesday, 7 May 2019, 15:00 (Aula P18, DipMat). Introduction to the course. Categories, functors, natural transformations, adjoint functors and equivalences. A motivation for considering sheaves: dualities.
• Wednesday, 8 May 2019, 15:30 (Sala Riunioni, DipMat). The category of \mathcal{C}-sets and six examples. Representable \mathcal{C}-sets and their computation in the examples.
• Tuesday, 14 May 2019, 15:00 (Sala Riunioni, DipMat). Products, coproducts and other limits and colimits in the category of \mathcal{C}-sets, with their calculation in the six examples. Yoneda lemma and Yoneda embedding.
• Wednesday, 15 May 2019, 15:30 (Sala Riunioni, DipMat). Every \mathcal{C}-set is a colimit of representable C-sets. Intrinsic properties of representable objects: connectivity, irreducibility and continuity. Sections, retractions and idempotents.
• Tuesday, 21 May 2019, 15:30 (Sala Riunioni, DipMat). The equivalence between the Cauchy completion of \mathcal{C} and the full subcategory of continuous objects in Sets^{\mathcal{C}^{op}}.
• Wednesday, 22 May 2019, 16:00 (Sala Riunioni, DipMat) Exponentials and Subobject classifiers, with examples.
• Tuesday, 28 May 2019, 15:00 (Sala Riunioni, DipMat) There will not be lectures this week.
• Wednesday, 29 May 2019, 15:30 (Sala Riunioni, DipMat) There will not be lectures this week.
• Tuesday, 4 June 2019, 15:00 (Sala Riunioni, DipMat) Frames and point-free geometry. The algebraic structure of the subobject classifier.
• Wednesday, 5 June 2019, 15:30 (Sala Riunioni, DipMat) The interpretation of geometric logic in a topos. The internal logic of a topos.
• Tuesday, 11 June 2019, 15:00 (Sala Riunioni, DipMat) Geometric functors. Grothendieck topoi.
• Wednesday, 12 June 2019, 15:30 (Sala Riunioni, DipMat) Classifying topoi.

The references for the course are:

• F. William Lawvere and Steve Schanuel, Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories, Cambridge U. Press, Cambridge, 1997.
• Reyes, Reyes, Zolfaghari – Generic figures and their glueings. Polimetrica, 2008.
• MacLane, Saunders, Moerdijk, Ieke. Sheaves in Geometry and Logic. A First Introduction to Topos Theory. Springer Universitext, 1994.
• Robert Goldblatt, Topoi, the Categorial Analysis of Logic. Dover Revised edition, 2006.
• Peter Johnstone, Sketches of an Elephant: a Topos Theory Compendium, Oxford U. Press, Oxford. Volume 1 (2002), Volume 2, (2002), Volume 3 (in preparation).

Corso di Logica Matematica 1 (2018/19)

Aggiornamenti

Pubblicato (più sotto) il calendario aggiornato del tutorato.

Visto l’alto numero di studenti frequentanti a partire da lunedì 8 ottobre le lezioni si terranno in aula P5.

Descrizione del corso

Prerequisiti

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e teoria degli insiemi.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

• Sintassi della logica proposizionale.
• Deduzione naturale per la logica proposizionale.
• Semantica della logica proposizionale.
• Algebre di Boole.
• Teorema di completezza della logica proposizionale.
• Sintassi della logica del prim’ordine.
• Semantica della logica del prim’ordine.
• Teoremi di completezza e compattezza per la logica del prim’ordine.
• Limiti dei linguaggi del prim’ordine.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:

1. 1/10/2018 – Introduzione al corso. Sintassi della logica proposizionale, tavole di verità.
2. 3/10/2018 – Conseguenza logica, completezza funzionale, forma normale disgiuntiva e congiuntiva.
3. 8/10/2018 – Tautologie fondamentali, teorema di compattezza per la logica proposizionale e una sua applicazione alla teoria dei grafi.
4. 9/10/2018 – La deduzione naturale
5. 15/10/2018 – Teorie massimamente coerenti e loro proprietà.
6. 16/10/2018 – Teorema di completezza per la logica proposizionale.
7. 22/10/2018 – Algebre di Boole, prime proprietà.
8. 23/10/2018 – Termini e equazioni nel linguaggio delle algebre di Boole.
9. 29/10/2018 – Omomorfismi, congruenze, kernel e filtri delle algebre di Boole.
10. 30/10/2018 – Filtri e ultrafiltri.
11. 5/11/2018 – Caratterizzazione degli ultrafiltri, teorema di Stone.
12. 6/11/2018 – Algebre di Boole libere. Le algebre di Lindenbaum-Tarski.
13. 12/11/2018 – Proprietà delle algebre di Boole.
14. 13/11/2018 – Teorema di completezza algebrica.
15. 19/11/2018 – Introduzione alla logica del primo ordine: linguaggi, strutture, interpretazioni, sostituzioni.
16. 20/11/2018 – Validità di una formula in una struttura.  Teorema di forma normale premessa.
17. 26/11/2018 – La deduzione naturale per la logica del prim’ordine: definizione e adeguatezza.
18. 27/11/2018 –  Teorie Henkin. Estensioni conservative.
19. 3/12/2018 – Il teorema di completezza della logica del prim’ordine.
20. 4/12/2018 – Teorema di Löwenheim-Skolem all’ingiù. Teorema di compattezza. Teorema di Löwenheim-Skolem all’insù.
21. 10/12/2018 – Ultraprodotti.  Il teorema di Łos.
22. 11/12/2018 – Il teorema di compattezza come corollario del Teorema di Łos.

Materiale del corso

• Testi consigliati:
  • Elliott Mendelson. Introduzione alla logica matematica. Bollati Boringhieri 1977.
  • Dirk van Dalen. Logic and Structure. Springer 1994.
  • J. L. Bell, A. B. Slomson. Models and Ultraproducts: An Introduction. Dover 2006.
• Dispense (ultima versione).
  • Attenzione: le dispense continueranno a essere aggiornate e migliorate.  Tutte le versioni saranno disponibili su questo sito per fare confronti.  Una lista dei cambiamenti principali sarà inclusa nel testo.
  • Per segnalare errori per piacere inviare un’email a Luca Spada.

Aspetti pratici

• Docente: Luca Spada

Crediti/ore:

• Durata: 56 ore (11 settimane).
• CFU: 7

Date/aule:

• Le lezioni cominceranno il primo ottobre.
• Ci sono due lezioni a settimana:
  • lunedì dalle 9:00 alle 12:00, aula P5
  • martedì dalle 9:00 alle 11:00, aula P5.

Esercizi/Esami

Tutorato:

Docente: Serafina Lapenta.

Orario:  martedì 14:15 – 16:15 Aula P5.

I prossimi incontri di tutorato si terranno nei seguenti giorni:

• 6 novembre 2018,
• 20 novembre 2018,
• 4 dicembre 2018,
• 18 dicembre 2018.

Esame:

• L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.

Appelli d’esame:

• Primo appello invernale
  •  23 gennaio 2019.
• Secondo appello invernale
  •  20 febbraio 2019.
• Appello straordinario.
  • 15 aprile 2019.
• Primo appello estivo.
  •  giugno 2019.
• Secondo appello estivo.
  • luglio 2019.
• Terzo appello estivo.
  • settembre 2018.
• Appello straordinario.
  • novembre 2018.

Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada