PostDoc position in Logic in Salerno, Italy. (Deadline 10th of May 2016.)

The Department of Mathematics at the University of Salerno invites applications for a three-year postdoctoral position in Mathematical Logic.  The position is co-funded by the Horizon 2020 project “SYSMICS” and involves a commitment of 20% of time for project assistance duties.  The research focus in on: algebraic logic, many-valued logics, and substructural logics.  The net salary is approximately 1450 euros per month.

Applicants are expected to have a strong background in mathematics and logic, the ability to conduct collaborative mathematical research, and the potential for excellence in research. Good written and oral English skills are required. The postdoctoral fellow will work within the logic group of the department and will be in contact with researchers in more than 20 universities participating in the project.

Applicants are required to enclose a 3-5 page research proposal (in English or Italian), a CV, their PhD thesis, publications and any other qualification which could demonstrate their scientific production as well as their aptitude to research activity.

The deadline for applications is the 10th of May.

The application form is in Italian, but an English guide can be found at the end of this page. Speaking Italian is not a requirement for the position.  The interview will take place on the 20th of May at 10:30. A Skype interview is possible for non-Italian residents and must be requested in advance.

The official call for applications (in Italian) is available here. One can use google translate to have a rough idea of the call, however the important information are listed below.

The application form is in Italian, you can download it here.  At this link you can find a English explanation of how to fill it in.

Your application must contain:

1. The application form provided at the above link, filled in.
2. A self-certification of your PhD.  Here is the form and here is the explanation of how to fill it in.
3. A copy of your Passport or ID.
4. Research proposal.
5. CV.
6. Publications.
7. List of the publications attached to the application.
8. PhD thesis.
9. Other qualifications such as research scholarships, awards, or specialisations.
10. List of the other qualifications.
11. List of all document presented (excluding the list itself :).

On the envelope containing all documents there must be indicated:

Full name and address of the candidate, followed by: “selezione pubblica per 1 assegno Area 01 – Scienze Matematiche e Informatiche , Settore Disciplinare MAT/01, Bando prot. 22619 del 19/04/2016”.

The envelope has to be sent (with registered priority mail) to the following address:

Università degli Studi di Salerno – Area III “Didattica e Ricerca”, Via Giovanni Paolo II, 132 – 84084 Fisciano (SA)

For further inquiries please contact Dr. Luca Spada (lspada@unisa.it)

MV-algebras, infinite dimensional polyhedra, and natural dualities

Leo and I have just finished our paper on the connection between natural dualities and the duality between semisimple MV-algebras and compact Hausdorff spaces with definable maps. Actually, we provide a description of definable maps that is intrinsically geometric. In addition, we give some applications to semisimple tensor products, strongly semisimple and polyhedral MV-algebras.

The paper can be downloaded here.

Canonical formulas for k-potent commutative, integral, residuated lattices

Nick, Nick and I have finished the paper about canonical formulas for k-potent residuated lattices.  A (incomplete) presentation of the paper can be found here.  The paper can be downloaded here

The abstract reads as follows:

Canonical formulas are a powerful tool for studying intuitionistic and modal logics. Actually, they provide a uniform and semantic way to axiomatise all extensions of intuitionistic logic and all modal logics above K4. Although the method originally hinged on the relational semantics of those logics, recently it has been completely recast in algebraic terms. In this new perspective canonical formulas are built from a finite subdirectly irreducible algebra by describing completely the behaviour of some operations and only partially the behaviour of some others. In this paper we export the machinery of canonical formulas to substructural logics by introducing canonical formulas for k-potent, commutative, integral, residuated lattices (k-????). We show that any subvariety of k-???? is axiomatised by canonical formulas. The paper ends with some applications and examples.

Comments are welcome, as usual.

MEMF

Corso di Matematica per l’Economia e Matematica

Finanziaria (I semestre 2015/16)

Contenuti della pagina

• News
• Descrizione del corso e prerequisiti
• Materiale del corso
• Aspetti pratici
• Esercizi/Esami

Descrizione del corso

Prerequisiti

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di matematica trattati nei corsi di scuola media superiore. In particolare, sono richieste competenze elementari di algebra (risoluzione di equazioni e disequazioni di primo e secondo grado), di geometria euclidea, di teoria degli insiemi, di logica e di trigonometria.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

• Successioni e serie numeriche.
• Funzioni reali a una o più variabili: continuità, derivate e integrali.
• Algebra lineare.
• Elementi di matematica finanziaria.

Durante il corso qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:

1. 30/09/2015 – Introduzione al corso, elementi di logica e di teoria degli insiemi.  Relazioni: relazioni d’ordine, relazioni di equivalenza.
2. 01/10/2015 – Funzioni: dominio e immagine, iniettività, suriettività, biettività, monotonicità, invertibilità. Funzioni notevoli: funzioni lineari e valore assoluto.
3. 02/10/2015 – Introduzione agli insiemi numerici. Massimo, minimo, infimo e supremo. Principio di induzione.  Funzioni notevoli: funzione potenza, funzione esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche.
4. 7/10/2015 – Successioni: introduzione e primi esempi. Operazioni con i limiti.
5. 8/10/2015 – Teoremi di confronto: permanenza del segno, carabinieri, criterio del rapporto. Successioni monotone. Limiti notevoli. Il numero di Nepero. La successione di Fibonacci.
6. 9/10/2015 – Successioni estratte. Teorema di Bolzano Weierstrass. Successioni di Cauchy. Definizioni di limiti per funzioni reali.
7. 14/10/2015 – Equivalenza delle definizioni di limite per funzioni reali. Prime proprietà dei limiti (limiti di somme, prodotti, etc.). Definizione di continuità di una funzione: idea intuitiva.
8. 15/10/2015 – Funzioni continue.  Teoremi della permanenza del segno, Esistenza degli zeri, del Valor medio e teorema di Wierstrass.
9. 16/10/2015 – Definizione di derivata e prime proprietà: derivata della somma, prodotto e rapporto di funzioni; derivata dell’inversa di una funzione continua, strettamente crescente (o decrescente).
10. 21/10/2015 – Derivate di funzioni elementari. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat. Teorema di Rolle e di Lagrange.
11. 23/10/2015 – Applicazioni dei teoremi: criterio di monotonicità, criterio per le funzioni costanti.  Funzioni concave e convesse.  Criterio di convessità.  Teorema di de l’Hôpital.
12. 28/10/2015 – Studio del grafico di una funzione di una variabile reale.
13. 29/10/2015 – Esercitazione.
14. 30/10/2015 – Esercitazione.
15. 4/11/2015 – Applicazioni delle derivate nella ricerca di minimi e massimi.  Definizioni di utilità marginale e produttività marginale.  Integrali definiti.
16. 5/11/2015 – Equivalenza tra le definizioni di integrale definito.  Proprietà degli integrali definiti.  Continuità uniforme. Teorema di Cantor sulla continuità uniforme.
17. 6/11/2015 – Integrali indefiniti. Metodi di integrazione.
18. 11/11/2015 – Vettori, prodotto interno, prodotto per uno scalare. Dipendenza lineare.
19. 12/11/2015 – Spazi vettoriali, sottostai generati, base di uno spazio vettoriale. Teorema di Rouche-Capelli (in forma vettoriale). Teorema di Cramer.
20. 13/11/2015 – Matrici, operazioni tra matrici. Determinante. Regola di Sarrus per il determinante di una matrice 3×3.
21. 18/11/2015 – Teorema di Laplace. Rango di una matrice.
22. 19/11/2015 – Risoluzione di sistemi di equazioni lineari.  Sistemi lineari omogenei.
23. 20/11/2015 – Autovalori, autovettori e autospazi.  Diagonalizzazione.
24. 25/11/2015 – Funzioni reali a più variabili: continuità, derivate parziali.
25. 26/11/2015 – Gradiente, derivate successive, derivate miste e pure, Teorema di Schwarz. Massimi, minimi e punti di sella. Matrice Hessiana.
26. 27/11/2015 – Formula di Taylor.  Resto di Lagrange.
27. 2/12/2015 – Principali leggi finanziarie.
28. 3/12/2015 – Rendite.
29. 4/12/2015 – Ammortamenti.  Valutazione degli investimenti: TAEG, VAN e TIR.

Materiale del corso

• Il testo di riferimento principale è: Paolo Marcellini, Carlo Sbordone. Elementi Di Analisi Matematica 1. Liguori Editore.
• Per la parte di algebra lineare sono consigliate le dispense del prof. Sergio Bianchi disponibili a questo link.
• Per la parte di matematica finanziaria sono consigliate le dispense della prof.ssa Rossana Riccardi disponibili a questo link.

Aspetti pratici

• Docente: Luca Spada

Crediti/ore:

• Durata: 60 ore.
• CFU: 10
• Frequenza: non obbligatoria.

Date/aule:

• Le lezioni cominceranno il 30 settembre.
• Ci sono tre lezioni a settimana:
  1. mercoledì dalle 16:30 alle 18:30, aula SP/3.
  2. giovedì dalle 16:30 alle 18:30, aula 6.
  3. venerdì dalle 8:30 alle 10:30, aula 6.

Esercizi/Esami

• Durante il corso saranno assegnati degli esercizi che possono essere trovati qui sotto.
  1. Esercizi prima settimana.
  2. Esercizi seconda settimana.
  3. Esercizi terza settimana.
  4. Esercizi quarta settimana.
  5. Esercizi sesta settimana.
  6. Esercizi settima settimana. (Fino all’esercizio 6 incluso.  Si usi la definizione di determinante anziché il teorema di Laplace)
  7. Esercizi ottava settimana: quelli nelle dispense sulla risoluzione di sitemi lineari e sul calcolo degli autovettori.

Esame:

• Non ci saranno prove di esonero durante il corso.
• L’esame è scritto, il voto massimo allo scritto è 25.  L’orale è facoltativo e si può fare solo solo dopo aver ottenuto un voto pari o maggiore di 18 allo scritto.
• È necessario presentarsi all’esame con un documento di riconoscimento.
• Non è consentito abbandonare l’aula dell’esame prima di due ore dall’inizio della prova.
• Chi dovesse aver bisogno di allontanarsi dall’aula per usare il bagno, dovrà necessariamente sostenere anche l’esame orale.
• Chi totalizza meno di 10 punti, o chi viene sorpreso a copiare il compito, non potrà sostenere l’esame nell’appello immediatamente successivo.
• All’esame scritto è possibile usare i testi di teoria, le dispense utilizzate durante il corso o formulari, non sono consentiti appunti o libri con esercizi svolti.  Chi non ha il testo può consultare la copia del docente.
• A questi link è possibile trovare due esempi di prove di esame: Esempio esame 1, Esempio esame 2. Più in basso, sono disponibili le tracce degli scorsi appelli.

Appelli d’esame:

• Esame 20-1-2016. Risultati-2016-1-20.
• Esame del 3-2-2016 (con soluzioni). Risultati 3-2-16.
• Esame del 17-2-2016 (con soluzioni). Risultati 17-2-16.
• Esame 08-06-2016 (con soluzioni); Risultati 08-6-16.
• Esame 22-06-2016 (con soluzioni); Risultati 22-6-16.
• Esame 7-07-2016 (con soluzioni); Risultati 7-7-2016.
• Esame 14-09-2016 (con soluzioni); Risultati 14-9-2016.

A(nother) duality for the whole variety of MV-algebras

This is the abstract of a talk I gave in Florence at Beyond 2014.

Given a category C one can form its ind-completion by taking all formal directed colimits of objects in C. The “correct” arrows to consider are then families of some special equivalence classes of arrows in C (Johnstone 1986, V.1.2, pag. 225). The pro-completion is formed dually by taking all formal directed limits. For general reasons, the ind-completion of a category C is dually equivalent to the pro-completion of the dual category C^{\rm op}.

$$\textrm{ind}\mbox{-}C\simeq (\textrm{pro}\mbox{-}(C^{\rm{op}}))^{\rm{op}}.       \qquad\qquad (1)$$

Ind- and pro- completions are very useful objects (as they are closed under directed (co)limits) but cumbersome to use, because of the involved definitions of arrows between objects. We prove that if C is an algebraic category, then the situation considerably simplifies.

If V is any variety of algebras, one can think of any algebra A in V as colimit of finitely presented algebras as follows.

Consider a presentation of A i.e., a cardinal \mu and a congruence [/latex]\theta[/latex] on the free \mu-generated algebra \mathcal{F}(\mu) such that A\cong \mathcal{F}(\mu)/\theta. Now, consider the set F(\theta) of all finitely generated congruences contained in \theta, this gives a directed diagram in which the objects are the finitely presented algebras of the form \mathcal{F}(n)/\theta_{i} where \theta_{i}\in F(\theta) and X_{1},...,X_{n} are the free generators occurring in \theta_{i}. It is straightforward to see that this diagram is directed, for if \mathcal{F}(m)/\theta_{1} and \mathcal{F}(n)/\theta_{2} are in the diagram, then both map into \mathcal{F}(m+n)/\langle\theta_{1}\uplus\theta_{2}\rangle, where \langle\theta_{1}\uplus\theta_{2}\rangle is the congruence generated by the disjoint union of \theta_{1} and \theta_{2}. Now, the colimit of such a diagram is exactly A.

Denoting by V_{\textrm{fp}} the full subcategory of V of finitely presented objects, the above reasoning entails

$$V\simeq\textrm{ind}\mbox{-}V_{\textrm{fp}}.        \qquad\qquad (2)$$

We apply our result to the special case where V is the class of MV-algebras. One can then combine the duality between finitely presented MV-algebras and the category P_{\mathbb{Z}} of rational polyhedra with \mathbb{Z}-maps (see here), with (1)  and (2) to obtain,

$$MV\simeq\textrm{ind}\mbox{-}MV_{\textrm{fp}}\simeq \textrm{pro}\mbox{-}(P_{\mathbb{Z}})^{\rm{op}}.  \qquad\qquad (3)$$

This gives a categorical duality for the whole class of MV-algebras whose geometric content may be more transparent than other dualities in literature. In increasing order of complexity one has that any MV-algebra:

1. is dual to a polyhedron (Finitely presented case);
2. is dual to an intersection of polyhedra (Semisimple case);
3. is dual to a countable nested sequence of polyhedra (Finitely generated case);
4. is dual to the directed limit of a family of polyhedra. (General case).

Here are the slides of this talk