Corso di Fondamenti della Matematica (2023/24)

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Descrizione del corso

La matematica vista nei primi anni di studi universitari include la geometria, l’algebra, l’analisi, la combinatoria, la probabilità. Nello studiare queste branche della matematica alcune domande sorgono quasi spontanee: cos’è in generale la matematica? Cosa è un sistema formale? È possibile costruire una teoria matematica che contenga tutte le altre? E se sì, quali sono i suoi assiomi? Quali sono le uniche cose che dobbiamo assumere vere affinché tutto il resto della matematica ne sia una conseguenza?

Queste domande ne fanno scaturire immediatamente altre. Se tutta la matematica può essere vista come un’unica grandissima teoria. Fin dove arriva questa? Quali sono i suoi limiti? È possibile dimostrare tutto ciò che è vero?

Nel corso degli anni in matematica sono state sviluppare tecniche sempre più sofisticate, ragionamenti sempre più complessi e costruzioni sempre più ardite. Da ciò sono nati risultati inaspettati, a volte così tanto da sembrare falsi. Come si può essere sicuri che alla fine i teoremi dimostrati finora non portino a contraddizione? Esistono delle fondamenta sicure per la matematica? Su cosa fonda la matematica?

Ad esempio, tutti gli studenti di matematica sanno che esistono vari livelli di infinito e che a volte le proprietà di questi infiniti sono contro intuitive. Come si può fare a sapere che questa idea di infinito è quella corretta? Come si può essere sicuri che i ragionamenti portati avanti in teorie matematiche che coinvolgono infinità di numeri, infinità di funzioni, infinità di spazi, alla fine siano corretti?

Molte di queste domande sono state oggetto di approfondita ricerca da parte di un grande matematico del 900: David Hilbert. Egli si chiese se tutto il processo della scoperta di nuove teorie e nuovi teoremi potesse in qualche modo essere meccanizzato. Queste domande portarono Hilbert a cambiare l’idea stessa della matematica per trasformarla in quello che studiamo oggi. Ma, mentre il più grande matematico del 900 mette in piedi questo enorme programma di ricerca, un giovane viennese di 24 anni, con la sua tesi di dottorato, distrugge completamente il programma dando risposta a molte delle domande viste prima. È sorprendente pensare che le risposte a queste domande possano essere teoremi matematici, piuttosto che speculazioni filosofiche.

In questo corso analizzeremo queste domande, le formalizzeremo e vedremo quali risposte sono state proposte.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

• Il metodo assiomatico e alcuni esempi.
• Coerenza, Completezza, Categoricità e Indipendenza.
• Il Programma di Hilbert.
• Modelli per una nozione formale di calcolabilità.
• Cenni sui teoremi di Gödel.
• La Teoria di Zermelo-Fraenkel.
• Assioma della scelta e alcune sue conseguenze importanti.
• Ordinali e Cardinali.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni.

1. 25 settembre 2023 Introduzione al corso. Le flogghe che scoprano.
2. 26 settembre 2023 Un altro esempio di sistema assiomatico: geometria in miniatura.
3. 2 ottobre 2023 Proprietà dei sistemi assiomatici: coerenza, indipendenza.
4. 3 ottobre 2023 Proprietà dei sistemi assiomatici: completezza.
5. 9 ottobre 2023 Macchine di Turing: definizione ed esempi.
6. 10 ottobre 2023 Funzioni primitive ricorsive: definizione ed esempi.
7. 16 ottobre 2023 Funzioni parziali ricorsive: definizione ed esempi.
8. 17 ottobre 2023 Codifiche ricorsive di sottoinsiemi finiti e stringhe di numeri naturali.
9. 23 ottobre 2023 Insiemi ricorsivi e ricorsivanente enunerabili. L’insieme dell’arresto.
10. 24 ottobre 2023 La crisi dei fondamenti. Il programma di Hilbert.
11. 30 ottobre 2023 La teoria ZF: i primi assiomi.
12. 31 ottobre 2023 La teoria ZF: i rimanenti assiomi.
13. 6 novembre 2023 Buoni ordini.
14. 7 novembre 2023 Segmenti iniziali.
15. 13 novembre 2023 Il teorema di tricotomia.
16. 14 novembre 2023 Gli ordinali. Prime proprietà.
17. 20 novembre 2023 Ordinali come rappresentanti canonici di buoni ordini. L’ordinale \omega.
18. 21 novembre 2023 Il teorema di induzione transfinita. Definizioni per ricorsione su On.
19. 27 novembre 2023 Come uccidere un’idra e il Teorema di Goodstein.
20. 28 novembre 2023 Forme equivalenti dell’Assioma della scelta.
21. 4 dicembre 2023
22. 5 dicembre 2023
23. 11 dicembre 2023 Il teorema di Cantor-Schröder-Bernstein.
24. 12 dicembre 2023 La cardinalità di un insieme e i cardinali.
25. 18 dicembre 2023 Operazioni sui cardinali. La biezione canonica tra On^2 e On.
26. 19 dicembre 2023 Le categorie come fondamenti della matematica.

Materiale del corso

• Testi consigliati:
  • M. Borga, D. Palladino, Oltre il mito della crisi: fondamenti e filosofia della matematica del XX secolo. Editrice La Scuola.
  • G. Lolli, Tavoli, sedie e boccali di birra: David Hilbert e la matematica del Novecento. Raffaello Cortina Editore.
  • S. Leonesi, C. Toffalori. Matematica, Miracoli e Paradossi. Storie di Cardinali da Cantor a Gödel (2007) Mondadori.
  • G. Gerla, Dagli Insiemi alla Logica Matematica. Tentativi di Fondare la Matematica, Volume I e II. Ilmiolibro.it.

Le dispense e altro materiale riguardante il corso sarà messo a disposizione tramite Teams. Seguire questo link per iscriversi.

Aspetti pratici

• Docenti: Luca Spada

Crediti/ore:

• Durata: 48 ore (12 settimane).
• CFU: 6

Date/aule:

• Le lezioni cominceranno lunedì 25 settembre.
• Ci sono due lezioni a settimana:
  • Lunedì dalle 15:00 alle 17:00, Aula F3.
  • Martedì dalle 09:00 alle 11:00, Aula F6.

Esercizi/Esami

Esame:

L’esame per questo corso è solo orale. È possibile sostenere l’esame in qualunque momento prendendo preventivamente appuntamento con il docente (circa una settimana prima)

Appelli d’esame:

• Appello di gennaio: 26 gennaio, ore 9:00, studio docente
• Appello di febbraio: 15 febbraio, ore 9:00, studio docente

Corso di Algebra Universale e Teoria delle Categorie (2023/24)

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Descrizione del corso

Nei corsi dei primi anni si incontrano vari tipi di strutture: gruppi, anelli, campi, spazi vettoriali, etc. Molte tecniche utilizzate per il loro studio si rassomiglano e ci sono teoremi che si ripetono (es. teoremi di isomorfismo) cambiando di poco il linguaggio.

Gruppi, anelli, etc. vengono studiati approfonditamente per la loro importanza storica e perché sono onnipresenti in matematica. Ma ci sono molte altre strutture che sono interessanti per via delle loro applicazioni: reticoli, monoidi, semianelli, etc. A dire il vero ci sono centinaia di strutture algebriche attualmente studiate per via delle loro applicazioni in informatica, fisica, economia, etc.

Ci si può ragionevolmente domandare se ogni volta che si scopre qualche struttura di interesse bisogna ricominciare tutto da capo o se è possibile esportare tecniche e costruzioni da altre strutture simili. O, in maniera molto più ambiziosa, ci si può chiedere se esistano teoremi che riguardino TUTTE le strutture, che in qualche modo ne permettano la classificazione, suggeriscano le proprietà essenziali da studiare o possano dare immediatamente  informazioni cruciali su strutture algebriche che mai incontrate prima. 

La risposta a questa domanda è estremamente positiva. Da questa domanda si è sviluppata la branca della matematica che va sotto il nome di algebra universale. È una branca relativamente nuova, con un numero sorprendente di risultati. Il suo studio porta a una visione ampia,  matura e profonda dell’algebra. Si riescono a mettere a fuoco chiaramente quali sono gli aspetti che le strutture hanno in comune, quali sono i punti chiave che fanno funzionare le teorie, quali sono le direzioni in cui cercare per ottenere nuovi teoremi.

Una volta fatta questa astrazione, si cominciano a vedere intere classi di strutture come oggetti matematici e se ne studiano le relazioni tra di loro. Questo porta alla definizione di categorie e funtori. Il linguaggio delle categorie permette di far rientrare nello stesso ambito ancora più strutture matematiche (ad esempio, grafi, insiemi ordinati, spazi topologici, misure di probabilità, etc.). Ciò permette non solo di esportare tecniche da un settore della matematica all’altro, ma anche di capire formalmente come tutti questi tipi di strutture sono correlati tra loro.

Prerequisiti

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e di logica.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

• Richiami di Teoria dei Reticoli.
• Sottoalgebre, Omomorfismi e Congruenze.
• Prodotti Diretti e Prodotti Sottodiretti.
• Teoremi di Birkhoff.
• Categorie, funtori, trasformazioni naturali.
• Costruzioni universali.
• Il lemma di Yoneda.
• Aggiunzioni ed equivalenze categoriali.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:

• 25 settembre 2023 Introduzione al corso. Algebre, sottalgebre, omomorfismi e prodotti diretti.
• 27 settembre 2023 Esempi di classi di algebre e loro chiusura rispetto agli operatori H, S e P. Sottalgebra generata da un insieme.
• 2 ottobre 2023 Relazioni di equivalenza e congruenze. Congruenze generate.
• 4 ottobre 2023 Ordini, operatori di chiusura e reticoli. Definizione di categoria.
• 9 ottobre 2023 Funtori ed esempi
• 11 ottobre 2023 Trasformazioni naturali. Aggiunzioni.
• 16 ottobre 2023
• 18 ottobre 2023 Definizioni alternative di aggiunzioni e loro equivalenza.
• 23 ottobre 2023 Prodotti, coprodotti, oggetti iniziali e terminali.
• 25 ottobre 2023 Equalizzatori e co-equalizzatori. Pull-back e push-out. Limiti e colimiti.
• 30 ottobre 2023 Ancora su equalizzatori e pull-back.
• 6 novembre 2023 Terza definizione di aggiunzione.
• 8 novembre 2023 Il lemma e l’immersione di Yoneda.
• 13 novembre 2023 Rappresentazioni dirette e congruenze complementari.
• 15 novembre 2023 Rappresentazioni sottodirette e teorema di rappresentazione sottodiretta.
• 20 novembre 2023 Il teorema HSP.
• 22 novembre 2023 (3 ore) Algebre libere.
• 27 novembre 2023 (3 ore) Il teorema di Birkhoff per le varietà.
• 29 novembre 2023
• 4 dicembre 2023
• 6 dicembre 2023 (3 ore) Relazioni di equivalenza in una categoria e kernel pair.
• 11 dicembre 2023 (3 ore) Epimorfismi regolari
• 13 dicembre 2023 (3 ore) Epimorfismi estremali e categorie regolari.
• 18 dicembre 2023 (3 ore) Topos elementari.

Materiale del corso

• Testi consigliati:
  • Clifford Bergman. Universal Algebra: fundamental and selected topics. CRC press. 2011
  • S. Burris, H. P. Sankappanavar. A course on universal algebra. (Disponibile gratuitamente qui)
  • Leinster, Tom. Basic category theory. Vol. 143. Cambridge University Press, 2014. (Disponibile gratuitamente qui)
  • Harold Simmons. An introduction to category theory. Cambridge University Press, 2011. (Disponibile gratuitamente qui)
  • Robert Goldblatt Topoi: The Categorial Analysis of Logic, Dover Publications 2006. (Disponibile gratuitamente qui)
  • Saunders Mac Lane. Categories for the Working Mathematician (Seconda edizione). Springer. 1988. (Disponibile gratuitamente qui)
  • Dispense del docente

Aspetti pratici

• Docente: Luca Spada
• Semestre: primo.
• Durata: 48 ore (12 settimane).
• CFU: 6

Date/aule:

Ci sono due lezioni a settimana:

• lunedì dalle 9:00 alle 11:00, Laboratorio 11, piano -1, Edificio F2.
• mercoledì dalle 14:00 alle 16:00, Laboratorio 11, piano -1, Edificio F2.

Esercizi/Esami

Esame:

L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.

L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso.  Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente.  In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi).  Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).

Appelli d’esame:

• Appello di gennaio: 26 gennaio, ore 9:30, studio docente
• Appello di febbraio: 15 febbraio, ore 9:30, studio docente

Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada

Corso di Logica Matematica (2021/22)

News

(9/5/2022) Pubblicate le date degli appelli estivi e di quello autunnale.

(9/5/2022) All’inizio di giugno partirà un corso help teaching di supporto alla preparazione dell’esame. Maggiori notizie a breve.

Descrizione del corso

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e teoria degli insiemi.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

• Sintassi della logica proposizionale.
• Deduzione naturale per la logica proposizionale.
• Semantica della logica proposizionale.
• Algebre di Boole.
• Teorema di completezza della logica proposizionale.
• Sintassi della logica del prim’ordine.
• Semantica della logica del prim’ordine.
• Teorema di completezza per la logica del prim’ordine.
• Ultraprodotti.
• Limiti dei linguaggi del prim’ordine.
• Teorema di compattezza per la logica del prim’ordine.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:

1. 22/09/2021 – Introduzione al corso. Formule ben formate.
2. 24/09/2021 – Valutazioni, tautologie, conseguenza logica.
3. 29/09/2021 – Completezza funzionale, forme normali congiuntive e disgiuntive, insiemi massimalmente finitamente soddisfacibili.
4. 01/10/2021 – Il teorema di compattezza.
5. 06/10/2021 – La deduzione naturale. Adeguatezza del sistema.
6. 08/10/2021 – Coerenza e soddisfacibilità. La completezza della logica proposizionale.
7. 13/10/2021 – Introduzione ai reticoli e le algebre di Boole.
8. 15/10/2021 – Prime proprietà delle algebre di Boole e primo teorema di isomorfismo.
9. 20/10/2021 – Relazioni tra epimorfismi, congruenze e filtri.
10. 22/10/2021 – Ideali, filtri principali e ultrafiltri.
11. 27/10/2021 – Teorema di rappresentazione di Stone
12. 29/10/2021 – Algebre di Boole liberamente generate e algebre di Lindenbaum-Tarski
13. 03/11/2021 – Verso il teorema di completezza algebrica.
14. 05/11/2021 – Il teorema di completezza algebrica.
15. 10/11/2021 – La logica del prim’ordine: sintassi.
16. 12/11/2021 – La logica del prim’ordine: semantica.
17. 17/11/2021 – Formule del prim’ordine logicamente valide. Forma normale premessa. La deduzione naturale per la logica del prim’ordine.
18. 19/11/2021 – Teorema di adeguatezza.
19. 24/11/2021 – Teorie Henkin, estensioni conservative, il teorema di esistenza del modello.
20. 26/11/2021 – Il teorema di completezza della logica del prim’ordine e la compattezza come suo corollario.
21. 01/12/2021 – Ultraprodotti, teorema di Los.
22. 03/12/2021 – Teorema di Compattezza con l’uso degli ultraprodotti. I teoremi di Lowenheim-Skolem.
23. 10/12/2021 – Applicazioni.

Materiale del corso

• Testi consigliati:
  • Dirk van Dalen. Logic and Structure. Springer 1994.
  • Elliott Mendelson. Introduzione alla logica matematica. Bollati Boringhieri 1977.
  • J. L. Bell, A. B. Slomson. Models and Ultraproducts: An Introduction. Dover 2006.
• Dispense: Ultima versione.
  • Attenzione: le dispense potrebbero subire degli aggiornamenti minori.  Tutte le versioni saranno disponibili su questo sito per fare confronti.  Una lista dei cambiamenti principali sarà inclusa nel testo.
  • Per segnalare errori per piacere inviare un’email a Luca Spada.

Aspetti pratici

• Docente: Luca Spada
• Link Team

Crediti/ore:

• Durata: 56 ore (11 settimane).
• CFU: 7

Date/aule:

• Le lezioni cominceranno mercoledì 22 settembre in modalità mista.
• Ci sono due lezioni a settimana:
  • mercoledì dalle 11:15 alle 13:45, aula F6+Teams.
  • venerdì dalle 11:15 alle 13:00, aula F6+Teams.

Esercizi/Esami

Tutorato:

Esame:

• L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.

L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso.  Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente.  In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi).  Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).

Appelli d’esame:

• Appelli invernali:
  1. 10 gennaio 2022 ore 9:00 aula P5 (in presenza)
  2. 31 gennaio 2022 ore 9:00 aula P5 (in presenza)
• Appelli estivi:
  1. 8 giugno 2022 ore 9:00 aula P11.
  2. 30 giugno 2022 ore 9:00 aula P11.
• Appello autunnale:
  1. 1 settembre 2022 ore 9:00 aula P11.

Per gli esami a distanza prendere un appuntamento via email con il docente con circa una settimana di anticipo.

Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada

Corso di Logica Matematica (2020/21)

News

Descrizione del corso

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e teoria degli insiemi.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

• Sintassi della logica proposizionale.
• Deduzione naturale per la logica proposizionale.
• Semantica della logica proposizionale.
• Algebre di Boole.
• Teorema di completezza della logica proposizionale.
• Sintassi della logica del prim’ordine.
• Semantica della logica del prim’ordine.
• Teoremi di completezza e compattezza per la logica del prim’ordine.
• Limiti dei linguaggi del prim’ordine.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:

1. 25/09/2020 – Introduzione al corso.
2. 28/09/2020 – Il linguaggio formale. Conseguenza logica, tautologie e soddisfacibilità.
3. 02/10/2020 – Completezza funzionale, forma normale disgiuntiva e congiuntiva.
4. 05/10/2020 – Teorema di compattezza per la logica proposizionale.
5. 09/10/2020 – Un’applicazione del Teorema di compattezza alla teoria dei grafi. La deduzione naturale.
6. 12/10/2020 – Esempi di deduzioni naturali.
7. 16/10/2020 – Teorie massimalmente coerenti e loro proprietà. Teorema di completezza per la logica proposizionale.
8. 19/10/2020 – Ordini parziali, ordini reticolari e reticoli.
9. 23/10/2020 – Algebre di Boole e prime proprietà.
10. 26/10/2020 – Omomorfismi, congruenze e sottalgebre.
11. 30/10/2020 – Kernel e filtri. Corrispondenza tra filtri, congruenze e epimorfismi.
12. 02/11/2020 – Filtri generati da un insieme, FIP. Ultrafiltri e loro prime proprietà.
13. 06/11/2020 – Esistenza degli ultrafiltri. Teorema di Stone. Algebre di Boole liberamente generate.
14. 09/11/2020 – Termini booleani. Proprietà delle algebre libere.
15. 13/11/2020 – Teorema di completezza algebrica.
16. 16/11/2020 – Sintassi della logica del prim’ordine. Sostituzioni.
17. 20/11/2020 – Semantica della logica del prim’ordine.
18. 23/11/2020 – Validità e equivalenza logica. Esempi di formule logicamente valide.
19. 27/11/2020 – Forma normale prenessa. La deduzione naturale per la logica del prim’ordine. Adeguatezza della deduzione naturale.
20. 30/11/2020 – Estensioni conservative e teorie Henkin.
21. 04/12/2020 – Teorema di completezza. Teorema di compattezza. Teoremi di Lowenheim-Skolem.
22. 07/12/2020 – Ultraprodotti e teorema di compattezza.
23. 11/12/2020 – Il teorema di compattezza tramite gli ultraprodotti. Conclusioni

Materiale del corso

• Testi consigliati:
  • Elliott Mendelson. Introduzione alla logica matematica. Bollati Boringhieri 1977.
  • Dirk van Dalen. Logic and Structure. Springer 1994.
  • J. L. Bell, A. B. Slomson. Models and Ultraproducts: An Introduction. Dover 2006.
• Dipsense: Ultima versione.
  • Attenzione: le dispense sono in corso di aggiornamento.  Tutte le versioni saranno disponibili su questo sito per fare confronti.  Una lista dei cambiamenti principali sarà inclusa nel testo.
  • Per segnalare errori per piacere inviare un’email a Luca Spada.

Aspetti pratici

• Docente: Luca Spada
• Tutor: Sara Vannucci
• Link Team
• Link Moodle

Crediti/ore:

• Durata: 56 ore (11 settimane).
• CFU: 7

Date/aule:

• Le lezioni cominceranno venerdì 25 settembre su Microsoft Teams, appena possibile si terranno anche in presenza in modalità mista.
• Ci sono due lezioni a settimana:
  • lunedì dalle 11:15 alle 13:00, aula F3 online su Teams.
  • venerdì dalle 9:00 alle 11:30, aula F6 online su Teams.

Esercizi/Esami

Tutorato:

Il tutorato si svolge nello stesso Team del corso. Questo è il piano degli incontri:

• 27 novembre, ore 15:00
• 4 dicembre, ore 15:00
• 11 dicembre, ore 9:00
• 14 dicembre, ore 10:30
• 18 dicembre, ore 9:00
• 21 dicembre, ore 11:15
• Gli appuntamenti di gennaio sono da definire.

Esame:

• L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.

L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso.  Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente.  In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi).  Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).

Appelli d’esame:

• Appelli invernali: 7 gennaio 2021 e 8 gennaio 2021 (entrambi a distanza).
• Appello straordinario primaverile: tra il 7 aprile 2021 e il 30 aprile 2021 (entrambi a distanza).
• Appelli estivi: 9 giugno 2021 e 12 luglio 2021 (Il primo a distanza il secondo sia in presenza che a distanza).
• Appello autunnale: 3 settembre 2021 (sia in presenza che a distanza).
• Un ulteriore appello nel periodo tra l’8 novembre e il 10 dicembre 2021.

Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada

MEMF

Corso di Matematica per l’Economia e Matematica

Finanziaria (I semestre 2015/16)

Contenuti della pagina

• News
• Descrizione del corso e prerequisiti
• Materiale del corso
• Aspetti pratici
• Esercizi/Esami

 

Descrizione del corso

Prerequisiti

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di matematica trattati nei corsi di scuola media superiore. In particolare, sono richieste competenze elementari di algebra (risoluzione di equazioni e disequazioni di primo e secondo grado), di geometria euclidea, di teoria degli insiemi, di logica e di trigonometria.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

• Successioni e serie numeriche.
• Funzioni reali a una o più variabili: continuità, derivate e integrali.
• Algebra lineare.
• Elementi di matematica finanziaria.

Durante il corso qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:

1. 30/09/2015 – Introduzione al corso, elementi di logica e di teoria degli insiemi.  Relazioni: relazioni d’ordine, relazioni di equivalenza.
2. 01/10/2015 – Funzioni: dominio e immagine, iniettività, suriettività, biettività, monotonicità, invertibilità. Funzioni notevoli: funzioni lineari e valore assoluto.
3. 02/10/2015 – Introduzione agli insiemi numerici. Massimo, minimo, infimo e supremo. Principio di induzione.  Funzioni notevoli: funzione potenza, funzione esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche.
4. 7/10/2015 – Successioni: introduzione e primi esempi. Operazioni con i limiti.
5. 8/10/2015 – Teoremi di confronto: permanenza del segno, carabinieri, criterio del rapporto. Successioni monotone. Limiti notevoli. Il numero di Nepero. La successione di Fibonacci.
6. 9/10/2015 – Successioni estratte. Teorema di Bolzano Weierstrass. Successioni di Cauchy. Definizioni di limiti per funzioni reali.
7. 14/10/2015 – Equivalenza delle definizioni di limite per funzioni reali. Prime proprietà dei limiti (limiti di somme, prodotti, etc.). Definizione di continuità di una funzione: idea intuitiva.
8. 15/10/2015 – Funzioni continue.  Teoremi della permanenza del segno, Esistenza degli zeri, del Valor medio e teorema di Wierstrass.
9. 16/10/2015 – Definizione di derivata e prime proprietà: derivata della somma, prodotto e rapporto di funzioni; derivata dell’inversa di una funzione continua, strettamente crescente (o decrescente).
10. 21/10/2015 – Derivate di funzioni elementari. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat. Teorema di Rolle e di Lagrange.
11. 23/10/2015 – Applicazioni dei teoremi: criterio di monotonicità, criterio per le funzioni costanti.  Funzioni concave e convesse.  Criterio di convessità.  Teorema di de l’Hôpital.
12. 28/10/2015 – Studio del grafico di una funzione di una variabile reale.
13. 29/10/2015 – Esercitazione.
14. 30/10/2015 – Esercitazione.
15. 4/11/2015 – Applicazioni delle derivate nella ricerca di minimi e massimi.  Definizioni di utilità marginale e produttività marginale.  Integrali definiti.
16. 5/11/2015 – Equivalenza tra le definizioni di integrale definito.  Proprietà degli integrali definiti.  Continuità uniforme. Teorema di Cantor sulla continuità uniforme.
17. 6/11/2015 – Integrali indefiniti. Metodi di integrazione.
18. 11/11/2015 – Vettori, prodotto interno, prodotto per uno scalare. Dipendenza lineare.
19. 12/11/2015 – Spazi vettoriali, sottostai generati, base di uno spazio vettoriale. Teorema di Rouche-Capelli (in forma vettoriale). Teorema di Cramer.
20. 13/11/2015 – Matrici, operazioni tra matrici. Determinante. Regola di Sarrus per il determinante di una matrice 3×3.
21. 18/11/2015 – Teorema di Laplace. Rango di una matrice.
22. 19/11/2015 – Risoluzione di sistemi di equazioni lineari.  Sistemi lineari omogenei.
23. 20/11/2015 – Autovalori, autovettori e autospazi.  Diagonalizzazione.
24. 25/11/2015 – Funzioni reali a più variabili: continuità, derivate parziali.
25. 26/11/2015 – Gradiente, derivate successive, derivate miste e pure, Teorema di Schwarz. Massimi, minimi e punti di sella. Matrice Hessiana.
26. 27/11/2015 – Formula di Taylor.  Resto di Lagrange.
27. 2/12/2015 – Principali leggi finanziarie.
28. 3/12/2015 – Rendite.
29. 4/12/2015 – Ammortamenti.  Valutazione degli investimenti: TAEG, VAN e TIR.

Materiale del corso

• Il testo di riferimento principale è: Paolo Marcellini, Carlo Sbordone. Elementi Di Analisi Matematica 1. Liguori Editore.
• Per la parte di algebra lineare sono consigliate le dispense del prof. Sergio Bianchi disponibili a questo link.
• Per la parte di matematica finanziaria sono consigliate le dispense della prof.ssa Rossana Riccardi disponibili a questo link.

Aspetti pratici

• Docente: Luca Spada

Crediti/ore:

• Durata: 60 ore.
• CFU: 10
• Frequenza: non obbligatoria.

Date/aule:

• Le lezioni cominceranno il 30 settembre.
• Ci sono tre lezioni a settimana:
  1. mercoledì dalle 16:30 alle 18:30, aula SP/3.
  2. giovedì dalle 16:30 alle 18:30, aula 6.
  3. venerdì dalle 8:30 alle 10:30, aula 6.

Esercizi/Esami

• Durante il corso saranno assegnati degli esercizi che possono essere trovati qui sotto.
  1. Esercizi prima settimana.
  2. Esercizi seconda settimana.
  3. Esercizi terza settimana.
  4. Esercizi quarta settimana.
  5. Esercizi sesta settimana.
  6. Esercizi settima settimana. (Fino all’esercizio 6 incluso.  Si usi la definizione di determinante anziché il teorema di Laplace)
  7. Esercizi ottava settimana: quelli nelle dispense sulla risoluzione di sitemi lineari e sul calcolo degli autovettori.

Esame:

• Non ci saranno prove di esonero durante il corso.
• L’esame è scritto, il voto massimo allo scritto è 25.  L’orale è facoltativo e si può fare solo solo dopo aver ottenuto un voto pari o maggiore di 18 allo scritto.
• È necessario presentarsi all’esame con un documento di riconoscimento.
• Non è consentito abbandonare l’aula dell’esame prima di due ore dall’inizio della prova.
• Chi dovesse aver bisogno di allontanarsi dall’aula per usare il bagno, dovrà necessariamente sostenere anche l’esame orale.
• Chi totalizza meno di 10 punti, o chi viene sorpreso a copiare il compito, non potrà sostenere l’esame nell’appello immediatamente successivo.
• All’esame scritto è possibile usare i testi di teoria, le dispense utilizzate durante il corso o formulari, non sono consentiti appunti o libri con esercizi svolti.  Chi non ha il testo può consultare la copia del docente.
• A questi link è possibile trovare due esempi di prove di esame: Esempio esame 1, Esempio esame 2. Più in basso, sono disponibili le tracce degli scorsi appelli.

Appelli d’esame:

• Esame 20-1-2016. Risultati-2016-1-20.
• Esame del 3-2-2016 (con soluzioni). Risultati 3-2-16.
• Esame del 17-2-2016 (con soluzioni). Risultati 17-2-16.
• Esame 08-06-2016 (con soluzioni); Risultati 08-6-16.
• Esame 22-06-2016 (con soluzioni); Risultati 22-6-16.
• Esame 7-07-2016 (con soluzioni); Risultati 7-7-2016.
• Esame 14-09-2016 (con soluzioni); Risultati 14-9-2016.

 

Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada