Corso di Algebra Universale e Teoria delle Categorie (2023/24)

News

Descrizione del corso

Nei corsi dei primi anni si incontrano vari tipi di strutture: gruppi, anelli, campi, spazi vettoriali, etc. Molte tecniche utilizzate per il loro studio si rassomiglano e ci sono teoremi che si ripetono (es. teoremi di isomorfismo) cambiando di poco il linguaggio.

Gruppi, anelli, etc. vengono studiati approfonditamente per la loro importanza storica e perché sono onnipresenti in matematica. Ma ci sono molte altre strutture che sono interessanti per via delle loro applicazioni: reticoli, monoidi, semianelli, etc. A dire il vero ci sono centinaia di strutture algebriche attualmente studiate per via delle loro applicazioni in informatica, fisica, economia, etc.

Ci si può ragionevolmente domandare se ogni volta che si scopre qualche struttura di interesse bisogna ricominciare tutto da capo o se è possibile esportare tecniche e costruzioni da altre strutture simili. O, in maniera molto più ambiziosa, ci si può chiedere se esistano teoremi che riguardino TUTTE le strutture, che in qualche modo ne permettano la classificazione, suggeriscano le proprietà essenziali da studiare o possano dare immediatamente  informazioni cruciali su strutture algebriche che mai incontrate prima. 

La risposta a questa domanda è estremamente positiva. Da questa domanda si è sviluppata la branca della matematica che va sotto il nome di algebra universale. È una branca relativamente nuova, con un numero sorprendente di risultati. Il suo studio porta a una visione ampia,  matura e profonda dell’algebra. Si riescono a mettere a fuoco chiaramente quali sono gli aspetti che le strutture hanno in comune, quali sono i punti chiave che fanno funzionare le teorie, quali sono le direzioni in cui cercare per ottenere nuovi teoremi.

Una volta fatta questa astrazione, si cominciano a vedere intere classi di strutture come oggetti matematici e se ne studiano le relazioni tra di loro. Questo porta alla definizione di categorie e funtori. Il linguaggio delle categorie permette di far rientrare nello stesso ambito ancora più strutture matematiche (ad esempio, grafi, insiemi ordinati, spazi topologici, misure di probabilità, etc.). Ciò permette non solo di esportare tecniche da un settore della matematica all’altro, ma anche di capire formalmente come tutti questi tipi di strutture sono correlati tra loro.

Prerequisiti

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e di logica.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

• Richiami di Teoria dei Reticoli.
• Sottoalgebre, Omomorfismi e Congruenze.
• Prodotti Diretti e Prodotti Sottodiretti.
• Teoremi di Birkhoff.
• Categorie, funtori, trasformazioni naturali.
• Costruzioni universali.
• Il lemma di Yoneda.
• Aggiunzioni ed equivalenze categoriali.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:

• 25 settembre 2023 Introduzione al corso. Algebre, sottalgebre, omomorfismi e prodotti diretti.
• 27 settembre 2023 Esempi di classi di algebre e loro chiusura rispetto agli operatori H, S e P. Sottalgebra generata da un insieme.
• 2 ottobre 2023 Relazioni di equivalenza e congruenze. Congruenze generate.
• 4 ottobre 2023 Ordini, operatori di chiusura e reticoli. Definizione di categoria.
• 9 ottobre 2023 Funtori ed esempi
• 11 ottobre 2023 Trasformazioni naturali. Aggiunzioni.
• 16 ottobre 2023
• 18 ottobre 2023 Definizioni alternative di aggiunzioni e loro equivalenza.
• 23 ottobre 2023 Prodotti, coprodotti, oggetti iniziali e terminali.
• 25 ottobre 2023 Equalizzatori e co-equalizzatori. Pull-back e push-out. Limiti e colimiti.
• 30 ottobre 2023 Ancora su equalizzatori e pull-back.
• 6 novembre 2023 Terza definizione di aggiunzione.
• 8 novembre 2023 Il lemma e l’immersione di Yoneda.
• 13 novembre 2023 Rappresentazioni dirette e congruenze complementari.
• 15 novembre 2023 Rappresentazioni sottodirette e teorema di rappresentazione sottodiretta.
• 20 novembre 2023 Il teorema HSP.
• 22 novembre 2023 (3 ore) Algebre libere.
• 27 novembre 2023 (3 ore) Il teorema di Birkhoff per le varietà.
• 29 novembre 2023
• 4 dicembre 2023
• 6 dicembre 2023 (3 ore) Relazioni di equivalenza in una categoria e kernel pair.
• 11 dicembre 2023 (3 ore) Epimorfismi regolari
• 13 dicembre 2023 (3 ore) Epimorfismi estremali e categorie regolari.
• 18 dicembre 2023 (3 ore) Topos elementari.

Materiale del corso

• Testi consigliati:
  • Clifford Bergman. Universal Algebra: fundamental and selected topics. CRC press. 2011
  • S. Burris, H. P. Sankappanavar. A course on universal algebra. (Disponibile gratuitamente qui)
  • Leinster, Tom. Basic category theory. Vol. 143. Cambridge University Press, 2014. (Disponibile gratuitamente qui)
  • Harold Simmons. An introduction to category theory. Cambridge University Press, 2011. (Disponibile gratuitamente qui)
  • Robert Goldblatt Topoi: The Categorial Analysis of Logic, Dover Publications 2006. (Disponibile gratuitamente qui)
  • Saunders Mac Lane. Categories for the Working Mathematician (Seconda edizione). Springer. 1988. (Disponibile gratuitamente qui)
  • Dispense del docente

Aspetti pratici

• Docente: Luca Spada
• Semestre: primo.
• Durata: 48 ore (12 settimane).
• CFU: 6

Date/aule:

Ci sono due lezioni a settimana:

• lunedì dalle 9:00 alle 11:00, Laboratorio 11, piano -1, Edificio F2.
• mercoledì dalle 14:00 alle 16:00, Laboratorio 11, piano -1, Edificio F2.

Esercizi/Esami

Esame:

L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.

L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso.  Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente.  In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi).  Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).

Appelli d’esame:

• Appello di gennaio: 26 gennaio, ore 9:30, studio docente
• Appello di febbraio: 15 febbraio, ore 9:30, studio docente

Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada

Are locally finite MV-algebras a variety?

Here you can find the slides of my talk Are locally finite MV-algebras a variety? presented at the Shanks Workshop on Ordered Algebras and Logic at Vanderbilt University (Nashville, US) and on Zoom for the Algebra|Coalgebra seminar of the ILLC (Amsterdam).

The material is based on a joint work with M. Abbadini (University of Salerno).

MV-algebras, infinite dimensional polyhedra, and natural dualities

Leo and I have just finished our paper on the connection between natural dualities and the duality between semisimple MV-algebras and compact Hausdorff spaces with definable maps. Actually, we provide a description of definable maps that is intrinsically geometric. In addition, we give some applications to semisimple tensor products, strongly semisimple and polyhedral MV-algebras.

The paper can be downloaded here.

A(nother) duality for the whole variety of MV-algebras

This is the abstract of a talk I gave in Florence at Beyond 2014.

Given a category C one can form its ind-completion by taking all formal directed colimits of objects in C. The “correct” arrows to consider are then families of some special equivalence classes of arrows in C (Johnstone 1986, V.1.2, pag. 225). The pro-completion is formed dually by taking all formal directed limits. For general reasons, the ind-completion of a category C is dually equivalent to the pro-completion of the dual category C^{\rm op}.

$$\textrm{ind}\mbox{-}C\simeq (\textrm{pro}\mbox{-}(C^{\rm{op}}))^{\rm{op}}.       \qquad\qquad (1)$$

Ind- and pro- completions are very useful objects (as they are closed under directed (co)limits) but cumbersome to use, because of the involved definitions of arrows between objects. We prove that if C is an algebraic category, then the situation considerably simplifies.

If V is any variety of algebras, one can think of any algebra A in V as colimit of finitely presented algebras as follows.

Consider a presentation of A i.e., a cardinal \mu and a congruence [/latex]\theta[/latex] on the free \mu-generated algebra \mathcal{F}(\mu) such that A\cong \mathcal{F}(\mu)/\theta. Now, consider the set F(\theta) of all finitely generated congruences contained in \theta, this gives a directed diagram in which the objects are the finitely presented algebras of the form \mathcal{F}(n)/\theta_{i} where \theta_{i}\in F(\theta) and X_{1},...,X_{n} are the free generators occurring in \theta_{i}. It is straightforward to see that this diagram is directed, for if \mathcal{F}(m)/\theta_{1} and \mathcal{F}(n)/\theta_{2} are in the diagram, then both map into \mathcal{F}(m+n)/\langle\theta_{1}\uplus\theta_{2}\rangle, where \langle\theta_{1}\uplus\theta_{2}\rangle is the congruence generated by the disjoint union of \theta_{1} and \theta_{2}. Now, the colimit of such a diagram is exactly A.

Denoting by V_{\textrm{fp}} the full subcategory of V of finitely presented objects, the above reasoning entails

$$V\simeq\textrm{ind}\mbox{-}V_{\textrm{fp}}.        \qquad\qquad (2)$$

We apply our result to the special case where V is the class of MV-algebras. One can then combine the duality between finitely presented MV-algebras and the category P_{\mathbb{Z}} of rational polyhedra with \mathbb{Z}-maps (see here), with (1)  and (2) to obtain,

$$MV\simeq\textrm{ind}\mbox{-}MV_{\textrm{fp}}\simeq \textrm{pro}\mbox{-}(P_{\mathbb{Z}})^{\rm{op}}.  \qquad\qquad (3)$$

This gives a categorical duality for the whole class of MV-algebras whose geometric content may be more transparent than other dualities in literature. In increasing order of complexity one has that any MV-algebra:

1. is dual to a polyhedron (Finitely presented case);
2. is dual to an intersection of polyhedra (Semisimple case);
3. is dual to a countable nested sequence of polyhedra (Finitely generated case);
4. is dual to the directed limit of a family of polyhedra. (General case).

Here are the slides of this talk

MVL

Course on Many-Valued Logics (Autumn 2014)

This page concerns the course `Many-Valued Logics’, taught at the University of Amsterdam from September – October 2014. 

Contents of the page

• News
• Contents of the classes
• Course material
• Practicalities
• Grading and homework assignments
• Course Description and Prerequisites

Contents

The course covers the following topics:

• Basic Logic and Monoidal t-norm Logic.
• Substructural logics and residuated lattices.
• Cut elimination and completions.
• Lukasiewicz logic.

More specifically, this is the content of each single class:

• September, 1: Introduction, motivations, t-norms and their residua. Section 2.1 (up to Lemma 2.1.13) of the Course Material 1.
• September, 5: Basic Logic, Residuated lattices, BL-algebras, linearly ordered BL-algebras. Section 2.2 and 2.3 (up to Lemma 2.3.16) of the Course Material 1.
• September, 8: Lindenbaum-Tarski algebra of BL, algebraic completeness. Monodical t-norm logic, MTL-algebras, standard completeness. The rest of Course Material 1 (excluding Section 2.4) and Course Material 2.
• September, 12: Ordinal decomposition of BL-algebras. Mostert and Shield Theorem.  Course Material 3.
• September, 15: Ordinal decomposition of BL-algebras (continued). Algebrizable logics and equivalent algebraic semantics.  Course Material 4.
• September, 19: Algebrizable logics and equivalent algebraic semantics (continued).  Course Material 4.
• September, 22: Algebrizable logics and equivalent algebraic semantics (continued): Leibniz operator and implicit characterisations of algebraizability.  Course Material 4.
• September, 26: Leibniz operator and implicit characterisations of algebraizability (continued).  Course Material 4. Gentzen calculus and the substructural hierarchy. Course Material 5 (to be continued).
• September, 29: Structural quasi-equations and $N_2$ equations. Residuated frames. Course Material 5 (Continued).
• October, 3: Analytic quasi-equations, dual frames, and MacNeille completions. Course Material 5 (Continued).
• October, 9: Atomic conservativity, closing the circle of equivalencies. Course Material 5 (Continued).
• October, 10: Lukasiewicz logic and MV-algebras. Mundici’s equivalence. Course Material 6.
• October, 17: The duality between semisimple MV-algebras and Tychonoff spaces. Course Material 7.

Course material

The material needed during the course can be found below.

• Course material 1
• Course material 2
• Course material 3
• Course material 4
• Course material 5
• Course material 6
• Course material 7
• An example of a possible final exam can be downloaded here.

The homework due during the course can be found below.

• Homework 1 (Deadline 12th September)
• Homework 2 (Deadline 19th September)
• Homework 3 (Deadline 26th September)
• Homework 4 (Deadline 3d October)
• Homework 5 (Deadline 10th October)
• Homework 6 (Deadline 17th October)

Practicalities

Staff

• Lecturer: Luca Spada

Dates/location:

• Classes run from the 1st of September until the 17th of October; there will be 14 classes in total.
• There are two classes weekly.
• Due to the high number of participants classrooms will change weekly, datanose.nl will always be updated with the right classrooms.

Grading and homeworks

• The grading is on the basis of weekly homework assignments, and a written exam at the end of the course.
• The homework assignments will be made available weekly through this page.
• The final grade will be determined for 2/3 by homeworks, and for 1/3 by the final exam.
• In order to pass the course, a score at least 50/100 on the final exam is needed.

More specific information about homework and grading:

• You are allowed to collaborate on the homework exercises, but you need to acknowledge explicitly with whom you have been collaborating, and write the solutions independently.
• Deadlines for submission are strict.
• Homework handed in after the deadline may not be taken into consideration; at the very least, points will be subtracted for late submission.
• In case you think there is a problem with one of the exercises, contact the lecturer immediately.

Course Description

Many-valued logics are logical systems in which the truth values may be more than just “absolutely true” and “absolutely false”. This simple loosening opens the door to a large number of possible formalisms. The main methods of investigation are algebraic, although in the recent years the proof theory of many-valued logics has had a remarkable development.

This course will address a number of questions regarding classification, expressivity, and algebraic aspects of many-valued logics. Algebraic structures as Monoidal t-norm based algebras, MV-algebras, and residuated lattices will be introduced and studied during the course.

The course will cover seclected chapters of the following books.

• P. Hájek, ‘Metamathematics of Fuzzy Logic‘, Trends in Logic, Vol. 4 Springer, 1998.
• P. Cintula, P. Hájek, C. Noguera (Editors). ‘Handbook of Mathematical Fuzzy Logic‘ – Volume 1 and 2. Volumes 37 and 38 of Studies in Logic, Mathematical Logic and Foundations. College Publications, London, 2011
• R. L. O. Cignoli, I. M. L. D’Ottaviano e D. Mundici, ‘Algebraic Foundations of Many-Valued Reasoning‘, Trends in Logic, Vol. 7 Springer, 2000
• D. Mundici. ‘Advanced Lukasiewicz calculus and MV-algebras‘, Trends in Logic, Vol. 35 Springer, 2011.

Prerequisites

It is assumed that students entering this class possess

• Some mathematical maturity.
• Familiarity with the basic theory of propositional and first order (classical) logic.

Basic knowledge of general algebra, topology and category theory will be handy but not necessary.

 

Comments, complaints, questions: mail Luca Spada