Canonical formulas for k-potent commutative, integral, residuated lattices

Nick, Nick and I have finished the paper about canonical formulas for k-potent residuated lattices.  A (incomplete) presentation of the paper can be found here.  The paper can be downloaded here

The abstract reads as follows:

Canonical formulas are a powerful tool for studying intuitionistic and modal logics. Actually, they provide a uniform and semantic way to axiomatise all extensions of intuitionistic logic and all modal logics above K4. Although the method originally hinged on the relational semantics of those logics, recently it has been completely recast in algebraic terms. In this new perspective canonical formulas are built from a finite subdirectly irreducible algebra by describing completely the behaviour of some operations and only partially the behaviour of some others. In this paper we export the machinery of canonical formulas to substructural logics by introducing canonical formulas for k-potent, commutative, integral, residuated lattices (k-????). We show that any subvariety of k-???? is axiomatised by canonical formulas. The paper ends with some applications and examples.

Comments are welcome, as usual.

MEMF

Corso di Matematica per l’Economia e Matematica

Finanziaria (I semestre 2015/16)

Contenuti della pagina

• News
• Descrizione del corso e prerequisiti
• Materiale del corso
• Aspetti pratici
• Esercizi/Esami

Descrizione del corso

Prerequisiti

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di matematica trattati nei corsi di scuola media superiore. In particolare, sono richieste competenze elementari di algebra (risoluzione di equazioni e disequazioni di primo e secondo grado), di geometria euclidea, di teoria degli insiemi, di logica e di trigonometria.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

• Successioni e serie numeriche.
• Funzioni reali a una o più variabili: continuità, derivate e integrali.
• Algebra lineare.
• Elementi di matematica finanziaria.

Durante il corso qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:

1. 30/09/2015 – Introduzione al corso, elementi di logica e di teoria degli insiemi.  Relazioni: relazioni d’ordine, relazioni di equivalenza.
2. 01/10/2015 – Funzioni: dominio e immagine, iniettività, suriettività, biettività, monotonicità, invertibilità. Funzioni notevoli: funzioni lineari e valore assoluto.
3. 02/10/2015 – Introduzione agli insiemi numerici. Massimo, minimo, infimo e supremo. Principio di induzione.  Funzioni notevoli: funzione potenza, funzione esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche.
4. 7/10/2015 – Successioni: introduzione e primi esempi. Operazioni con i limiti.
5. 8/10/2015 – Teoremi di confronto: permanenza del segno, carabinieri, criterio del rapporto. Successioni monotone. Limiti notevoli. Il numero di Nepero. La successione di Fibonacci.
6. 9/10/2015 – Successioni estratte. Teorema di Bolzano Weierstrass. Successioni di Cauchy. Definizioni di limiti per funzioni reali.
7. 14/10/2015 – Equivalenza delle definizioni di limite per funzioni reali. Prime proprietà dei limiti (limiti di somme, prodotti, etc.). Definizione di continuità di una funzione: idea intuitiva.
8. 15/10/2015 – Funzioni continue.  Teoremi della permanenza del segno, Esistenza degli zeri, del Valor medio e teorema di Wierstrass.
9. 16/10/2015 – Definizione di derivata e prime proprietà: derivata della somma, prodotto e rapporto di funzioni; derivata dell’inversa di una funzione continua, strettamente crescente (o decrescente).
10. 21/10/2015 – Derivate di funzioni elementari. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat. Teorema di Rolle e di Lagrange.
11. 23/10/2015 – Applicazioni dei teoremi: criterio di monotonicità, criterio per le funzioni costanti.  Funzioni concave e convesse.  Criterio di convessità.  Teorema di de l’Hôpital.
12. 28/10/2015 – Studio del grafico di una funzione di una variabile reale.
13. 29/10/2015 – Esercitazione.
14. 30/10/2015 – Esercitazione.
15. 4/11/2015 – Applicazioni delle derivate nella ricerca di minimi e massimi.  Definizioni di utilità marginale e produttività marginale.  Integrali definiti.
16. 5/11/2015 – Equivalenza tra le definizioni di integrale definito.  Proprietà degli integrali definiti.  Continuità uniforme. Teorema di Cantor sulla continuità uniforme.
17. 6/11/2015 – Integrali indefiniti. Metodi di integrazione.
18. 11/11/2015 – Vettori, prodotto interno, prodotto per uno scalare. Dipendenza lineare.
19. 12/11/2015 – Spazi vettoriali, sottostai generati, base di uno spazio vettoriale. Teorema di Rouche-Capelli (in forma vettoriale). Teorema di Cramer.
20. 13/11/2015 – Matrici, operazioni tra matrici. Determinante. Regola di Sarrus per il determinante di una matrice 3×3.
21. 18/11/2015 – Teorema di Laplace. Rango di una matrice.
22. 19/11/2015 – Risoluzione di sistemi di equazioni lineari.  Sistemi lineari omogenei.
23. 20/11/2015 – Autovalori, autovettori e autospazi.  Diagonalizzazione.
24. 25/11/2015 – Funzioni reali a più variabili: continuità, derivate parziali.
25. 26/11/2015 – Gradiente, derivate successive, derivate miste e pure, Teorema di Schwarz. Massimi, minimi e punti di sella. Matrice Hessiana.
26. 27/11/2015 – Formula di Taylor.  Resto di Lagrange.
27. 2/12/2015 – Principali leggi finanziarie.
28. 3/12/2015 – Rendite.
29. 4/12/2015 – Ammortamenti.  Valutazione degli investimenti: TAEG, VAN e TIR.

Materiale del corso

• Il testo di riferimento principale è: Paolo Marcellini, Carlo Sbordone. Elementi Di Analisi Matematica 1. Liguori Editore.
• Per la parte di algebra lineare sono consigliate le dispense del prof. Sergio Bianchi disponibili a questo link.
• Per la parte di matematica finanziaria sono consigliate le dispense della prof.ssa Rossana Riccardi disponibili a questo link.

Aspetti pratici

• Docente: Luca Spada

Crediti/ore:

• Durata: 60 ore.
• CFU: 10
• Frequenza: non obbligatoria.

Date/aule:

• Le lezioni cominceranno il 30 settembre.
• Ci sono tre lezioni a settimana:
  1. mercoledì dalle 16:30 alle 18:30, aula SP/3.
  2. giovedì dalle 16:30 alle 18:30, aula 6.
  3. venerdì dalle 8:30 alle 10:30, aula 6.

Esercizi/Esami

• Durante il corso saranno assegnati degli esercizi che possono essere trovati qui sotto.
  1. Esercizi prima settimana.
  2. Esercizi seconda settimana.
  3. Esercizi terza settimana.
  4. Esercizi quarta settimana.
  5. Esercizi sesta settimana.
  6. Esercizi settima settimana. (Fino all’esercizio 6 incluso.  Si usi la definizione di determinante anziché il teorema di Laplace)
  7. Esercizi ottava settimana: quelli nelle dispense sulla risoluzione di sitemi lineari e sul calcolo degli autovettori.

Esame:

• Non ci saranno prove di esonero durante il corso.
• L’esame è scritto, il voto massimo allo scritto è 25.  L’orale è facoltativo e si può fare solo solo dopo aver ottenuto un voto pari o maggiore di 18 allo scritto.
• È necessario presentarsi all’esame con un documento di riconoscimento.
• Non è consentito abbandonare l’aula dell’esame prima di due ore dall’inizio della prova.
• Chi dovesse aver bisogno di allontanarsi dall’aula per usare il bagno, dovrà necessariamente sostenere anche l’esame orale.
• Chi totalizza meno di 10 punti, o chi viene sorpreso a copiare il compito, non potrà sostenere l’esame nell’appello immediatamente successivo.
• All’esame scritto è possibile usare i testi di teoria, le dispense utilizzate durante il corso o formulari, non sono consentiti appunti o libri con esercizi svolti.  Chi non ha il testo può consultare la copia del docente.
• A questi link è possibile trovare due esempi di prove di esame: Esempio esame 1, Esempio esame 2. Più in basso, sono disponibili le tracce degli scorsi appelli.

Appelli d’esame:

• Esame 20-1-2016. Risultati-2016-1-20.
• Esame del 3-2-2016 (con soluzioni). Risultati 3-2-16.
• Esame del 17-2-2016 (con soluzioni). Risultati 17-2-16.
• Esame 08-06-2016 (con soluzioni); Risultati 08-6-16.
• Esame 22-06-2016 (con soluzioni); Risultati 22-6-16.
• Esame 7-07-2016 (con soluzioni); Risultati 7-7-2016.
• Esame 14-09-2016 (con soluzioni); Risultati 14-9-2016.

A(nother) duality for the whole variety of MV-algebras

This is the abstract of a talk I gave in Florence at Beyond 2014.

Given a category C one can form its ind-completion by taking all formal directed colimits of objects in C. The “correct” arrows to consider are then families of some special equivalence classes of arrows in C (Johnstone 1986, V.1.2, pag. 225). The pro-completion is formed dually by taking all formal directed limits. For general reasons, the ind-completion of a category C is dually equivalent to the pro-completion of the dual category C^{\rm op}.

$$\textrm{ind}\mbox{-}C\simeq (\textrm{pro}\mbox{-}(C^{\rm{op}}))^{\rm{op}}.       \qquad\qquad (1)$$

Ind- and pro- completions are very useful objects (as they are closed under directed (co)limits) but cumbersome to use, because of the involved definitions of arrows between objects. We prove that if C is an algebraic category, then the situation considerably simplifies.

If V is any variety of algebras, one can think of any algebra A in V as colimit of finitely presented algebras as follows.

Consider a presentation of A i.e., a cardinal \mu and a congruence [/latex]\theta[/latex] on the free \mu-generated algebra \mathcal{F}(\mu) such that A\cong \mathcal{F}(\mu)/\theta. Now, consider the set F(\theta) of all finitely generated congruences contained in \theta, this gives a directed diagram in which the objects are the finitely presented algebras of the form \mathcal{F}(n)/\theta_{i} where \theta_{i}\in F(\theta) and X_{1},...,X_{n} are the free generators occurring in \theta_{i}. It is straightforward to see that this diagram is directed, for if \mathcal{F}(m)/\theta_{1} and \mathcal{F}(n)/\theta_{2} are in the diagram, then both map into \mathcal{F}(m+n)/\langle\theta_{1}\uplus\theta_{2}\rangle, where \langle\theta_{1}\uplus\theta_{2}\rangle is the congruence generated by the disjoint union of \theta_{1} and \theta_{2}. Now, the colimit of such a diagram is exactly A.

Denoting by V_{\textrm{fp}} the full subcategory of V of finitely presented objects, the above reasoning entails

$$V\simeq\textrm{ind}\mbox{-}V_{\textrm{fp}}.        \qquad\qquad (2)$$

We apply our result to the special case where V is the class of MV-algebras. One can then combine the duality between finitely presented MV-algebras and the category P_{\mathbb{Z}} of rational polyhedra with \mathbb{Z}-maps (see here), with (1)  and (2) to obtain,

$$MV\simeq\textrm{ind}\mbox{-}MV_{\textrm{fp}}\simeq \textrm{pro}\mbox{-}(P_{\mathbb{Z}})^{\rm{op}}.  \qquad\qquad (3)$$

This gives a categorical duality for the whole class of MV-algebras whose geometric content may be more transparent than other dualities in literature. In increasing order of complexity one has that any MV-algebra:

1. is dual to a polyhedron (Finitely presented case);
2. is dual to an intersection of polyhedra (Semisimple case);
3. is dual to a countable nested sequence of polyhedra (Finitely generated case);
4. is dual to the directed limit of a family of polyhedra. (General case).

Here are the slides of this talk

MVL

Course on Many-Valued Logics (Autumn 2014)

Contents of the page

• News
• Contents of the classes
• Course material
• Practicalities
• Grading and homework assignments
• Course Description and Prerequisites

Contents

The course covers the following topics:

• Basic Logic and Monoidal t-norm Logic.
• Substructural logics and residuated lattices.
• Cut elimination and completions.
• Lukasiewicz logic.

More specifically, this is the content of each single class:

• September, 1: Introduction, motivations, t-norms and their residua. Section 2.1 (up to Lemma 2.1.13) of the Course Material 1.
• September, 5: Basic Logic, Residuated lattices, BL-algebras, linearly ordered BL-algebras. Section 2.2 and 2.3 (up to Lemma 2.3.16) of the Course Material 1.
• September, 8: Lindenbaum-Tarski algebra of BL, algebraic completeness. Monodical t-norm logic, MTL-algebras, standard completeness. The rest of Course Material 1 (excluding Section 2.4) and Course Material 2.
• September, 12: Ordinal decomposition of BL-algebras. Mostert and Shield Theorem.  Course Material 3.
• September, 15: Ordinal decomposition of BL-algebras (continued). Algebrizable logics and equivalent algebraic semantics.  Course Material 4.
• September, 19: Algebrizable logics and equivalent algebraic semantics (continued).  Course Material 4.
• September, 22: Algebrizable logics and equivalent algebraic semantics (continued): Leibniz operator and implicit characterisations of algebraizability.  Course Material 4.
• September, 26: Leibniz operator and implicit characterisations of algebraizability (continued).  Course Material 4. Gentzen calculus and the substructural hierarchy. Course Material 5 (to be continued).
• September, 29: Structural quasi-equations and $N_2$ equations. Residuated frames. Course Material 5 (Continued).
• October, 3: Analytic quasi-equations, dual frames, and MacNeille completions. Course Material 5 (Continued).
• October, 9: Atomic conservativity, closing the circle of equivalencies. Course Material 5 (Continued).
• October, 10: Lukasiewicz logic and MV-algebras. Mundici’s equivalence. Course Material 6.
• October, 17: The duality between semisimple MV-algebras and Tychonoff spaces. Course Material 7.

Course material

The material needed during the course can be found below.

• Course material 1
• Course material 2
• Course material 3
• Course material 4
• Course material 5
• Course material 6
• Course material 7
• An example of a possible final exam can be downloaded here.

The homework due during the course can be found below.

• Homework 1 (Deadline 12th September)
• Homework 2 (Deadline 19th September)
• Homework 3 (Deadline 26th September)
• Homework 4 (Deadline 3d October)
• Homework 5 (Deadline 10th October)
• Homework 6 (Deadline 17th October)

Practicalities

Staff

• Lecturer: Luca Spada

Dates/location:

• Classes run from the 1st of September until the 17th of October; there will be 14 classes in total.
• There are two classes weekly.
• Due to the high number of participants classrooms will change weekly, datanose.nl will always be updated with the right classrooms.

Grading and homeworks

• The grading is on the basis of weekly homework assignments, and a written exam at the end of the course.
• The homework assignments will be made available weekly through this page.
• The final grade will be determined for 2/3 by homeworks, and for 1/3 by the final exam.
• In order to pass the course, a score at least 50/100 on the final exam is needed.

More specific information about homework and grading:

• You are allowed to collaborate on the homework exercises, but you need to acknowledge explicitly with whom you have been collaborating, and write the solutions independently.
• Deadlines for submission are strict.
• Homework handed in after the deadline may not be taken into consideration; at the very least, points will be subtracted for late submission.
• In case you think there is a problem with one of the exercises, contact the lecturer immediately.

Course Description

Many-valued logics are logical systems in which the truth values may be more than just “absolutely true” and “absolutely false”. This simple loosening opens the door to a large number of possible formalisms. The main methods of investigation are algebraic, although in the recent years the proof theory of many-valued logics has had a remarkable development.

This course will address a number of questions regarding classification, expressivity, and algebraic aspects of many-valued logics. Algebraic structures as Monoidal t-norm based algebras, MV-algebras, and residuated lattices will be introduced and studied during the course.

The course will cover seclected chapters of the following books.

• P. Hájek, ‘Metamathematics of Fuzzy Logic‘, Trends in Logic, Vol. 4 Springer, 1998.
• P. Cintula, P. Hájek, C. Noguera (Editors). ‘Handbook of Mathematical Fuzzy Logic‘ – Volume 1 and 2. Volumes 37 and 38 of Studies in Logic, Mathematical Logic and Foundations. College Publications, London, 2011
• R. L. O. Cignoli, I. M. L. D’Ottaviano e D. Mundici, ‘Algebraic Foundations of Many-Valued Reasoning‘, Trends in Logic, Vol. 7 Springer, 2000
• D. Mundici. ‘Advanced Lukasiewicz calculus and MV-algebras‘, Trends in Logic, Vol. 35 Springer, 2011.

Prerequisites

It is assumed that students entering this class possess

• Some mathematical maturity.
• Familiarity with the basic theory of propositional and first order (classical) logic.

Basic knowledge of general algebra, topology and category theory will be handy but not necessary.

Course on Many-Valued Logic at ILLC

Starting form the 1st of September 2014, I will teach a course on Many-Valued Logics at the University of Amsterdam.  The webpage with all the details can be found here.