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PhD course on lattice-ordered groups and polyhedral geometry (Spring 2024)

Introduction

The course is an introduction to the theory of abelian lattice-ordered groups from different perspectives. Initially, we study these structures with purely algebraic methods. We will analyse some important theorems and connections with other parts of mathematics, such as AF C*-algebras. Later we will move on to their geometric study, through the Baker-Beynon duality. It will be seen that, just as the commutative rings provide an algebraic counterpart for the study of affine manifolds with polynomial maps, lattice-ordered groups represent the algebraic counterpart of the polyhedral cones and piece-wise linear homogenous maps between them.

Course topics

• Abelian lattice-ordered groups: definition and examples.
• Representation results.
• Archimedeanity and strong (order) unit.
• Free and finitely presented abelian l-groups.
• Baker&Beynon duality.
• Mundici’s functor.
• MV-algebras.
• Polyhedral geometry.

Lecture by lecture topics

• 19 March – Introduction to the course, overview of the contents, basic definitions and first properties. Lecture notes.
• 22 March – Examples, l-homomorphisms and l-ideals. Lecture notes.
• 26 March – Congruences and l-ideals. Prime l-ideals. Subdirect representation by linearly ordered l-groups. Lecture notes.
• 27 March – Lexicographic products, Archimedean l-groups, Hölder theorem, Weinberg theorem. Lecture notes.
• 4 April – General affine adjunctions. Example: Stone duality. Lecture notes.
• 5 April – Unital l-groups, MV-algebras, a geometric duality for semi-simple MV-algebras. Lecture notes.
• 9 April – Baker-Beynon duality Archimedean for l-groups. Lecture notes.
• 11 April – Beyond Baker-Beynon duality: the duality for the whole class of l-groups. Luca Carai’s Slides.
• 16 April – Polyhedral geometry: triangulations and unimodular triangulations. Lecture notes.
• 18 April – Finitely generated projective l-groups. Yosida duality. Lecture notes.

Course material

• Bigard, A., Keimel, K., & Wolfenstein, S. (2006). Groupes et anneaux réticulés (Vol. 608). Springer.
• Anderson, M. E., & Feil, T. H. (2012). Lattice-ordered groups: an introduction (Vol. 4). Springer Science & Business Media.
• Goodearl, K. R. (2010). Partially ordered abelian groups with interpolation (No. 20). American Mathematical Soc.
• Glass, A. M. W. (1999). Partially ordered groups (Vol. 7). World Scientific.
• Cignoli R., D’Ottaviano I. M. L., Mundici D. (2000) Algebraic Foundations of many-valued Reasoning, Trends in Logic, Vol. 7, Kluwer Academic Publishers.
• Mundici, D. (2011). Advanced Łukasiewicz calculus and MV-algebras, Trends in Logic, Vol. 35 Springer.

Practical aspects

Term and schedule

Lecturer: Luca Spada
Course duration: 20 hours.
Course calendar: Lectures will all take place in room P18 from 9:30 to 11:30 in the following days: 19 March, 22 March, 26 March, 27 March, 4 April, 5 April, 9 April, 11 April, 16 April, 18 April.

Exam

You can choose to take the final exam in one of the following ways:

• A short oral interview (about 30 minutes) in which the knowledge acquired on the basic and more advanced concepts will be evaluated.
• The presentation of a topic agreed with the teacher and not covered in the course, in the form of a short seminar also open to other doctoral students lasting about 30 minutes.
• Solving some exercises at home.

Corso di Logica Matematica (2022/23)

News

Descrizione del corso

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e teoria degli insiemi.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

• Sintassi della logica proposizionale.
• Deduzione naturale per la logica proposizionale.
• Semantica della logica proposizionale.
• Algebre di Boole.
• Teorema di completezza della logica proposizionale.
• Sintassi della logica del prim’ordine.
• Semantica della logica del prim’ordine.
• Teorema di completezza per la logica del prim’ordine.
• Ultraprodotti.
• Limiti dei linguaggi del prim’ordine.
• Teorema di compattezza per la logica del prim’ordine.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:

1. 26/09/2022 – Introduzione al corso. Il ragionamento logico e le sue regole.
2. 28/09/2022 – Il linguaggio della logica proposizionale. Tavole di verità.
3. 03/10/2022 – Conseguenza logica, insiemi soddisfacibili e loro prime proprietà.
4. 05/10/2022 – Il teorema di compattezza della logica preposizionale e una sua applicazione.
5. 10/10/2022 – Introduzione alla deduzione naturale.
6. 12/10/2022 – Derivabilità e insiemi coerenti di formule.
7. 17/10/2022 – Completezza della logica proposizionale.
8. 19/10/2022 – Introduzione alle algebre di Boole: ordini parziali e reticolari.
9. 24/10/2022 – Omomorfismi e sottalgebre.
10. 26/10/2022 – Filtri e ultrafiltri.
11. 31/10/2022 – Non ci sarà lezione.
12. 02/11/2022 – Il teorema di rappresentazione di Stone.
13. 07/11/2022 – Sintassi della logica del prim’ordine.
14. 09/11/2022 – Semantica della logica del prim’ordine.
15. 14/11/2022 – Conseguenza logica, forme normali prenesse, regole di deduzione per i quantificato.
16. 16/11/2022 – Il teorema di adeguatezza.
17. 21/11/2022 – Il lemma di esistenza del modello e il teorema di completezza.
18. 23/11/2022 – Il teorema di Löwenheim-Skolem all’ingiù.
19. 28/11/2022 – Il teorema di Löwenheim-Skolem all’insù e sue conseguenze.
20. 30/11/2022 – Ultraprodotti e Teorema di Łoš. Dimostrazione diretta del Teorema di Compattezza.
21. 05/12/2022 – Algebre di Boole liberamente generate.
22. 07/12/2022 – Algebre di Lindenbaum-Tarski.
23. 12/12/2022 – Il teorema di completezza algebrica.
24. 14/12/2022 – Tutorato.
25. 19/12/2022 – (un’ora) Altre applicazioni degli ultrafiltri.

Materiale del corso

• Testi consigliati:
  • Dirk van Dalen. Logic and Structure. Springer 1994.
  • Elliott Mendelson. Introduzione alla logica matematica. Bollati Boringhieri 1977.
  • J. L. Bell, A. B. Slomson. Models and Ultraproducts: An Introduction. Dover 2006.
• Dispense: Dispense-6.4
  • Attenzione: le dispense potrebbero subire degli aggiornamenti minori.  Tutte le versioni saranno disponibili su questo sito per fare confronti.  Una lista dei cambiamenti principali sarà inclusa nel testo.
  • Per segnalare errori per piacere inviare un’email a Luca Spada.

Aspetti pratici

• Docente: Luca Spada
• Tutor: Marco Abbadini (il tutorato incomincerà giovedì 6 ottobre).

Crediti/ore:

• Durata: 56 ore (11 settimane).
• CFU: 7

Date/aule:

• Le lezioni cominceranno lunedì 26 settembre.
• Ci sono due lezioni a settimana:
  • lunedì dalle 11:15 alle 13:45, aula P1.
  • mercoledì dalle 09:15 alle 10:45, aula P1.

Esercizi/Esami

Esame:

• L’esame per questo corso è solo orale. È possibile sostenere l’esame in qualsiasi momento contattando il docente circa una settimana prima.

L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso.  Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente.  In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi).  Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).

Appelli d’esame

• 9 gennaio 2023 ore 9:00 aula F6 edificio F2.
• 15 febbraio 2023 ore 9:00 aula F6 edificio F2.

Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada

Corso di Fondamenti della Matematica (2022/23)

News

Descrizione del corso

La matematica vista nei primi anni di studi universitari include la geometria, l’algebra, l’analisi, la combinatoria, la probabilità. Nello studiare queste branche della matematica alcune domande sorgono quasi spontanee: cos’è in generale la matematica? Cosa è un sistema formale? È possibile costruire una teoria matematica che contenga tutte le altre? E se sì, quali sono i suoi assiomi? Quali sono le uniche cose che dobbiamo assumere vere affinché tutto il resto della matematica ne sia una conseguenza?

Queste domande ne fanno scaturire immediatamente altre. Se tutta la matematica può essere vista come un’unica grandissima teoria. Fin dove arriva questa? Quali sono i suoi limiti? È possibile dimostrare tutto ciò che è vero?

Nel corso degli anni in matematica sono state sviluppare tecniche sempre più sofisticate, ragionamenti sempre più complessi e costruzioni sempre più ardite. Da ciò sono nati risultati inaspettati, a volte così tanto da sembrare falsi. Come si può essere sicuri che alla fine i teoremi dimostrati finora non portino a contraddizione? Esistono delle fondamenta sicure per la matematica? Su cosa fonda la matematica?

Ad esempio, tutti gli studenti di matematica sanno che esistono vari livelli di infinito e che a volte le proprietà di questi infiniti sono contro intuitive. Come si può fare a sapere che questa idea di infinito è quella corretta? Come si può essere sicuri che i ragionamenti portati avanti in teorie matematiche che coinvolgono infinità di numeri, infinità di funzioni, infinità di spazi, alla fine siano corretti?

Molte di queste domande sono state oggetto di approfondita ricerca da parte di un grande matematico del 900: David Hilbert. Egli si chiese se tutto il processo della scoperta di nuove teorie e nuovi teoremi potesse in qualche modo essere meccanizzato. Queste domande portarono Hilbert a cambiare l’idea stessa della matematica per trasformarla in quello che studiamo oggi. Ma, mentre il più grande matematico del 900 mette in piedi questo enorme programma di ricerca, un giovane viennese di 24 anni, con la sua tesi di dottorato, distrugge completamente il programma dando risposta a molte delle domande viste prima. È sorprendente pensare che le risposte a queste domande possano essere teoremi matematici, piuttosto che speculazioni filosofiche.

In questo corso analizzeremo queste domande, le formalizzeremo e vedremo quali risposte sono state proposte.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

• Il metodo assiomatico.
• Esempi di metodi assiomatici.
• Coerenza, Completezza, Categoricità e Indipendenza.
• Il Programma di Hilbert.
• Cenni sui teoremi di Gödel.
• La Teoria di Zermelo-Fraenkel.
• Assioma della scelta e alcune sue conseguenze importanti.
• Ordinali e Cardinali.

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni.

1. 22/09/2022 – Introduzione al corso. “Le flogghe che scorpano“.
2. 23/09/2022 – Sistemi assiomatici: termini indefiniti, logici e universali. Un altro esempio.
3. 29/09/2022 – Teoremi e modelli del sistema assiomatico Λ. Coerenza di un sistema di assiomi.
4. 30/09/2022 – Indipendenza e completezza di un sistema assiomatico.
5. 06/10/2022 – Cenni storici sulla crisi dei fondamenti.
6. 07/10/2022 – L’antinomia di Russell e il programma di Hilbert. Il concetto di funzione computabile.
7. 13/10/2022 – Funzioni parziali ricorsive.
8. 14/10/2022 – Insiemi ricorsivi e insiemi ricorsivamente enumerabili.
9. 20/10/2022 – Macchine di Turing.
10. 21/10/2022 – L’insieme dell’arresto. I teoremi di incompletezza di Gödel.
11. 27/10/2022 – I primi assiomi di ZF e loro conseguenze
12. 28/10/2022 – Gli altri assiomi di ZF, i numeri naturali in ZF
13. 03/11/2022 – Insiemi ben ordinati e segmenti iniziali
14. 04/11/2022 – Isomorfismi tra insiemi ben ordinati
15. 10/11/2022 – Il teorema di Tricotomia
16. 11/11/2022 – Gli insiemi ordinali
17. 17/11/2022 – La classe On è ben ordinata e transitiva.
18. 18/11/2022 – Il principio di induzione transfinita. Funzioni definite per ricorsione transfinita.
19. 24/11/2022 – Come uccidere un’Idra. Il Teorema di Goldstein.
20. 25/11/2022 – Gli insiemi cardinali. Il teorema di Cantor-Bernstein.
21. 01/12/2022 – La biezione canonica tra On^2 e On.
22. 02/12/2022  – Formulazioni equivalenti dell’Assioma della Scelta.
23. 09/12/2022 – Non ci sarà lezione.
24. 15/12/2022  – L’universo degli insiemi.
25. 16/12/2022  – L’universo dei costruibili.

Materiale del corso

• Testi consigliati:
  • M. Borga, D. Palladino, Oltre il mito della crisi: fondamenti e filosofia della matematica del XX secolo. Editrice La Scuola.
  • G. Lolli, Tavoli, sedie e boccali di birra: David Hilbert e la matematica del Novecento. Raffaello Cortina Editore.
  • S. Leonesi, C. Toffalori. Matematica, Miracoli e Paradossi. Storie di Cardinali da Cantor a Gödel (2007) Mondadori.
  • G. Gerla, Dagli Insiemi alla Logica Matematica. Tentativi di Fondare la Matematica, Volume I e II. Ilmiolibro.it.

Le dispense e altro materiale riguardante il corso sarà messo a disposizione tramite Teams. Seguire questo link per iscriversi.

Aspetti pratici

• Docenti: Luca Spada

Crediti/ore:

• Durata: 48 ore (12 settimane).
• CFU: 6

Date/aule:

• Le lezioni cominceranno giovedì 22 settembre.
• Ci sono due lezioni a settimana:
  • giovedì dalle 09:15 alle 10:45, Laboratorio L11.
  • venerdì dalle 09:15 alle 10:45, Laboratorio L11.

Esercizi/Esami

Esame:

• L’esame per questo corso è solo orale. È possibile sostenere l’esame in qualunque momento prendendo preventivamente appuntamento con il docente (circa una settimana prima)

Appelli d’esame:

• 11 gennaio 2023 ore 9:00 aula F6 edificio F2.
• 16 febbraio 2023 ore 9:00 aula F6 edificio F2.

Corso di Algebra Universale (2021/22)

News

(9/5/22) Pubblicate le date degli appelli estivi e invernale.

Descrizione del corso

Nei corsi di algebra dei primi anni si incontrano vari tipi di strutture: gruppi, anelli, campi, spazi vettoriali, etc.  Molte tecniche utilizzate per il loto studio si rassomiglano e ci sono teoremi che si ripetono (es. teoremi di isomorfismo) cambiando di poco il linguaggio. 

Gruppi, anelli, etc. vengono studiati approfonditamente per la loro importanza storica e perché sono onnipresenti in matematica. Ma ci sono molte altre strutture che sono interessanti per via delle loro applicazioni: reticoli, monoidi, semianelli, etc. A dire il vero ci sono centinaia di strutture algebriche attualmente studiate per via delle loro applicazioni in informatica, fisica, economia, etc.

Ci si può ragionevolmente domandare se ogni volta che si scopre qualche struttura di interesse bisogna ricominciare tutto da capo o se è possibile esportare tecniche e costruzioni da altre strutture simili. O, in maniera molto più ambiziosa, ci si può chiedere se esistano teoremi che riguardino TUTTE le strutture, che in qualche modo ne permettano la classificazione, suggeriscano le proprietà essenziali da studiare o possano dare immediatamente  informazioni cruciali su strutture algebriche che mai incontrate prima. 

La risposta a questa domanda è estremamente positiva. Da questa domanda si è sviluppata la branca della matematica che va sotto il nome di algebra universale. È una branca relativamente nuova, con un numero sorprendente di risultati. Il suo studio porta a una visione ampia,  matura e profonda dell’algebra. Si riescono a mettere a fuoco chiaramente quali sono gli aspetti che le strutture hanno in comune, quali sono i punti chiave che fanno funzionare le teorie, quali sono le direzioni in cui cercare per ottenere nuovi teoremi.

Per dare un esempio dei risultati potenti e inaspettati che è possibile incontrare, si pensi che esistono classificazioni che permettono di stabilire se una data classe di strutture è chiusa rispetto a operazioni standard come immagini omomorfe, sottoalgebre o prodotti esclusivamente in base alla forma sintattica degli assiomi che la definiscono.  Ad esempio il teorema di Birkhoff afferma che una classe di strutture è chiusa rispetto a immagini omomorfe, sottoalgebre o prodotti se e soltanto se essa può essere definita tramite equazioni.

Prerequisiti

È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e di logica.

Frequenza

La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

Contenuti

Il corso coprirà i seguenti argomenti:

• Sottoalgebre, Omomorfismi e Congruenze.
• Richiami di Teoria dei Reticoli
• Prodotti Diretti e Prodotti Sottodiretti.
• Limiti Diretti e Limiti Inversi di Sistemi di Algebre.
• Classi Equazionali
• Polinomi e Algebre Polinomiali.
• Algebre Libere.
• Teorema HSP
• Mal’cev Type Theorems
• Problema della parola

Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:

1. 02/03/2022 – Introduzione al corso. Definizione ed esempi di algebre.
2. 04/03/2022 – Omomorfismi, sottalgebre e prodotti diretti. Gli operatori H, S e P.
3. 09/03/2022 – Sottalgebre generate, operatori di chiusura, congruenze.
4. 11/03/2022 – Il teorema fondamentale degli omomorfismi.
5. 16/03/2022 – Reticoli, prime definizioni ed esempi. Immagini dirette e immagini inverse.
6. 18/03/2022 – Il secondo teorema di isomorfismo.
7. 23/03/2022 – Il terzo teorema di isomorfismo.
8. 25/03/2022 – Prodotti diretti e sottodiretti.
9. 30/03/2022 – Non ci sarà lezione.
10. 1/04/2022 – Non ci sarà lezione.
11. 6/04/2022 – Algebre sottodirettamente irriducibili. Teorema di rappresentazione sottodiretta. V=HSP.
12. 8/04/2022 – Reticoli algebrici e operatori di chiusura algebrici.
13. 13/04/2022 – Caratterizzazione di Sub(A) come reticolo algebrico. Connessioni di Galois.
14. 15/04/2022 – Connessioni di Galois. Algebre di Boole sottodirettamente irriducibili.
15. 20/04/2022 – Termini.
16. 22/04/2022 – Algebre libere: costruzione e proprietà
17. 27/04/2022 – Equazioni.
18. 29/04/2022 – Teorema di Birkhoff.
19. 04/05/2022 – Varietà a congruenze distributive e a congruenze permutabili. Condizioni di Malcev.
20. 06/05/2022 – Algebre finitamente presentate e problema della parola.
21. 11/05/2022 – Proprietà dell’immersione finita (FEP) e sue varianti.
22. 13/05/2022 – Proprietà del modello finito, proprietà forte del modello finito e FEP.
23. 18/05/2022 – Algebre liberamente generate da algebre parziali.
24. 20/05/2022 – Finitezza residuale.
25. 25/05/2022 – Il problema della parola e sue relazioni con SFMP, FEP e finitezza residuale.
26. 27/05/2022 – Seminari.

Materiale del corso

• Testi consigliati:
  • Clifford Bergman. Universal Algebra: fundamental and selected topics. CRC press. 2011
  • S. Burris, H. P. Sankappanavar. A course on universal algebra. Disponibile gratuitamente online.
  • Dispense del docente rese disponibili settimanalmente.

Aspetti pratici

• Docente: Luca Spada
• Semestre: secondo.
• Link Teams
• Durata: 48 ore (12 settimane).
• CFU: 6

Date/aule:

• Le lezioni cominceranno mercoledì 3 marzo su Microsoft Teams.
• Ci sono due lezioni a settimana:
  • mercoledì dalle 9:30 alle 11:00,in presenza, laboratorio 11, Dipartimento di Matematica.
  • venerdì dalle 14:00 alle 15:30, online su Teams.

Esercizi/Esami

Esame:

• L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.

L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso.  Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso e di averli compresi, mostrando di sapere costruire esempi in maniera indipendente.  In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi).  Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).

Appelli d’esame:

• Appelli estivi:
  1. 8 giugno ore 15:00 aula P11.
  2. 30 giugno ore 15:00 aula P11.
• Appello autunnale:
  1. 1 settembre ore 15:00 aula P11.

Commenti, lamentele, domande: scrivere a Luca Spada

Teoria delle categorie (Corso di dottorato 2021/22)

Introduzione

La teoria delle categorie è un linguaggio moderno, molto diverso da quello della teoria degli insiemi, in cui può essere formalizzata la matematica.  Mentre il linguaggio degli insiemi ha come concetto fondamentale quello di appartenenza, il linguaggio della teoria delle categorie è incentrato sul concetto di trasformazione. Questo piccolo cambiamento iniziale ha ripercussioni enormi sulle intuizioni che guidano i ragionamenti matematici.  Spesso, riformulare un problema in termini categoriali offre una prospettiva completamente diversa su di esso e aiuta a distinguere la parte “generale” di un problema dal quella più specifica.
Una buona parte della matematica contemporanea è espressa esclusivamente nel linguaggio della teoria delle categorie. Inoltre la teoria delle categorie si presta anche allo studio della fisica dove, ad esempio, le fusion categories e le categorie di moduli emergono nello studio degli stati topologici della materia nella fisica dello stato solido (si veda ad esempio qui o questo articolo).

Argomenti del corso

• Categorie, proprietà universali, funtori.
• Trasformazioni naturali, funtori aggiunti ed equivalenze categoriali.
• Dualità concrete.
• Lemma di Yoneda.
• Sheaf e topos.
• Monadi.

Argomenti delle lezioni

• 24/02/2022 – Introduzione al corso, definizione di categoria, frecce mono, epi e iso
• 25/02/2022 – Oggetti terminali e iniziali. Equalizzatori e co-equalizzatori. Prodotti e co-coprodotti. Esempi.
• 03/03/2022 – Pullback e pushout. Categorie comma. Funtori.
• 04/03/2022 – Trasformazioni naturali. Il lemma di Yoneda. L’immersione di Yoneda.
• 10/03/2022 – Aggiunzioni.
• 11/03/2022 – Ancora su aggiunzioni e loro esempi.
• 17/03/2022 – Le dualità di Stone, Gel’fand e Pontryagin.
• 18/03/2022 – Dualità concrete e aggiunzioni affini.

Materiale del corso

• Harold Simmons. An introduction to category theory. Cambridge University Press, 2011. (Disponibile gratuitamente qui)
• Robert Goldblatt Topoi: The Categorial Analysis of Logic, Dover Publications 2006. (Disponibile gratuitamente qui)
• Saunders Mac Lane. Categories for the Working Mathematician (Seconda edizione). Springer. 1988. (Disponibile gratuitamente qui)

Aspetti pratici

Docente: Luca Spada
Durata del corso: 20 ore.

Esame

È possibile scegliere di sostenere l’esame finale in uno dei seguenti modi:

• Un breve colloquio orale (circa 30 minuti) in cui saranno valutate le conoscenze acquisite in merito ai concetti di base e a quelli più avanzati della teoria delle categorie.
• L’esposizione di un argomento concordato con il docente e non trattato nel corso, nella forma di un breve seminario aperto anche agli altri dottorandi della durata di circa 45 minuti.
• La risoluzione a casa di alcuni esercizi.

Orario

• Giovedì 9:30 – 12:30 – Sala riunioni DipMat
• Venerdì 9:30 – 11:30 – Sala riunioni DipMat