An introduction to Topos Theory (Phd course 2018/19)
This year I will teach an introduttive course on Topos Theory.
Topos theory has many different aspects. On the one hand, a topos is a generalisation of a topological space. On the other hand, every topos can be thought of as a mathematical universe in which one can do mathematics. In fact, there is a duality between Grothendieck topoi and certain first-order theories of logic, called geometric theories. Topos theory grew out of the observation that the category of sheaves over a fixed topological space forms a universe of “continuously variable sets” which obeys the laws of intuitionistic logic. After recalling some basic notions in Category Theory such as functors, natural transformations, limits and adjunctions, we will examine categories of presheaves and their fundamental properties, Grothendieck sites and sheaves and the notion of elementary topos. Applications to logic will be treated.
The (tentative) course calendar is as follows:
- Tuesday, 7 May 2019, 15:00 (Aula P18, DipMat). Introduction to the course. Categories, functors, natural transformations, adjoint functors and equivalences. A motivation for considering sheaves: dualities.
- Wednesday, 8 May 2019, 15:30 (Sala Riunioni, DipMat). The category of \mathcal{C}-sets and six examples. Representable \mathcal{C}-sets and their computation in the examples.
- Tuesday, 14 May 2019, 15:00 (Sala Riunioni, DipMat). Products, coproducts and other limits and colimits in the category of \mathcal{C}-sets, with their calculation in the six examples. Yoneda lemma and Yoneda embedding.
- Wednesday, 15 May 2019, 15:30 (Sala Riunioni, DipMat). Every \mathcal{C}-set is a colimit of representable C-sets. Intrinsic properties of representable objects: connectivity, irreducibility and continuity. Sections, retractions and idempotents.
- Tuesday, 21 May 2019, 15:30 (Sala Riunioni, DipMat). The equivalence between the Cauchy completion of \mathcal{C} and the full subcategory of continuous objects in Sets^{\mathcal{C}^{op}}.
- Wednesday, 22 May 2019, 16:00 (Sala Riunioni, DipMat) Exponentials and Subobject classifiers, with examples.
Tuesday, 28 May 2019, 15:00(Sala Riunioni, DipMat)There will not be lectures this week.Wednesday, 29 May 2019, 15:30(Sala Riunioni, DipMat)There will not be lectures this week.- Tuesday, 4 June 2019, 15:00 (Sala Riunioni, DipMat) Frames and point-free geometry. The algebraic structure of the subobject classifier.
- Wednesday, 5 June 2019, 15:30 (Sala Riunioni, DipMat) The interpretation of geometric logic in a topos. The internal logic of a topos.
- Tuesday, 11 June 2019, 15:00 (Sala Riunioni, DipMat) Geometric functors. Grothendieck topoi.
- Wednesday, 12 June 2019, 15:30 (Sala Riunioni, DipMat) Classifying topoi.
The references for the course are:
- F. William Lawvere and Steve Schanuel, Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories, Cambridge U. Press, Cambridge, 1997.
- Reyes, Reyes, Zolfaghari – Generic figures and their glueings. Polimetrica, 2008.
- MacLane, Saunders, Moerdijk, Ieke. Sheaves in Geometry and Logic. A First Introduction to Topos Theory. Springer Universitext, 1994.
- Robert Goldblatt, Topoi, the Categorial Analysis of Logic. Dover Revised edition, 2006.
- Peter Johnstone, Sketches of an Elephant: a Topos Theory Compendium, Oxford U. Press, Oxford. Volume 1 (2002), Volume 2, (2002), Volume 3 (in preparation).
PhD Course, Category Theory (May-June 2018)
Contents of the page
Announcements
Topics of the course
- Categories, universal properties, functors.
- Natural transformations, adjoint functors and categorical equivalences.
- Concrete dualities.
- Yoneda Lemma.
- Sheaves and topoi.
Course material
- Harold Simmons. An Introduction to Category Theory. Cambridge University Press, 2011.
- Robert Goldblatt Topoi: The Categorial Analysis of Logic, Dover Publications 2006.
- Saunders Mac Lane. Categories for the Working Mathematician (Second edition). Springer. 1988.
Practicalities
- Lecturer: Luca Spada
- Duration of the course: 20 hours.
Preliminary programme
- Friday 18 May 2018, from 11:00 to 13:00;
- Monday 21 May 2018, from 9:00 to 11:00;
- Wednesday 23 May 2018, from 9:00 to 11:00;
- Friday 25 May 2018, from 9:00 to 11:00;
- Monday 4 June 2018, from 15:00 to 17:00;
- Wednesday, June 6, 2018, from 9:00 to 11:00;
- Friday 8 June 2018, from 9:00 to 11:00;
- Thursday 21 June 2018, from 9:00 to 11:00;
- Monday 9 July 2018, from 15:00 to 17:00;
- Wednesday 11 July 2018, from 9:00 to 11:00;
Corso di Logica Matematica 1 (2017/18)
News
Attenzione: su richiesta degli studenti l’Help Teaching è stato spostato a settembre 2018. Il calendario è disponibile più in basso.
Descrizione del corso
Prerequisiti
È richiesta familiarità con gli argomenti di base di algebra e teoria degli insiemi.
Frequenza
La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.
Contenuti
Il corso coprirà i seguenti argomenti:
- Sintassi della logica proposizionale.
- Deduzione naturale per la logica proposizionale.
- Semantica della logica proposizionale.
- Algebre di Boole.
- Teorema di completezza della logica proposizionale.
- Sintassi della logica del prim’ordine.
- Semantica della logica del prim’ordine.
- Teoremi di completezza e compattezza per la logica del prim’ordine.
- Limiti dei linguaggi del prim’ordine.
Più dettagliatamente, qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:
- 4/10/2017 – Introduzione al corso, tavole di verità.
- 5/10/2017 – Valutazioni, tautologie, conseguenza logica, equivalenza logica.
- 11/10/2017 – Completezza funzionale dei connettivi negazione e congiunzione. Forme normali congiuntive e disgiuntive. Teorema di compattezza. Un’applicazione ai grafi del teorema di compattezza.
- 12/10/2017 – Deduzione naturale.
- 18/10/2017 – Teorema di completezza.
- 19/10/2017 – Algebre di Boole: definizione e prime proprietà.
- 25/10/2017 – Algebre di Boole: omomorfismi, kernel e sottoalgebre.
- 26/10/2017 – Algebre di Boole: teorema di omomorfismo, algebre libere.
- 1/11/2017 – Non ci sarà lezione.
- 2/11/2017 – Non ci sarà lezione.
- 8/11/2017 – Algebre di Boole: filtri e filtri massimali.
- 9/11/2017 – Teorema di rappresentazione di Stone.
- 15/11/2017 – Completezza algebrica della logica proposizionale.
- 16/11/2017 – Completezza algebrica della logica proposizionale.
- 22/11/2017 – Introduzione alla logica del primo ordine.
- 23/11/2017 – Sintassi e semantica della logica del prim’ordine. Prime proprietà.
- 29/11/2017 – Deduzione naturale al prim’ordine.
- 30/11/2017 – Verso la completezza della logica del prim’ordine.
- 6/12/2017 – Non ci sarà lezione.
- 7/12/2017 – Non ci sarà lezione.
- 13/12/2017 – La completezza della logica del prim’ordine. Teorema di compattezza e applicazioni.
- 14/12/2017 – Ultraprodotti e ultrapotenze.
- 20/12/2017 – Dimostrazione del teorema di compattezza tramite gli ultraprodotti.
- 21/12/2017 – Non ci sarà lezione.
- 22/01/2018 – Seminari (ore 10, aula da definire).
Materiale del corso
- Dispense:
File.- Per segnalare errori per piacere inviare un’email a Luca Spada.
Aspetti pratici
- Docente: Luca Spada
Crediti/ore:
- Durata: 56 ore (11 settimane).
- CFU: 7
Date/aule:
- Le lezioni cominceranno il 4 di ottobre.
- Ci sono due lezioni a settimana:
- mercoledì dalle 11:00 alle 14:00,
- giovedì dalle 12:30 alle 14:00.
Esercizi/Esami
Help Teaching:
Docente: Gaetano Vitale.
L’Help Teaching comincerà a settembre 2018, il calendario è il seguente:
- 03 settembre ore 8:30-12:30, Aula P19.
- 04 settembre ore 9:00-12:00, Aula P19.
- 05 settembre ore 9:00-12:00, Aula P19.
- 06 settembre ore 9:00-12:00, Aula P19.
- 07 settembre ore 9:00-12:00, Aula P19.
- 10 settembre ore9:00-12:00, Aula P19.
Esame:
- L’esame per questo corso è solo orale. Per sostenere l’esame contattare il docente.
Appelli d’esame:
- Primo appello invernale
- 24 gennaio 2018.
- Secondo appello invernale
- 7 febbraio 2018.
- Appello straordinario.
- 11 aprile 2018.
- Primo appello estivo.
- 20 giugno 2018.
- Secondo appello estivo.
- 18 luglio 2018.
- Terzo appello estivo.
- 19 settembre 2018.
- Appello straordinario.
- 21 novembre 2018.
Corso di Matematica I per Scienze Ambientali (2017/18)
Contenuti della pagina
News
Attenzione la lezione del Help Teaching del 25 giugno è rinviata al 26 giugno ore 9,00 – 12,00 aula P21.
Fissate ulteriori date dell’Help Teaching per maggio 2018. Maggiori informazioni più sotto.
Inizio dell’Help Teaching: mercoledì 31 gennaio. Maggiori informazioni più sotto.
Dal 19 febbraio al 30 aprile il prof. Spada sarà fuori sede.
Descrizione del corso
Prerequisiti
È richiesta familiarità con gli argomenti di base di matematica trattati nei corsi di scuola media superiore. In particolare, sono richieste competenze elementari di algebra (risoluzione di equazioni e disequazioni di primo e secondo grado) e di geometria euclidea.
Contenuti
Il corso coprirà i seguenti argomenti:
- Algebra lineare.
- Funzioni reali a una variabile: continuità e derivate, studio di funzione.
Durante il corso qui sotto saranno elencati i contenuti delle singole lezioni:
- 04/10/2017 – Introduzione al corso, elementi di logica e di teoria degli insiemi.
- 06/10/2017 – Relazioni e funzioni. Dominio di funzione. Funzioni iniettive, suriettive, biettive, monotone. Funzioni inverse.
- 11/10/2017 – Funzioni elementari: potenze, radici, esponenziali, logaritmiche.
- 13/10/2017 – Funzioni trigonometriche.
- 18/10/2017 – Disequazioni algebriche, irrazionali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche.
- 20/10/2017 – Definizione di successione. Successioni convergenti, divergenti e regolari.
- 25/10/2017 – Esempi di successioni. Teorema delle successioni monotone. Successioni definite per ricorrenza.
- 27/10/2017 – Limiti di funzioni.
- 1/11/2017 – Ognissanti.
- 3/11/2017 – Limiti destro e sinistro. Funzioni continue.
- 8/11/2017 – Derivate: definizione e formule per il loro calcolo.
- 10/11/2017 – Applicazioni delle derivate: ricerca di massimi e minimi. Studio del grafico di funzione.
- 15/11/2017 – Applicazioni delle derivate: minimizzazione e massimizzazione.
- 17/11/2017 – Derivate seconde: concavità e convessità. Formula di Taylor.
- 22/11/2017 – Vettori e operazioni tra di essi.
- 24/11/2017 – Spazi vettoriali e loro dimensione, trasformazioni lineari, matrici.
- 29/11/2017 – Teorema di Rouché-Capelli. Metodo di Cramer per la risoluzione di sitemi lineari.
- 01/12/2017 – Calcolo del determinante e del rango di una matrice. Sistemi omogenei.
- 06/12/2017 – Non c’è lezione.
- 08/12/2017 – Immacolata.
- 13/12/2017 – Diagonalizzazione di una matrice: autovalori e autovettori.
- 15/12/2017 – Cenni di matematica combinatoria.
Materiale del corso
- Il testo di riferimento principale è Carlo Sbordone, Francesco Sbordone. Matematica per le Scienze della Vita. Edises 2014.
- Per gli approfondimenti di algebra lineare (risoluzione di sistemi lineari e diagonalizzazione) possono essere usate le dispense del prof. Sergio Bianchi disponibili qui: Dispense algebra lineare
- Per gli approfondimenti di calcolo combinatorio possono essere usate le dispense del prof. Giuseppe Anichini disponibili qui: Dispense calcolo combinatorio
- Per gli studenti immatricolati fino al 2015/16 del corso di laurea in VCA: Programma di Matematica I e II (6+6 CFU) e di Matematica (12 CFU)
Aspetti pratici
- Docente: Luca Spada
- Tutor: Federica Di Stefano
- OFA (ottobre): Cristina Ripoli
Crediti/ore:
- Durata: 48 ore (10 settimane) + 22 ore di tutorato.
- CFU: 6
- Frequenza: non obbligatoria, ma fortemente consigliata.
Date/aule:
- Ci sono due lezioni a settimana:
- mercoledì 14:00 — 17:00. Aula F7
- venerdì 12:00 — 14:00. Aula F7
- Un tutorato a settimana (a partire dal 19 ottobre):
- giovedì 16:00 — 18:00. Aula F7.
- Due lezioni OFA a settimana (a partire dal 16 ottobre):
- lunedì 14:30 — 17:00. Aula P 10.
- martedì 14:30 — 17:00. Aula P 10.
Esercizi/Esami
Help Teaching
Docente: dott.ssa Antonia Esposito (antesposito@unisa.it)
- 31 gennaio dalle 9,30 alle 12,30 aula F7.
- 7 febbraio dalle 9,30 alle 12,30 aula F7.
- 12 febbraio dalle 9,30 alle 12,30 aula F7.
- 16 maggio ore 9,00 – 12,00 aula P15.
- 25 maggio ore 11,00 – 12,00 Laboratorio di didattica della Matematica, Piano -1.
- 30 maggio ore 9,00 – 12,00 aula P15.
- 31 maggio ore 9,00 – 12,00 aula P15.
25 giugno ore 9,30 – 12,30 aula P1726 giugno ore 9,00 – 12,00 aula P21- 29 giugno ore 9,30 – 12,30 aula P17
- 6 luglio ore 9,30 – 12,30 aula P17
OFA
Le lezioni dell’OFA si terranno a settembre.
Materiale aggiuntivo.
- Richiami ed esercizi sulle disequazioni.
- Esercizi 1, Esercizi 2, Esercizi 3.
- Esempio traccia d’esame 1.
- Esempio traccia d’esame 2.
- Esempio traccia d’esame 3.
- Esempio traccia d’esame 4.
Appelli d’esame:
- Primo appello.
- Scritto: 23 gennaio 2018 ore 15:00 Aula F7, Dipartimento di Matematica (edificio F2). Traccia con soluzioni. Esiti 23/1/2018
- Orale: 24 gennaio 2018 ore 10:00 Aula F7, Dipartimento di Matematica (edificio F2).
- Secondo appello.
- Scritto: 14 febbraio 2018 ore 15:00 Aula F7 Dipartimento di Matematica (edificio F2). Traccia con soluzioni. Esiti 14/2/2018
- Orale: 15 febbraio 2018 ore 9:00 Aula F7, Dipartimento di Matematica (edificio F2).
- Terzo appello
- Scritto: 10 aprile 2018 ore 10:00 Aula P21. Traccia con soluzioni, Esiti 10/4/18.
- Orale: 19 aprile, 11.30 studio prof.ssa Cristina Coppola.
- Quarto appello
- Scritto: 5 giugno 2018 ore 15:00 Aula F7 Dipartimento di Matematica (edificio F2). Traccia con soluzioni. Esiti 5/6/2018
- Orale: 6 giugno 2018 ore 11:30 studio prof. Luca Spada, oppure 7 giugno 2018 ore 9:30 studio prof. Luca Spada
- Quarto appello
- Scritto: 10 luglio 2018 ore 15:00 Aula F7 Dipartimento di Matematica (edificio F2). Traccia con soluzioni. Esiti
- Orale: 11 luglio 2018 ore 16:30 Studio prof. Luca Spada (edificio F2).
- Quinto appello
- Scritto: 26 settembre 2018 ore 15:00 Aula F7 Dipartimento di Matematica (edificio F2).
- Traccia con soluzioni. Esiti
- Orale: 28 settembre 2018 ore 11:30 Studio prof. Spada.
- 27 novembre 2018 (riservato agli studenti fuoricorso) ore 15:00 Aula F7 Dipartimento di Matematica (edificio F2).
Informazioni sugli esami:
- L’esame è scritto e orale.
- È sempre necessario presentarsi agli esami con un documento di riconoscimento.
- È assolutamente necessario registrarsi su esse3 per poter sostenere l’esame, anche per chi deve solo sostenere l’orale.
- All’esame scritto è possibile usare i testi di teoria, le dispense utilizzate durante il corso o formulari, non sono consentiti appunti o libri con esercizi svolti.
- Chi non passa l’esame orale (o rifiuta il voto) deve rifare lo scritto.
Corso di Matematica I per Ingegneria Meccanica e Gestionale (2017/18)
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News
- Dal 19 febbraio al 30 aprile il prof. Spada sarà fuori sede.
- Pubblicati gli esiti finali delle prove intermedie.
- Disponibile la versione finale del Formulario consultabile durante gli esami scritti.
Descrizione del corso
Prerequisiti
È richiesta familiarità con gli argomenti di base di matematica trattati nei corsi di scuola media superiore. In particolare, sono richieste competenze elementari di algebra (risoluzione di equazioni e disequazioni di primo e secondo grado), di geometria euclidea, di teoria degli insiemi, di logica e di trigonometria.
Frequenza
La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.
Contenuti
Il corso coprirà i seguenti argomenti:
- Insiemi numerici: N, Z, Q, R, C
- Funzioni elementari reali a una variabile: valore assoluto, potenza, radice, esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche.
- Successioni in R, limiti.
- Proprietà delle funzioni continue.
- Derivate.
- Integrali definiti e indefiniti.
- Serie numeriche.
Più dettagliatamente, qui sotto sono elencati i contenuti delle singole lezioni:
- 12/09/2017 – Introduzione al corso, elementi di logica e di teoria degli insiemi.
- 15/09/2017 – Relazioni, funzioni e loro proprietà.
- 19/09/2017 – Gli insiemi numerici. Gli assiomi dei numeri reali e loro prime conseguenze.
- 22/09/2017 – Funzioni elementari: funzioni polinomiali, radici, esponenziali, logaritmiche.
- 26/09/2017 – Non ci sarà lezione.
- 29/09/2017 – Non ci sarà lezione.
- 3/10/2017 – Funzioni trigonometriche. Disequazioni polinomiali, razionali, irrazionali, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche.
- 6/10/2017 – Principio di induzione. Numeri complessi.
- 10/10/2017 – Esercitazione
- 13/10/2017 – Prima prova intermedia.
- 17/10/2017 – Definizione di successione. Successioni convergenti, divergenti e irregolari. Prime proprietà.
- 20/10/2017 – Teorema della permanenza del segno e sue conseguenze (teoremi di confronto).
- 24/10/2017 – Teorema delle successioni monotone. Successioni definite per ricorrenza. Limiti notevoli. Criterio del rapporto.
- 27/10/2017 – Il numero di Nepero. Teorema di Bolzano-Weieratrass. Successioni di Cauchy.
- 31/10/2017 – Limiti di funzioni. Operazioni con i limiti di funzioni. Limiti di funzioni composte.
- 4/11/2017 – Funzioni continue: definizione e prime proprietà. Teorema di Weierstrass.
- 7/11/2017 – Derivate. Definizione e prime proprietà.
- 10/11/2017 – Applicazioni delle derivate per minimi e massimi. Studio di funzione.
- 14/11/2017 – Algoritmo di Erone per la ricerca delle radici quadrate. Teoremi sulla continuità e i limiti delle funzioni monotone. Criterio per le funzioni costanti.
- 17/11/2017 – Derivate seconde: concavità del grafico di una funzione. Teorema di de l’Hôpital. O piccoli. Sviluppo di Taylor di una funzione.
- 21/11/2017 – Esercitazione.
- 24/11/2017 – Seconda prova intermedia.
- 28/11/2017 – Integrali definiti: definizione e prime proprietà.
- 01/12/2017 – Linearità dell’integrale. Integrabilità delle funzioni continue e limitate.
- 05/12/2017 – Metodi di integrazione: per parti, per sostituzione. Integrazione di funzioni fratte.
- 08/12/2017 – Immacolata.
- 12/12/2017 – Calcolo di aree e volumi. Integrali impropri.
- 15/12/2017 – Serie numeriche: introduzione
- 19/12/2017 – Serie numeriche: criteri di convergenza.
- 22/12/2017 – Prova finale
Materiale del corso
- Il testo di riferimento principale è: Paolo Marcellini, Carlo Sbordone. Analisi Matematica. Vol 1, Liguori Editore.
- Un utile complemento è dato dal rispettivo libro di esercitazioni: Paolo Marcellini, Carlo Sbordone. Esercitazioni di Matematica. Vol 1 e 2, Liguori Editore.
- Questo formulario sarà consultabile durante gli esami scritti. Eventuali proposte di integrazione possono essere inviate via email al docente.
Aspetti pratici
- Docente: Luca Spada
- Tutor: Serafina Lapenta e Anna Pierri
Crediti/ore:
- Durata: 90 ore (15 settimane).
- CFU: 9
Date/aule:
- Le lezioni cominceranno il 12 di settembre.
- Ci sono due lezioni a settimana:
- martedì dalle 15:45 alle 18:15,
- venerdì dalle 9:00 alle 11:30.
Esercizi/Esami
Esame:
- Ci saranno tre prove di esonero durante il corso. Chi conseguirà un voto medio pari o superiore a 18 potrà sostenere direttamente l’esame orale. Sarà comunque possibile per tutti sostenere l’esame scritto a gennaio e ai seguenti appelli.
- È necessario presentarsi all’esame con un documento di riconoscimento.
- Per poter partecipare all’esame finale è assolutamente necessario registrarsi su esse3, in caso di difficoltà rivolgersi alle segreterie.
- All’esame scritto e durante le prove intermedie è possibile usare il formulario a questo link.
- Chi non passa l’esame orale (o rifiuta il voto) deve rifare lo scritto.
- L’esame orale verte su tutti gli argomenti trattati durante il corso. Lo studente deve dimostrare in primis di conoscere i concetti (definizioni) trattati durante il corso. In seguito le domande saranno volte a capire se lo studente sa usare quei concetti e definizioni e ne conosce le proprietà fondamentali viste durante il corso (teoremi). Solo in caso entrambe le precedenti parti vengano superate con successo si discuterà del perché valgano tali proprietà (dimostrazioni).
Appelli d’esame:
- Primo appello invernale
- esame scritto 15 gennaio 2018, ore 10:00, aula I. Traccia con soluzioni. Esiti.
- esame orale:
- 16 gennaio 2018, dalle 9:00 alle 14:00, aula 137.
- 17 gennaio 2018, dalle 9:00 alle 18:00, aula 23.
- Secondo appello invernale
- esame scritto 12 febbraio 2018, ore 9:00, aula C. Traccia con soluzioni. Esiti
- esame orale:
- 13 febbraio 2018, dalle 9:00 alle 18:00, aula L. (Studenti che hanno passato le prove intermedie.)
- 14 febbraio 2018, dalle 9:00 alle 13:00, aula L. (Studenti che hanno passato lo scritto del 12 febbraio.)
- Primo appello fuori corso esame scritto: 10 aprile 2018 ore 9:00.
- Secondo appello fuori corso esame scritto: 9 maggio 2018 ore 9:00.
- Primo appello estivo
- esame scritto: 20 giugno 2018 ore 9:00 aula I. Traccia con soluzioni. Esiti
- esame orale:
- 21 giugno 2018 ore 11:30 studio prof. Spada.
- 21 giugno 2018 ore 15:00 studio prof. Spada.
- 22 giugno 2018 ore 11:00 studio prof. Spada.
- Secondo appello estivo
- esame scritto: 10 luglio 2018 ore 9:00 aula I. Traccia con soluzioni. Esiti
- esame orale:
- 11 giugno 2018 ore 15:00 studio prof. Spada,
- 12 giugno 2018 ore 15:00 studio prof. Spada
- Terzo appello estivo
- esame scritto: 3 settembre 2018, ore 9:00 aula M. Traccia con soluzioni. Esiti
- esame orale: 4 settembre 2018, ore 15:00, studio del prof. Spada.
- Appello speciale
Prove intermedie:
Le prove intermedie si terranno:
- prima prova: venerdì 13 ottobre, dalle ore 9:00 alle ore 11:30 (aula A), Traccia A con soluzioni. Traccia B con soluzioni.Esiti prima prova.
- seconda prova: venerdì 24 novembre, dalle ore 9:00 alle ore 11:30 (aula A), Traccia A con soluzioni. Traccia B con soluzioni. Esiti seconda prova.
- terza prova: venerdì 22 dicembre, dalle ore 9:00 alle ore 11:30 (aula A). Traccia A con soluzioni.Traccia B con soluzioni. Esiti finali.
- Chi supera le prove intermedie può sostenere l’orale negli appelli di gennaio, febbraio, giugno o luglio.
- Per sostenere l’orale è comunque necessario registrarsi per l’appello su esse3 (come per fare lo scritto, ma presentandosi direttamente all’orale).
- Esempi: Traccia 1, Traccia 2, Traccia 3, Traccia 4, Traccia 5, Traccia 6, Traccia 7, Traccia 8.